פתרון בגרות 371 קיץ 2023

סעיף א

גרף I

סעיף ב

5,000 סמ”ק

סעיף ג

7,200 סמ”ק

סעיף ד

8%

סעיף ה

9,065.75 סמ”ק

נתון שתהליך התפיחה של שני סוגי הבצק החל בשעה 8:00 .

בשעה זו היה נפח הבצק לעוגות גדול יותר מנפח הבצק לחלות.

גרף I מתחיל מנפח קטן יותר ולכן מתאר את נפח הבצק לחלות.

לפי הגרף נפח הבצק לחלות בשעה 8:00 היה 5,000 סמ”ק

נתון כי נפח הבצק לחלות גדל ב־ 20% בכל שעה.

נחשב את q:

q = 1 + 20/100 = 1.2

בנוסף לכך נתון:

M₀ = 5,000

t = 2

נציב בנוסחת גדילה ודעיכה:

M_t = M₀ • q^t

M₂ = 5,000 • 1.2²

M₂ = 7,200

נפח הבצק לחלות בשעה 10:00 היה 7,200 סמ”ק

נתון:

M₀ = 6,170

M₂ = 7,200

t = 2

q = ?

נציב בנוסחת גדילה ודעיכה:

M_t = M₀ • q^t

7,200 = 6,170 • q²

q² = 7,200/6,170

q² = 1.167

 q = -1.08 נפסל כי q חיובי

q = 1.08

המשמעות היא 8%.

ולכן ב-8% גדל נפח הבצק לעוגות בכל שעה.

נתון:

M₀ = 6,170

t = 5

q = 1.08

M₅ = ?

נציב בנוסחת גדילה ודעיכה:

M_t = M₀ • q^t

M₅ = 6,170 • 1.08⁵

M₅ = 9,065.75

נפח הבצק לעוגות בשעה 13:00 היה 9,065.75 סמ”ק

סעיף א

P (פתק מספר 2) = 1/4

סעיף ב

P (פעמיים 1) = 1/16

סעיף ג

3/16

סעיף ד

2/9

יש פתק אחד שרשום עליו המספר 2 מתוך 4 פתקים.

לכן ההסתברות היא 1 מתוך 4.

P (פתק מספר 2) = 1/4

1/4 זאת ההסתברות להוציא בפעם הראשונה את המספר 1 ומכיוון שחני החזירה את הפתק חזרה

אז ההסתברות להוציא את המספר 1 בפעם השנייה נותרה זהה.

מכיוון שזו הסתברות של “וגם” נבצע כפל הסתברויות:

P (פעמיים 1) = 1/16 = 1/4 • 1/4

יש 3 אופציות לקבלת סכום 4:

הוצאת פעמיים 2

הוצאת 1 ואז 3

הוצאת 3 ואז 1

ההסתברות להוציא 2 היא 1/4 וכך גם ההסתברות להוציא 1 וההסתברות להוציא 3.

נחשב את את כל אחת משלושת האופציות בנפרד לפי כפל הסתברויות כי מדובר בהסתברות של “וגם”:

P (הוצאת פעמיים 2) = 1/16 = 1/4 • 1/4

P (הוצאת 1 ואז 3) = 1/16 = 1/4 • 1/4

P (הוצאת 3 ואז 1) = 1/16 = 1/4 • 1/4

נחשב את ההסתברות לקבל סכום 4 לפי חיבור הסתברויות כי מדובר בהסתברות של “או”:

P (סכום 4) = 3/16 = 1/16 + 1/16 + 1/16

נתון שהוציאו מן המעטפה את הפתק שרשום עליו המספר 2 והניחו אותו בצד – במעטפה נותרו 3 פתקים בלבד.

יעל הוציאה באקראי פתק מן המעטפה, לאחר מכן החזירה אותו, ושוב הוציאה פתק באקראי.

כלומר כעת יש במעטפה את הפתקים 0 , 1 , 3 בלבד.

