פתרון בגרות 482 קיץ 2024

סעיף א

10 נוסעים

סעיף ב

20 נוסעים

סעיף ג

120 נוסעים

סעיף ד

5 קרונות

נתונה רכבת בעלת 11 קרונות, שבכל קרון נוסעים יותר נוסעים מהקרון הקודם במספר קבוע.

נזהה זאת כסדרה חשבונית, שההפרש שלה הוא כמות הנוסעים בין קרון לקרון.

נתון כי בקרון האחרון (ה-11) יש פי 3 נוסעים מבראשון-

a₁₁ = 3 a₁

בנוסף נתון כי סך הנוסעים בכל הקרונות הוא 220 נוסעים.

נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:

22 a₁ = 220

a₁ = 10

מצאנו את כמות הנוסעים בקרון הראשון, והיא 10 נוסעים.

נשים לב שהקרון האמצעי מתוך 11 הוא הקרון ה-6.

כדי למצוא את כמות האנשים בקרון השישי, כלומר a₆, נמצא את d הפרש הסדרה-

a₁₁ = a₁ + 10d = 3a₁

10 d = 2 a₁

10 d = 20

d = 2

נשתמש בהפרש d כדי למצוא את האיבר השישי בסדרה:

a₆ = a₁ + (6 – 1) d

a₆ = 10 + 5 * 2

a₆ =  20

מצאנו את כמות הנוסעים בקרון האמצעי, והוא 20 נוסעים.

נמצא את כמות הנוסעים בקרונות האי זוגיים.

זו למעשה תת-סדרה חשבונית, עם אותו איבר ההתחלה (10) והסיום (30), אך עם הפרש כפול.

נחשב את סכומה. נשים לב כי כעת יש לה 6 איברים במקום 11.

מצאנו את סכום הנוסעים בקרונות האי זוגיים, והוא 120 נוסעים.

ביום ב’ מספר הנוסעים ברכבת כפול מביום א’, כלומר 440 נוסעים.

הוסיפו קרונות, וכעת ההפרש בין כל קרון הוא 3 נוסעים-

d = 3

בקרון הראשון 5 נוסעים-

a₁ = 5

זו סדרה חשבונית חדשה, נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית כדי למצוא את כמות הקרונות ביום ב’:

S_n = 440

n ( 7 + 3n) = 2 * 440

7n + 3n² = 880

3n² + 7n – 880 = 0

n₁ = – 18.33

נפסל כי n צריך להיות מספר טבעי.

n₂ = 16

אז מספר הקרונות ביום ב’ הוא 16. ביום א’ היו 11 קרונות,

אז הוסיפו 5 קרונות ביום ב’.

סעיף א

h = 7.75

סעיף ב

S = 383.5

סעיף ג

α = 41.81°

סעיף ד

V_PABCD = 116.28

נתונה התיבה ‘ABCDA’B’C’D:

נתון כי אלכסוני הבסיס נפגשים בנקודה M,

AB = 12

BC = 5

והזווית בין ‘MC לבסיס ABCD היא 50°.

נמצא את גובה התיבה באמצעות התבוננות במשולש MC’C.

הצלע ‘CC היא הגובה בתיבה.

נתבונן במשולש ABC כדי למצוא את MC:

AC² = 5² + 12² = 169

AC = 13

M נקודת מפגש האלכסונים של הבסיס המלבני ABCD, לכן חוצה את האלכסונים.

AM = MC

MC = 0.5 AC = 0.5 * 13 =

MC = 6.5

כעת נמצא את הגובה –  ‘h = CC :

נתבונן במשולש MC’C-

tan 50° = CC’ / MC

CC’ = h = MC * tan 50°

h = 6.5 * tan 50°

h = 7.746 ∼ 7.75

מצאנו את גובה התיבה והוא 7.75.

נחשב את שטח הפנים של התיבה:

S = 2 * ( L*W + L*h + W*h) =

= 2 * (12*5 + 12*7.75 + 6*7.75) =

= 2 * 191.75

S = 383.5

מצאנו את שטח הפנים של התיבה, והוא 383.5.

אלכסוני הבסיס ‘A’B’C’D נפגשים בנקודה ‘M.

P נקודה על ‘MM כך ש- AP = 1.5MP.

נמצא את הזווית –

α = ∠PAM

מצאנו כבר את AM = MC = 6.5.

P על הישר ‘MM המאונך למישור הבסיס ABCD, לכן

∠AMP = 90°

נתבונן במשולש AM’M:

מתקיים:

sinα = MP/ AP

נתון לנו היחס ביניהם:

AP = 1.5MP

AP/ MP = 1.5

MP / AP = 0.667

sinα = 0.667

α = sin^-1 0.667

α = 41.81°

מן הנקודה P חיברו קטעים אל קודקודי הבסיס ABCD כך שנוצרה פירמידה ישרה PABCD :

הזווית בין מקצועות הפירמידה PABCD לבין הבסיס ABCD היא זו שמצאנו, 41.81°.

