פתרון בגרות 472 קיץ 2024

סעיף א

10 נוסעים

סעיף ב

20 נוסעים

סעיף ג

120 נוסעים

סעיף ד

5 קרונות

נתונה רכבת בעלת 11 קרונות, שבכל קרון נוסעים יותר נוסעים מהקרון הקודם במספר קבוע.

נזהה זאת כסדרה חשבונית, שההפרש שלה הוא כמות הנוסעים בין קרון לקרון.

נתון כי בקרון האחרון (ה-11) יש פי 3 נוסעים מבראשון-

a₁₁ = 3 a₁

בנוסף נתון כי סך הנוסעים בכל הקרונות הוא 220 נוסעים.

נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:

22 a₁ = 220

a₁ = 10

מצאנו את כמות הנוסעים בקרון הראשון, והיא 10 נוסעים.

נשים לב שהקרון האמצעי מתוך 11 הוא הקרון ה-6.

כדי למצוא את כמות האנשים בקרון השישי, כלומר a₆, נמצא את d הפרש הסדרה-

a₁₁ = a₁ + 10d = 3a₁

10 d = 2 a₁

10 d = 20

d = 2

נשתמש בהפרש d כדי למצוא את האיבר השישי בסדרה:

a₆ = a₁ + (6 – 1) d

a₆ = 10 + 5 * 2

a₆ =  20

מצאנו את כמות הנוסעים בקרון האמצעי, והוא 20 נוסעים.

נמצא את כמות הנוסעים בקרונות האי זוגיים.

זו למעשה תת-סדרה חשבונית, עם אותו איבר ההתחלה (10) והסיום (30), אך עם הפרש כפול.

נחשב את סכומה. נשים לב כי כעת יש לה 6 איברים במקום 11.

מצאנו את סכום הנוסעים בקרונות האי זוגיים, והוא 120 נוסעים.

ביום ב’ מספר הנוסעים ברכבת כפול מביום א’, כלומר 440 נוסעים.

הוסיפו קרונות, וכעת ההפרש בין כל קרון הוא 3 נוסעים-

d = 3

בקרון הראשון 5 נוסעים-

a₁ = 5

זו סדרה חשבונית חדשה, נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית כדי למצוא את כמות הקרונות ביום ב’:

S_n = 440

n ( 7 + 3n) = 2 * 440

7n + 3n² = 880

3n² + 7n – 880 = 0

n₁ = – 18.33

נפסל כי n צריך להיות מספר טבעי.

n₂ = 16

אז מספר הקרונות ביום ב’ הוא 16. ביום א’ היו 11 קרונות,

אז הוסיפו 5 קרונות ביום ב’.

הנוסחה לחישוב נפח פירמידה היא:

סעיף א

SD = v – w

סעיף ב

w * v = 16

סעיף ג

lwl = 7

סעיף ד1

הוכחה

סעיף ד2

בפתרון זה אותיות באנגלית הן וקטורים, והתייחסות לאורך קטע הוא בערך מוחלט.

נתונה הפירמידה SABCD:

נתון ABCD הבסיס הוא ריבוע, אז וקטורי הבסיס מקבילים ושווים-

AB = DC = u

AD = BC = v

u * v = 0

ואורכם שווה 4:

l u l = l v l = 4

נמצא את הוקטור SD:

SD = SA + AD

SD = – w + v

SD = v – w

נתון :

SD * AD = 0

נציב את SD שמצאנו ונמצא את הדרוש, v * w = ?

SD * AD = 0

(v – w) * v = 0

v * v – w * v = 0

lvl² – w * v = 0

w * v = lvl²

w * v = 16

נתון כעת:

w * u = w * v

l SC l ² = 17

נחשב את l SC l ² ונחלץ ממנו את אורך הוקטור w-

SC = SD + DC = v – w + u

l SC l ² = 17

(v – w + u) * (v – w + u) = 17

(v*v  – v*w + v*u) + ( – w*v + w*w – w*u) + (u*v – u*w + u*u) = 17

נציב את מה שידוע לנו-

u * v = 0

w * u = w * v  = 16

l u l² = l v l² = 16

(16  – 16 + 0) + ( – 16 + lwl² – 16) + (0 – 16 + 16) = 17

lwl² – 32 = 17

lwl² = 49

lwl = 7

מצאנו את אורך הוקטור w והוא 7.

נוכיח באמצעות חישוב ש- SC מאונך לשני וקטורי הבסיס.

SC * BC = (v – w + u) * v =

= v*v -w*v + u*v =

= 16 – 16 + 0

SC * BC = 0

SC * DC = (v – w + u) * u =

= v*u -w*u + u*u =

= 0 – 16 + 16

SC * DC = 0

הוכחנו ש-SC מאונך לשני וקטורי הבסיס v,u.

