פתרון בגרות 372 קיץ 2024 מועד ב

סעיף א

A (0 , 15)

C (30 , 0)

סעיף ב

y = 2x

סעיף ג

E (6 , 12)

סעיף ד

(B (12 , 24

סעיף ה1

הוכחה

סעיף ה2

90

משוואת האלכסון AC:

y = – 0.5x + 15

הנקודה A נמצאת על ציר ה-y ולכן נציב x = 0 במשוואת AC:

y = – 0.5 • 0 + 15

y = 15

A (0 , 15)

הנקודה C נמצאת על ציר ה-x ולכן נציב y = 0 במשוואת AC:

0 = – 0.5x + 15

0.5: / 0.5x = 15

x = 30

C (30 , 0)

נתון שהאלכסון OB מאונך לאלכסון AC ולכן נמצא את שיפוע OB

לפי מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים שווה ל1-.

– 0.5 • m_OB = – 1

m_OB = 2

ונתון: O (0 , 0)

לכן נציב בנוסחה למציאת משוואת ישר על מנת למצוא את משוואת האלכסון OB:

y – 0 = 2 (x – 0)

y = 2x – משוואת האלכסון OB

נתון שהנקודה E היא נקודת החיתוך בין שני האלכסונים לכן על מנת למצוא אותה נשווה ביניהם:

2x = – 0.5x + 15

2.5x = 15

x = 6

נציב באחת מהמשוואות על מנת למצוא את ערך ה-y של E:

y = 2 • 6 = 12

E (6 , 12)

נמצא את הנקודה B לפי אמצע קטע:

זווית E היא זווית ישרה ולכן AE הוא גובה במשולש OAB.

בנוסף AE הוא גם תיכון משום שנקודה E היא אמצע הצלע OB

ואם במשולש הגובה והתיכון מתלכדים אז הוא משולש שווה שוקיים

ולכן המשולש OAB הוא שווה שוקיים.

OA = AB = 15 (הוכחנו משולש OAB שווה שוקיים)

משולש OBC הוא גם שווה שוקיים משום שAE הוא גם גובה וגם תיכון (בדומה להוכחה שעשינו בסעיף הקודם)

ולכן OC = BC = 30.

היקף המרובע OABC:

P_OABC = 30 • 2 + 15 • 2 = 90

סעיף א

12

סעיף ב

84 עמודים

סעיף ג1

2%

סעיף ג2

ב-16 ספרים

סעיף ד

כן

לפי דף הנוסחאות 7% נמצא מרחק 1.5 סטיות תקן ימינה מהממוצע ולכן:

על פי דף הנוסחאות 31% נמצא במרחק חצי סטיית תקן שמאלה מהממוצע ולכן:

מספר העמודים הגדול ביותר של ספר נוער שמושאל לשבוע אחד בלבד הוא 84 עמודים.

נבדוק את המרחק של 66 מהממוצע 90:

90 – 66 = 24

סטיית התקן היא 12 ולכן הוא נמצא 2 סטיות תקן ימינה מהממוצע ועל פי דף הנוסחאות מדובר ב-2% מספרי הנוער.

נחשב כמה זה 2% מתוך 800:

ולכן ב-16 מן הספרים מספר העמודים קטן מ-66

נחשב את ציון התקן של 85 לפי הנוסחה:

ולכן ייתכן שהספרנית הוציאה ספר שיש בו 85 עמודים.

סעיף א

6 מטרים

סעיף ב

7 מטרים

סעיף ג1

12.25 מטרים

סעיף ג2

2.5 < x < 6

סעיף ד

5 מטרים

y = – x² + 5x + 6

נמצא את נקודה D, מדובר בנקודת החיתוך עם ציר ה-y לכן נציב x = 0:

y = – 0² + 5 • 0 + 6

y = 6

לכן D (0 , 6)

ולכן גובה עמוד התמיכה:

מטרים OD = 6 – 0 =  6

על מנת למצוא את אורך הקטע AB נמצא קודם את הנקודות A ו-B,

הנקודות A ו-B הן נקודות חיתוך עם ציר ה-x ולכן נציב y = 0:

0 = x² + 5x + 6 –

A ( – 1 , 0) , B (6 ,0)

לכן המרחק AB:

מטרים AB = 6 – (-1) = 7

על מנת למצוא את הגובה המקסימלי נמצא תחילה את x קודקוד ולאחר מכן נציב ונמצא את y קודקוד:

נציב:

y = – 2.5² + 5 • 2.5 + 6

y = 12.25

לכן הגובה המקסימלי של המסלול הוא 12.25 מטרים

הקודקוד הוא נקודת קיצון מסוג מקסימום ולכן המסלול יהיה במגמת ירידה אחרי נקודת המקסימום בתחום:

2.5 < x < 6

נתון שהעמוד האנכי הנוסף באותו גובה של עמוד הבטון ולכן נציב y = 6 בפונקציה על מנת למצוא את ערכי ה-x:

6 = x² + 5x + 6 –

0 = x² + 5x –

x ( – x + 5) = 0

ולכן:

x = 0 או x = 5

ולכן המרחק בין שני עמודי התמיכה הוא 5.

סעיף א

1,920 סמ”ק

סעיף ב1

ל-30 קוביות

סעיף ב2

2,400 סמ”ר

סעיף ג1

1.5 ס”מ

סעיף ג2

141.37 סמ”ק

נמצא את נפח התבנית לפי אורך כפול גובה כפול רוחב:

24 • 20 • 4 = 1,920 סמ”ק

על מנת לחשב לכמה קוביות ליאת חתכה את העוגה נחשב תחילה את הנפח של כל קובייה:

V = 4³ = 64

נחלק את הנפח הכולל בנפח קובייה אחת:

1,920 : 64 = 30

ולכן ליאת חתכה את העוגה ל-30 קוביות.

על מנת למצוא את השטח הכולל שליאת ציפתה בשוקולד נחשב את שטח הפאה העליונה וארבעת הפאות הצדדיות של הקוביות שחתכה:

5 • 4 • 4 = 80 סמ”ר

נכפיל ב-30 קוביות שחתכה:

80 • 30 = 2,400 סמ”ר

ולכן השטח הכולל שליאת ציפתה בשוקולד הוא 2,400 סמ”ר

אם היקף הבסיס של החרוט הוא 3π ולכן נשווה לנוסחת שטח מעגל:

 2πR = 3π \ : 2π

ס”מ R = 1.5

נחשב את נפח החרוט:

נכפיל ב-30 קוביות:

סמ”ק 1.5π • 30 = 45π = 141.37

ולכן הנפח של הקצפת הדרוש הוא 141.37 סמ”ק