בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 481 קיץ 2018 מועד ב

סעיף א

6a  הוא אורך צלע המלבן הקצרה.
6a * 1.33 = 8a   אורך צלע המלבן הארוכה.

סעיף ב

67.6a הם 130% של 52a ולכן החוט השני גדול ב 30% מהחוט הראשון.

סעיף ג

אורכי צלעות המלבן הם 2.7 ו 3.6 סנטימטר.

הרעיון של הפתרון

1. אורך החוט 52a הוא סכום ההיקפים של המלבן והריבוע.
2. בעזרת צלע אחת של הריבוע / מלבן נוכל להביע את כל הצלעות וליצור קשר בין x ל a.

נושא השאלה:

1. בעיה גיאומטרית + אחוזים.
2. שאלות “חוט”.

אורך החוט הוא בעצם ההיקף של שתי הצורות יחד.
ההיקף של הריבוע ועוד ההיקף של המלבן שווה ל 52a.

שלב א: הגדרת משתנים
x  אורך צלע הריבוע.
ולכן:
x אורך הצלע הקצרה של המלבן.
1.33x  אורך הצלע הארוכה של המלבן.

שלב ב: חישוב ההיקפים
ההיקף של הריבוע הוא:
4x
ההיקף של המלבן הוא:
2x + 2.66x = 4.66x

שלב ג: בניית משוואה
סכום ההיקפים הוא 52a, לכן המשוואה היא:
4x + 4.66x = 52a
8.66x = 52a   / : 8.66
x = 6a

שלב ד: כתיבת תשובה
6a  הוא אורך צלע המלבן הקצרה.
6a * 1.33 = 8a   אורך צלע המלבן הארוכה.

נתונים המספר y והמספר x.
אם רוצים לדעת בכמה אחוזים גדול המספר y מהמספר x מחשבים:

מהתוצאה מחסרים 100.

• בעיות אחוזים מהסוג השני הוא דף העוסק בנושא זה.

נחשב בנפרד את ההיקף של הריבוע והמלבן החדשים.

1.היקף המלבן
היקף המלבן החדש הוא כמו היקף המלבן הישן:
6a + 6a + 8a + 8a = 28a

2.היקף הריבוע החדש
האורך של צלע הריבוע החדשה הוא:
6a * 1.65 = 9.9a

היקף הריבוע
9.9a * 4 = 39.6a

3.סכום ההיקפים הוא:
28a + 39.6a = 67.6a

עלינו לחשב בכמה אחוזים 67.6a  גדול מ 52a.
עושים זאת בצורה הזאת:

67.6a הם 130% של 52a ולכן החוט השני גדול ב 30% מהחוט הראשון.

המלבן נראה כך:

נמצא את אורך צלעות המלבן בעזרת משפט פיתגורס.
6a)² + (8a)² = 45)
36a + 64a = 45
100a = 45  / :100
a = 0.45

אורכי צלעות המלבן הם 6a, 8a.
2.7 = 0.45 * 6
3.6 = 0.45 * 8
תשובה: אורכי צלעות המלבן הם 2.7 ו 3.6 סנטימטר.

סעיף א

0.333

סעיף ב

אם ידוע שנחבר תלמיד הגר בעיר ההסתברות שזו בת היא 1/2.

סעיף ג

600 תלמידים גרים בעיר.

סעיף ד

0.2579

שאלה זו מתאימה לדיאגרמת עץ.
נגדיר:
x ההסתברות לדגום בן הלומד בבית ספר.
1.25x  ההסתברות לדגום בת הלומדת בבית ספר.
x + 1.25x = 1
2.25x = 1  / : 2.25
x = 0.444  זו ההסתברות לבן.
1.25x = 0.555  זו ההסתברות לבת.

נבנה דיאגרמת עץ המציגה את השאלה:

מבקשים מאיתנו לחשב את ענף מספר 1.
וזה מכפלת ההסתברויות המרכיבות אותו.
0.333 = 0.444 * 0.75.