מצאנו בסעיף הקודם ש-SC מאונך לשני צלעות הבסיס הריבועי ABCD, לכן SC גובה של הפירמידה SABCD.

הנוסחה לחישוב נפח פירמידה היא:

במקרה שלנו-

a = b = 4

h = lSCl = √17

לסיכום נפח הפירמידה SABCD:

סעיף א

טענה 3

סעיף ב1

1,927,808 ש”ח

סעיף ב2

הערך של דירה ב’ גדל כל שנה ב-12%

סעיף ג

תחילת 2038

נתונות שתי דירות – דירה א’ ודירה ב’.
בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א’ 980,000 שקלים והערך של דירה ב’ היה 620,000 שקלים.
הערך של דירה א’ גדל בכל שנה ב־ 7% , והערך של דירה ב’ גדל בכל שנה פי q .
כעבור מספר מסוים של שנים היה הערך של דירה א’ שווה לערך של דירה ב’.

דירה א’ גדלה כל שנה ב-7% כלומר פי 1.07.

נשתמש בנוסחת הגדילה והדעיכה לכל דירה ונשווה ביניהם:

דירה 1-

M_t = (980,000) * (1.07)^t

דירה 2-

M_t = (620,000) * q^t

(980,000) * (1.07)^t  = (620,000) * q^t

 q^t = 1.58 * (1.07)^t  

q > 1.07

לכן טענה 3 היא הנכונה.

נשתמש בנוסחת גדילה ודעיכה למצוא את הערך של דירה א’ בתחילת 2024:

עברו 10 שנים אז t = 10.

M_t = M₀ * q^t

M₁₀ = (980,000) * (1.07)¹⁰

M₁₀ ≈ 1,927,808

ערכה של דירה א’ בתחילת 2024 – 1,927,808 ש”ח.

נתון שבתחילת 2024 ערך דירה א’ שווה לערך דירה ב’.

נמצא את q של דירה ב’.

M₁₀ = 1,927,808 = (620,000) * q¹⁰

q¹⁰ = 3.1093

אז הערך של דירה ב’ גדל כל שנה ב-12%.

מתחילת 2024 צפוי הערך של דירה ב’ לרדת באחוז הקטן פי 1.5 מזה שמצאנו בסעיף ב2, כלומר 12%.

אז הירידה באחוזים תהיה

12 / 1.5 = 8

ירידה של 8%, כלומר פי 0.92.

נמצא בתחילת איזו שנה הערך של דירה ב’ יהיה נמוך מ- 620,000 ש”ח.

קודם נמצא אחרי כמה שנים הערך של דירה ב’ שווה לערך של 2014.

M_t = M₀ * q^t

620,000 = (1,927,808) * (0.92) ^t

(0.92) ^t = 0.3216

ln ((0.92) ^t ) = ln (0.3216)

t * ln (0.92) = ln (0.3216)

t = ln (0.3216) / ln (0.92)

t = 13.6

אז הערך של דירה ב’ יהיה שווה לערך שלה ב- 2014 13.6 שנים לאחר 2024, כלומר במהלך 2037.

לכן השנה הראשונה שבתחילתה ערך הדירה יהיה נמוך מ-2014 היא 2038.

אין חיתוך עם ציר x-

נשים לב שקיימת אסימפטוטה y = 0 לכיוון שמאל:

כי המונה דועך מהר יותר מהמכנה.

סעיף א1

x ≠ ln3

סעיף א2

x = ln3

סעיף ב

( 0 , – 0.5)

סעיף ג

min ( ln6, 12 )

סעיף ד

עלייה:

x > ln6

ירידה:

ln3 < x < ln6

x < ln3

סעיף ה

סעיף ו1

max ( ln6 ,3)

סעיף ו2

2 נקודות חיתוך

נתונה הפונקציה:

תחום ההגדרה שלה-

e^x – 3 = 0

e^x = 3

x = ln3

אז תחום ההגדרה הוא x ≠ ln3.

המונה לא מתאפס לכל x אז

x = ln3

אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

נמצא נקודות חיתוך עם הצירים:

ציר x-

המונה לא מתאפס לאף x לכן אין חיתוך עם ציר האיקס.