נחשב את נפח הפירמידה PABCD.

שטח הבסיס של הפירמידה, כלומר המלבן ABCD:

S_ABCD = 12 * 5 = 60

גובה הפירמידה הוא MP. נמצא אותו:

לפי הגדרה-

tanα = MP / AM

MP = AM * tanα

MP = 6.5 * tan 41.81°

MP = 5.814

נפח הפירמידה:

V_PABCD = 0.33 * MP * S_ABCD

V_PABCD = 0.33 * 5.814 * 60

V_PABCD = 116.28

מצאנו את נפח הפירמידה והיא 116.28.

סעיף א

max ( 0 , a)

min ( 0.5π , a – 0.5)

max ( π , a)

min ( 1.5π , a – 0.5)

max (2π, 0)

סעיף ב

a = 2.5

a = 2

סעיף ג

סעיף ד

טענה 1: לא נכונה

טענה 2: נכונה

נתונה הפונקציה:

f (x) = a – 0.5 (sin(x))²

המוגדרת בתחום

0 ≤ x ≤ 2π

a פרמטר.

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום:

f ‘ (x) = – 0.5 * 2 * sin(x) * cos(x) = – sin(x)*cos(x)

f ‘ (x) = – sin(x)*cos(x) = 0

sin(x) = 0

x = πk

x= 0, π , 2π

cos(x) = 0

x = 0.5π + πk

x = 0.5π , 1.5π

סה”כ נקודות הקיצון :

x = 0 , 0.5π, π, 1.5π, 2π

נמצא את סוגן בטבלה:

f ‘ (0.25π) = – 0.5 = (-)

f ‘ (0.75π) = 0.5 = (+)

f ‘ (1.25π) = – 0.5 = (-)

f ‘ (1.75π) = 0.5 = (+)

f (0) = a

f (0.5π) = a – 0.5

f (π) = a

f (1.5π) = a – 0.5

f (2π) = a

אז נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום:

max ( 0 , a)

min ( 0.5π , a – 0.5)

max ( π , a)

min ( 1.5π , a – 0.5)

max (2π, 0)

נתון כי הישר y = 2 משיק לגרף הפונקציה.

ישר אופקי משיק לפונקציה רק בנקודות הקיצון שלה, בהן השיפוע הוא אפס.

לכן 2 זה ערך הפונקציה באחת מנקודות הקיצון.

לכן שתי האפשרויות ל-a הן:

משיק למינימום-

a – 0.5 = 2

a = 2.5

משיק למקסימום-

a = 2

הa הקטן יותר הוא 2.

אז נקודות הקיצון:

max ( 0 , 2)

min ( 0.5π , 1.5)

max ( π , 2)

min ( 1.5π , 1.5)

max (2π, 2)

נשרטט את הפונקציה:

נתונה פונקציה:

g ‘ (x) = f (x)

טענה 1

לפונקצייה (g (x יש 3 נקודות קיצון פנימיות.

נקודות הקיצון של (g (x הן נקודות החיתוך של f (x) עם ציר האיקס.

ל- f (x) אין נקודות חיתוך עם ציר האיקס, לכן לפונקציה g (x) אין נקודות קיצון פנימיות.

הטענה לא נכונה.

טענה 2

הפונקצייה (g (x עולה בתחום

0 < x < 2π

הפונקציה (g (x עולה כאשר (f (x חיובית.

(f (x חיובית בכל תחום הגדרתה, לכן (g (x עולה באותו התחום.

הטענה נכונה.

אין חיתוך עם ציר x-

נשים לב שקיימת אסימפטוטה y = 0 לכיוון שמאל:

כי המונה דועך מהר יותר מהמכנה.

סעיף א1

x ≠ ln3

סעיף א2

x = ln3

סעיף ב

( 0 , – 0.5)

סעיף ג

min ( ln6, 12 )

סעיף ד

עלייה:

x > ln6

ירידה:

ln3 < x < ln6

x < ln3

סעיף ה

סעיף ו1

max ( ln6 ,3)

סעיף ו2

2 נקודות חיתוך

נתונה הפונקציה:

תחום ההגדרה שלה-

e^x – 3 = 0

e^x = 3

x = ln3

אז תחום ההגדרה הוא x ≠ ln3.

המונה לא מתאפס לכל x אז

x = ln3

אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

נמצא נקודות חיתוך עם הצירים:

ציר x-

המונה לא מתאפס לאף x לכן אין חיתוך עם ציר האיקס.