נגדיר (p (b ההסתברות לבחור תלמיד הגר בעיר.
הסתברות זו מורכבת מההסתברות לבן שגר בעיר (חישבנו, 0.333).
וההסתברות לבת שגרה בעיר.
נחשב את ההסתברות לבת הגרה בעיר:
0.333 = 0.6 * 0.555

ההסתברות של תלמיד הגר בעיר היא סכום ההסתברויות:
0.666 = 0.333 + 0.333
p (a ∩ b) = 0.333 ההסתברות לבת וגם גרה בעיר.
(p (a / b) = p (a∩b) : p (a / b
p (a / b) = 0.333 / 0.666 = 1/2
תשובה: אם ידוע שנחבר תלמיד הגר בעיר ההסתברות שזו בת היא 1/2.

אנו יודעים שהחלק של אלו הגרים בעיר הוא:
0.666 = 0.333 + 0.333
600 = 900 * 0.666
תשובה: 600 תלמידים גרים בעיר.

זה סעיף הנפתר על ידי נוסחת ברנולי.
2/3 = 900 : 600 זו ההסתברות לבחור תלמיד מהעיר.
1/3 = 2/3 – 1  זו ההסתברות לבחור תלמיד שאינו מהעיר.

ההסתברות לבחור “לפחות 2” היא ההסתברות לבחור 2 או 3.
ההסתברות לבחור 3 היא:
0.0369 = 0.333³

את ההסתברות לבחור 2 מתוך 3 נחשב בעזרת נוסחת ברנולי.
המקדם הבינומי הוא:

0.221 = 0.666 * 0.333² * 3

סכום ההסתברויות של לבחור 2 ולבחור 3 הוא:
0.2579 = 0.221 + 0.0369
תשובה: 0.2579 (תתכן סטייה קלה בתשובה עקב “עיגולים” שנעשו לאורך הדרך.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

ED = 4

טענה	נימוק
FG משיק למעגל	נתון
∠ABE = ∠AEF	זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני
CD || FG	נתון
∠CDE = ∠AEF	זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים
∠ABE = ∠CDE = ∠AEF	כלל המעבר

טענה	נימוק
∠ABE = ∠CDE	הוכחתי בסעיף א
∠CED = ∠BEA	זווית משותפת
ΔDEC ∼ ΔBEA	לפי משפט דמיון זווית זווית

טענה	נימוק
∠CDE + ∠CDA = 180°	סכום זוויות צמודות 180°
∠ABE = ∠CDE	הוכחתי בסעיף א
∠ABE + ∠CDA = 180°	הצבה
∠ABE + ∠CDA + ∠BCD + ∠BAD = 360°	סכום זוויות במרובע 360°

 

∠ABE + ∠CDA + ∠BCD + ∠BAD = 360°  / – (∠ABE + ∠CDA)

∠BCD + ∠BAD = 360 – (∠ABE + ∠CDA) = 360 -180 = 180°

הוכחנו כי במרובע ABCD סכום זוויות נגדיות הוא 180°, לכן ניתן לחסום אותו במעגל

נשתמש בדמיון שמצאנו: ΔDEC ∼ ΔBEA

לפי יחס הדמיון מתקיים:

ED * AB = CD * EB

נתון:

ED = AB /3

AB = 3ED
ED * 3ED = 4*12
3ED² = 48
ED² = 16
ED = 4  או  ED = -4
מכוון שגודל של צלע הוא מספר חיובי אז התשובה היחידה  היא ED = 4.

סעיף א

∠ADB = 71.56

סעיף ב

BC = 1.3a

סעיף ג

AC = 2.188a

סעיף ד

107.49 סמ”ר.

 

tg ∠ADB = AB : BD = 3a : a = 3

∠ADB = 71.56

משולש BDC הוא משולש שווה שוקיים.

∠BDC = ∠BDA + ∠ADC = 71.56 + 10 = 81.56

במשולש שוו”ש זוויות הבסיס שוות, לכן:

∠BCD = ∠DBC = 0.5 * (180 – 81.56)  = 49.22

על פי משפט הסינוסים במשולש זה:

∠BDC = 10 + 71.56 = 81.56

על פי סכום זוויות במשולש שווה שוקיים BDC:

∠CBD = ∠BCD = 0.5 (180 – 81.56) = 49.22

∠ABC = 90 – 49.22 = 40.78

על פי משפט הקוסינוסים במשולש ABC:

AC² = AB² + BC² – 2AB * BC * cos∠ABC

AC² = 9a² + 1.69a² – 7.8a² * cos40.78 = 10.69a² – 5.9a²
AC² = 4.79a²
AC = 2.188a

S_ABDC = S_ΔABC + S_ΔBDC
הנתון החסר לנו הוא S_ΔABC
דרך הפתרון היא למצוא את a בעזרת המשוואה:
S_ΔBDC = 30
ואז לחשב את S_ΔABC.