ציר y-

( 0 , – 0.5)

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

נקודת הקיצון החשודה:

e^2x חיובית ושונה מאפס לכל x אז אפשר לחלק בה-

e^2x * (e^x – 6) = 0

(e^x – 6) = 0

e^x = 6

x = ln6

נשתמש בטבלה ונסווג את הנקודה:

f ‘ (0) = – 0.66 = ( – )

f ‘ (ln5) = – 6.25 = ( – )

f ‘ (ln7) = 18.375 = ( + )

f (ln6) = 12

אז נקודת הקיצון היא:

min ( ln6, 12 )

מצאנו את תחומי העלייה והירידה כבר בטבלה-

עלייה:

x > ln6

ירידה:

ln3 < x < ln6

x < ln3

נסכם את הידוע לנו על הפונקציה-

x ≠ ln3

אסימפטוטה ב- x = ln3

חיתוך –

( 0 , – 0.5)

אין עם ציר x- נשים לב שקיימת אסימפטוטה y = 0 לכיוון שמאל:

המונה דועך מהר יותר מהמכנה.

קיצון –

min ( ln6, 12 )

עלייה:

x > ln6

ירידה:

ln3 < x < ln6

x < ln3

נשרטט את הפונקציה:

נתונה הפונקציה:

g(x) = – f(x) + 15

מדובר בשיקוף של f(x) (להפוך אותה כמו מראה על ציר x), והזזה למעלה ב-15 יחידות.

השיקוף:

כעת נקודות הקיצון היא –

max ( ln6 , -12)

נבצע כעת גם את ההזזה מעלה ב-15 יחידות:

כעת נקודת הקיצון היא בנקודה:

max ( ln6 ,3)

השיקוף הפך אותו למקסימום במקום מינימום, וערך ה-y הפך למינוס ואז נוספו לו 15 יחידות.

ניתן לראות בגרף:

שיש כעת 2 נקודות חיתוך.

דרך נוספת

היה ניתן להציב בפונקציה g(x) = 0:

g(x) = – f(x) + 15 = 0

f(x) = 15

ונבדוק חיתוך בגרף של f(x) את החיתוך עם הישר y = 15-

ושוב רואים שיש 2 נקודות חיתוך.

* ניתן לחשב גם אלגברית את החיתוך באמצעות פתירת המשוואה f(x) = 15 אך דרך זו ארוכה יותר.

סעיף א

x > 0

סעיף ב

a = 3

סעיף ג

(0.5 , 0)

סעיף ד

min( 0.5 e^-1 , – 1.5 e^-1 )

סעיף ה

הפונקציה- גרף 1

הנגזרת- גרף 4

סעיף ו

S ≈ 14.36

נתונה הפונקציה:

f(x) = ax * ln(2x)

a פרמטר.

נמצא את תחום ההגדרה שלה:

2x > 0

x > 0

נתון:

כי שיפוע המשיק בנקודה זו הנגזרת.

נגזור ונציב כדי למצוא את a –

2a = 6

a = 3

נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים:

x = 0 מחוץ לתחום ההגדרה לכן אין חיתוך בציר ה-y.

f(x) = 0 = 3x * ln(2x)

x = 0

נפסל כמו מעל.

ln(2x) = 0

2x = 1

x = 0.5

אז נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא:

(0.5 , 0)

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

f ‘ (x) = 3 (ln(2x) + 1) = 0

ln(2x) + 1 = 0

ln(2x) = – 1

2x = e^-1

x = 0.5 e^-1

נמצא את סוג הנקודה באמצעות טבלה:

f ‘ (0.33 e^-1 ) = – 1.21 = (-)

f ‘ ( e^-1 ) = 2.079 = (+)

f (0.5 e^-1 ) = – 1.5 e^-1

מצאנו את נקודת הקיצון והיא:

min( 0.5 e^-1 , – 1.5 e^-1 )

כל האפשרויות בעלי תחום הגדרה x > 0.

לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון יחידה, לכן הגרפים הרלוונטיים הם גרף 1 ו-2.

הנקודה היא ברביע הרביעי, לכן גרף הפונקציה הוא גרף 1.

f(x) יורדת ואז עולה, לכן הנגזרת  f ‘ (x)  שלילית ואז חיובית.

הגרפים הרלוונטים הם גרף 1 ו-4.

גרף 1 התאמנו לפונקציה לכן גרף הנגזרת הוא גרף 4.

לסיכום:

הפונקציה- גרף 1

הנגזרת- גרף 4

* ניתן גם לגזור נגזרת שנייה בקלות ולראות שהיא חיובית בכל התחום, לכן לנגזרת הראשונה אין קיצון וגרף 1 לא אפשרות לגרף הנגזרת.

מבקשים את השטח המוגבל ע”י הנגזרת, הישר x = e וציר האיקס.

נסתכל בגרף 4 ונשים לב שהנגזרת חיובית בין הישר x = e והחיתוך שלה עם ציר האיקס, בנקודה

x = 0.5 e^-1

נמצא את השטח עם חישוב האינטגרל:

מצאנו את השטח:

S ≈ 14.36