ציר y-

( 0 , – 0.5)

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

נקודת הקיצון החשודה:

e^2x חיובית ושונה מאפס לכל x אז אפשר לחלק בה-

e^2x * (e^x – 6) = 0

(e^x – 6) = 0

e^x = 6

x = ln6

נשתמש בטבלה ונסווג את הנקודה:

f ‘ (0) = – 0.66 = ( – )

f ‘ (ln5) = – 6.25 = ( – )

f ‘ (ln7) = 18.375 = ( + )

f (ln6) = 12

אז נקודת הקיצון היא:

min ( ln6, 12 )

מצאנו את תחומי העלייה והירידה כבר בטבלה-

עלייה:

x > ln6

ירידה:

ln3 < x < ln6

x < ln3

נסכם את הידוע לנו על הפונקציה-

x ≠ ln3

אסימפטוטה ב- x = ln3

חיתוך –

( 0 , – 0.5)

אין עם ציר x- נשים לב שקיימת אסימפטוטה y = 0 לכיוון שמאל:

המונה דועך מהר יותר מהמכנה.

קיצון –

min ( ln6, 12 )

עלייה:

x > ln6

ירידה:

ln3 < x < ln6

x < ln3

נשרטט את הפונקציה:

נתונה הפונקציה:

g(x) = – f(x) + 15

מדובר בשיקוף של f(x) (להפוך אותה כמו מראה על ציר x), והזזה למעלה ב-15 יחידות.

השיקוף:

כעת נקודות הקיצון היא –

max ( ln6 , -12)

נבצע כעת גם את ההזזה מעלה ב-15 יחידות:

כעת נקודת הקיצון היא בנקודה:

max ( ln6 ,3)

השיקוף הפך אותו למקסימום במקום מינימום, וערך ה-y הפך למינוס ואז נוספו לו 15 יחידות.

ניתן לראות בגרף:

שיש כעת 2 נקודות חיתוך.

דרך נוספת

היה ניתן להציב בפונקציה g(x) = 0:

g(x) = – f(x) + 15 = 0

f(x) = 15

ונבדוק חיתוך בגרף של f(x) את החיתוך עם הישר y = 15-

ושוב רואים שיש 2 נקודות חיתוך.

* ניתן לחשב גם אלגברית את החיתוך באמצעות פתירת המשוואה f(x) = 15 אך דרך זו ארוכה יותר.

סעיף א

x > 0

סעיף ב

a = 3

סעיף ג

(0.5 , 0)

סעיף ד

min( 0.5 e^-1 , – 1.5 e^-1 )

סעיף ה

הפונקציה- גרף 1

הנגזרת- גרף 4

סעיף ו

S ≈ 14.36

נתונה הפונקציה:

f(x) = ax * ln(2x)

a פרמטר.

נמצא את תחום ההגדרה שלה:

2x > 0

x > 0

נתון:

כי שיפוע המשיק בנקודה זו הנגזרת.

נגזור ונציב כדי למצוא את a –

2a = 6

a = 3

נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים:

x = 0 מחוץ לתחום ההגדרה לכן אין חיתוך בציר ה-y.

f(x) = 0 = 3x * ln(2x)

x = 0

נפסל כמו מעל.

ln(2x) = 0

2x = 1

x = 0.5

אז נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא:

(0.5 , 0)

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

f ‘ (x) = 3 (ln(2x) + 1) = 0

ln(2x) + 1 = 0

ln(2x) = – 1

2x = e^-1

x = 0.5 e^-1

נמצא את סוג הנקודה באמצעות טבלה:

f ‘ (0.33 e^-1 ) = – 1.21 = (-)

f ‘ ( e^-1 ) = 2.079 = (+)

f (0.5 e^-1 ) = – 1.5 e^-1

מצאנו את נקודת הקיצון והיא:

min( 0.5 e^-1 , – 1.5 e^-1 )

כל האפשרויות בעלי תחום הגדרה x > 0.

לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון יחידה, לכן הגרפים הרלוונטיים הם גרף 1 ו-2.

הנקודה היא ברביע הרביעי, לכן גרף הפונקציה הוא גרף 1.

f(x) יורדת ואז עולה, לכן הנגזרת  f ‘ (x)  שלילית ואז חיובית.

הגרפים הרלוונטים הם גרף 1 ו-4.

גרף 1 התאמנו לפונקציה לכן גרף הנגזרת הוא גרף 4.

לסיכום:

הפונקציה- גרף 1

הנגזרת- גרף 4

* ניתן גם לגזור נגזרת שנייה בקלות ולראות שהיא חיובית בכל התחום, לכן לנגזרת הראשונה אין קיצון וגרף 1 לא אפשרות לגרף הנגזרת.

מבקשים את השטח המוגבל ע”י הנגזרת, הישר x = e וציר האיקס.

נסתכל בגרף 4 ונשים לב שהנגזרת חיובית בין הישר x = e והחיתוך שלה עם ציר האיקס, בנקודה

x = 0.5 e^-1

נמצא את השטח עם חישוב האינטגרל:

מצאנו את השטח:

S ≈ 14.36