ולכן יש כעת רק 2 אופציות לקבל סכום 4:

הוצאת 1 ואז 3

הוצאת 3 ואז 1

ההסתברות להוציא 1 היא 1/3 וכך גם ההסתברות להוציא 3.

נחשב את את כל אחת משתי האופציות בנפרד לפי כפל הסתברויות כי מדובר בהסתברות של “וגם”:

P (הוצאת 1 ואז 3) = 1/9 = 1/3 • 1/3

P (הוצאת 3 ואז 1) = 1/9 = 1/3 • 1/3

נחשב את ההסתברות לקבל סכום 4 לפי חיבור הסתברויות כי מדובר בהסתברות של “או”:

P (סכום 4) = 2/9 = 1/9 + 1/9

סעיף א

ס”מ BK = 4

סעיף ב

12 סמ”ר

סעיף ג

2 : 3

סעיף ד

27 סמ”ר

סעיף ה

7 עוגיות קטנות ו-7 עוגיות גדולות

נתון ש BK הוא הגובה לבסיס AC במשולש שווה השוקיים ABC

במש”ש הגובה והתיכון מתלכדים ולכן

AK = AC =  ס”מ 3

משפט פיתגורס במשולש BKC:

BK² + 3² = 5²

BK² = 16

BK = – 4 נפסל כי BK חיובי.

ס”מ BK = 4

שטח העוגייה הקטנה:

12 סמ”ר =  S_ABC = (4 • 6) : 2

EDF ∼ BAC

לכן AC ו DF הן צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.

על מנת לחשב את יחס הדמיון נחלק את הצלע DF בצלע AC:

DF : AC = 9 : 6 = 3 : 2

יחס הדמיון הוא:

3 : 2 = 1.5

יחס השטחים של משולשים דומים הוא יחס הדמיון בריבוע. ולכן יחס השטחים הוא

1.5² = 2.25

כלומר נכפיל את השטח של העוגייה הקטנה שחישבנו בסעיף ב’ ב-2.25 על מנת לקבל את השטח של עוגייה גדולה.

12 • 2.25 = 27

לכן השטח של עוגייה גדולה הוא 27 סמ”ר

נתון שרוני רידדה את הבצק עד ששטחו היה 546 סמ”ר.

להכנת כל העוגיות היא השתמשה בחצי משטח הבצק המרודד. כלומר היא השתמש ב:

546 : 2 = 273

סמ”ר

נתון גם שהיא הכינה מן הבצק כמות שווה של עוגיות קטנות וגדולות. נסמן:

x כמות העוגיות הקטנות שהיא הכינה = כמות העוגיות הגדולות שהיא הכינה

שטח של עוגייה גדולה אחת – 27 סמ”ר

שטח של עוגייה קטנה אחת – 12 סמ”ר

נבנה משוואה:

27x + 12x = 273

39x = 273

x = 7

לכן רוני הכינה 7 עוגיות קטנות ו-7 עוגיות גדולות.

סעיף א

BC = 14 מטרים

סעיף ב

280 מ”ר

סעיף ג

41.2 מטרים

סעיף ד

∠ACE = 19.46º

נחשב את BC לפי tan במשולש ABC:

שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות הסמוכות.

S_ABCD = 14 • 20 = 280 מ”ר

על מנת לחשב את אורך הגדר שמסביב לגינת הכלבים נחשב את היקף EBC.

נמצא תחילה את EC לפי משפט פיתגורס:

14² + 10² = EC²

 EC² = 296 / √

EC = – 17.2 נפסל כי EC חיובי

EC = 17.2

ולכן היקף ECB:

14 + 10 + 17.2 = 41.2

מטרים

כאשר מבקשים זווית שאינה שייכת למשולש ישר זווית לרוב נחשב אותה על ידי חיסור זוויות.