במשולש ΔBDC.
BD = a,  BC = 1.3a,  ∠DBC = 49.22
נחשב את שטח המשולש בעזרת נוסחת שטח משולש:

S_ΔBDC = BD * BC * sin∠DBC
a * 1.3a * 0.5 * sin 49.22 = 30
0.49a² = 30  / : 0.49
a² = 60.95
a = 7.8

במשולש ΔABC:

S_ΔABC = 0.5 * AB * BC * sin∠ABC

S_ΔABC = 0.5 * 3a * 1.3a * sin 40.78
S_ΔABC  = 1.27a² = 1.27 * 7.8² = 77.49

S_ABDC = S_ΔABC + S_ΔBDC = 77.49 + 30 = 107.49
תשובה: 107.49 סמ”ר.

סעיף א1

(0, 4) (0, 0)

סעיף א2

x =0 מינימום

x = 2 מקסימום

x = 4 מינימום

הפונקציה f (x) = x² (x – 4)²
בחלק מהסעיפים נוח יותר לעבוד עם פונקציה ללא סוגריים, לכן נפתח את הסוגריים.
(x² (x – 4)² = x² (x² -8x + 16
x⁴ – 8x³ + 16x²
f (x) = x⁴ – 8x³ + 16x²

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה x נציב y= 0 בפונקציה המקורית.
x² (x – 4)² = 0
כאשר מכפלה של שני ביטויים שווה ל 0 זה אומר שאחד מהביטויים לפחות צריך להיות שווה ל 0.
x² = 0
x = 0
או
x – 4)² =0)
x – 4 = 0
x =4.
תשובה:  נקודות החיתוך עם ציר ה x הן (0, 4) (0, 0).

נציב x = 0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
f (0) = 0² (0 – 4)² = 0
תשובה: נקודת החיתוך עם ציר ה Y היא (0, 0).

על מנת למצוא נקודות קיצור עלינו לגזור את הפונקציה.
קל יותר לגזור את הפונקציה כאשר היא ללא סוגריים.
f (x) = x⁴ – 8x³ + 16x²
f ‘ (x) = 4x³ – 24x² + 32x

על מנת למצוא נקודות החשודות כקיצון נשווה את הנגזרת ל 0.
4x³ – 24x² + 32x = 0
4x (x² – 6x + 8) = 0
כאשר מכפלה של שני ביטויים שווה ל 0 זה אומר שאחד מהביטויים לפחות צריך להיות שווה ל 0.
4x = 0   / : 4
x = 0
או
x² – 6x + 8 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נשתמש כאן בפירוק טרינום.
x² – 2x – 4x + 8 = 0
x (x – 2) -4 (x – 2) = 0
x – 4) (x – 2) = 0)

אפשרות ראשונה.
x – 4 = 0
x = 4
אפשרות שנייה.
x – 2 =0
x = 2

ערכי ה x החשודים כקיצון הם:
x = 0, x = 2, x = 4
נבדוק את הערכים הללו בעזרת הנגזרת השנייה
f ‘ (x) = 4x³ – 24x² + 32x
f ” (x) = 12x² – 48x + 32

נזכיר: אם הנגזרת הראשונה שווה ל 0 בנקודה.
אז כאשר הנגזרת השנייה חיובית בנקודה זו נקודת מינימום.
כאשר הנגזרת השנייה שלילית בנקודה זו נקודת מקסימום.

עבור x = 0
f ” (0) = 12*0² – 48*0 + 32 = 32 > 0
לכן זו נקודת מינימום.
נמצא את ערך ה y בנקודה.

עבור x =2.
f ” (2) = 12*2² – 48*2 + 32 = 48 – 96 + 32 = -16 < 0
לכן זו נקודת מקסימום.

עבור x = 4
f ” (4) = 12*4² – 48*4 + 32 = 192 – 192 + 32 = 32 > 0
לכן זו נקודת מינימום.