וכך גם כאן:

∠ACE = ∠ACB – ∠ECB

על מנת לחשב את זווית ACE נחסר בין הזוויות שחישבנו:

∠ACE = ∠ACB – ∠ECB

∠ACE = 55º – 35.54° = 19.46º

סעיף א1

40 עובדים

סעיף א2

28 עובדים

סעיף ב

במפעל ב’

סעיף ג

סעיף ד

12,400 ש”ח

סעיף ה

10,700 ש”ח

על מנת לחשב את כמות העובדים במפעל א’ נחבר את כמות העובדים במחלקת ייצור לעובדים במחלקת הנהלה ולעובדים במחלקת שיווק:

8 + 12 + 20 = 40 עובדים

על מנת לחשב את כמות העובדים במפעל ב’ נחבר את כמות העובדים במחלקת ייצור לעובדים במחלקת הנהלה ולעובדים במחלקת שיווק:

14 + 10 + 4 = 28 עובדים

על מנת לחשב באיזה מן המפעלים אחוז העובדים במחלקת השיווק גדול יותר נחשב את אחוז העובדים במחלקת שיווק בכל מפעל.

מפעל א’:

12 עובדי שיווק מתוך 40, לכן האחוז הוא:

30%

מפעל ב’:

10 עובדי שיווק מתוך 28, לכן האחוז הוא:

אחוז העובדים במחלקת השיווק של מפעל ב’ גדול יותר.

נשלים את מספר העובדים לפי הגרף:

על מנת למצוא את המשכורת של עובד במפעל ב’ במחלקת שיווק נבנה משוואה לפי ממוצע המשכורות במפעל ב’:

לכן 12,400 ש”ח היא המשכורת של עובד במפעל ב’ במחלקת השיווק.

על מנת לחשב את החציון נמצא קודם את מיקומו, מכיוון שמספר העובדים הכולל במפעל ב’ הוא מספר זוגי אז נחשב את מיקום החציון בצורה זו:

העובד במקום ה-14 הוא עובד במחלקת שיווק והעובד במקום ה-15 הוא עובד במחלקת ייצור,

נחשב את הממוצע משכורות שלהם על מנת למצוא את החציון:

ולכן החציון הוא 10,700 ש”ח

סעיף א

(0 , 0) (3 , 0)

סעיף ב

גרף 1

סעיף ג

(2.25 , 1.5)

סעיף ד

 0 < x < 1.5

סעיף ה

לא

f (x) = -x² + 3x

על מנת לחשב את שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה-x נציב y = 0:

0 = -x² + 3x

נוציא גורם משותף:

0 = x (- x + 3)

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

x = 0

-x + 3 = 0

x = 3

ולכן הנקודות הן:

(0 , 0) (3 , 0)

המקדם של x² הוא שלילי ולכן מדובר בפרבולה “עצובה”/הפוכה

בנוסף לכך יש לפרבולה נקודת חיתוך בראשית הצירים וב- (3,0) ולכן רק גרף 1 יתאים.

על מנת למצוא את שיעורי הנקודה שבה המים מגיעים לגובה מקסימלי

נחשב את הקודקוד של הפרבולה שהוא נקודת קיצון מסוג מקסימום

נחשב את ה-x קודקוד לפי הנוסחה:

2-/3- = x קודקוד

1.5 = x קודקוד

נציב את ה-x שמצאנו במשוואת הפרבולה על מנת למצוא את ה-y:

f (1.5) = -1.5² + 3 • 1.5 = 2.25

ולכן שיעורי הנקודה שבה המים מגיעים לגובה מקסימלי (2.25 , 1.5)

מכיוון שמדובר בנקודת קודקוד מסוג מקסימום אז הפונקציה נמצאת בעליה לפני הקודקוד

ולכן זרם המים נמצא בעליה כאשר:

 0 < x < 1.5

שימו לב שנתון שרק החלק החיובי של הפרבולה הנתונה בשאלה מתאר את המסלול

של זרימת המים מעל פני המים בבריכה ולכן מתייחסים רק לחלק שגדול מ-0.

הגובה המקסימלי של המזרקה הוא 2.25 מ’ ומכיוון שהציפור עברה בגובה של 3 מ’ מעל הבריכה

היא עברה מעל הגובה המקסימלי המזרקה ולכן לא נרטבה.