פונקציית פולינום מציאת נקודות חיתוך עם הצירים

בדף זה נלמד למצוא נקודות חיתוך עם הצירים של פונקציית פולינום.

כמו בפרבולה או בקו ישר, נקודות החיתוך מתקבלות על ידי ההצבה הזו:

• x = 0 נקודת חיתוך עם ציר ה y.
• y = 0 נקודת חיתוך עם ציר ה x.

מכוון שמציאת נקודות חיתוך משולבות לרוב עם מציאת תחומי חיוביות ושליליות, נוספה שאלה בנושא חיוביות ושליליות גם כאן.

על מנת לדעת

אם אתם מתעניינים רק בנקודות חיתוך, דלגו על סעיפים ב-ג.

הערה 1
כאשר כותבים “ערך הפונקציה” הכוונה היא ערך ה y.
לדומה:
אם כתוב:
ערך הפונקציה הוא 6
אז
y = 6.

• “ערך הפונקציה” מידע מפורט.

הערה 2
כאשר רואים שכתוב
f(0) = ….

הכוונה היא שהציבו x = 0 במשוואת הפונקציה.

למשל:
הציבו x = 0 בפונקציה f(x) = 2x² – 1

אז זה יראה כך
f(0) = 2*0² – 1
f(0) = – 1

והמסקנה היא שכאשר x = 0 אז y = -1.

הצבה של x = 3 בפונקציה תראה כך:

f (3) = 2 * 3² – 1
f(3) = 2 * 9 – 1
f(3) = 18 – 1 = 17

והמסקנה היא שכאשר x = 3 אז y = 17.

1.סוגים של פונקציות ומשוואות

כדי למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0 בפונקציה וזו פעולה יחסית פשוטה.

לעומת זאת כדי למצוא נקודות חיתך עם ציר ה x מציבים y = 0.

במקרה זה נוכל לקבל מספר סוגים של משוואות.

בחלק זה נעבור על הסוגים השונים של המשוואות והדרך לפתור אותם.

אפשרות ראשונה: משוואה ריבועית

f(x) = x² + 10x + 16

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה x נציב y =0  ונקבל:

0 = x² + 10x + 16

זו משוואה ריבועית שאנו יכולים לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.

אפשרות שנייה: כפל ביטויים השווה 0

אתם צריכים לדעת כי כאשר מכפלת ביטויים שווה ל 0 אז לפחות אחד מהביטויים שווה ל 0.

• נלמד כאן.

f(x) = (x – 5)(x + 10)

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה x נציב y = 0  ונקבל:

0 = (x – 5)(x + 10)

הביטוי הזה הזה שווה 0 כאשר לפחות אחד מהביטויים שווה 0.

אפשרות ראשונה

x – 5 = 0
x = 5

אפשרות שנייה

x + 10 = 0
x = -10

דוגמה 2

f(x) = (x – 5)(x + 10)²

גם במקרה זה התשובה נשארת אותו דבר, זה לא משנה שהוסיפו חזקה מעל אחד האיברים.

אפשרות ראשונה

x – 5 = 0
x = 5

אפשרות שנייה

(x + 10)² = 0
x + 10 = 0
x = -10

דוגמה 3

גם כאשר יש לנו כפל של 3 איברים הרעיון של הפתרון הוא אותו רעיון.

f(x) = (x – 5)(x + 10)x

0 = (x – 5)(x + 10)x

ואז שלושת האפשרויות הן:

אפשרות ראשונה

x – 5 = 0
x = 5

אפשרות שנייה

x + 10 = 0
x = -10

אפשרות שלישית

x = 0

אפשרות שלישית: פתרון על ידי הוצאת גורף משותף

לפעמים ניתקל במשוואה מחזקה שלישית או יותר ונחשבו “לא למדנו לפתור משוואות כאלו”.

אז הרבה פעמים משוואות מסוג זה נפתרות על ידי הוצאת גורם משותף.

דוגמה:

f(x) = x³ + 5x² + 6x

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה x נציב y = 0  ונקבל:

0 = x³ + 5x² + 6x

על מנת לפתור את המשוואה הזו עלינו להוציא x כגורם משותף.

0 = x(x² + 5x + 6)

עכשיו קיבלנו כפל של שני ביטויים שאחד מיהם לפחות צריך להיות שווה ל 0.

x = 0

או

x² + 5x + 6 = 0

אפשרות רביעית: אנו לא יודעים לפתור

f(x) = x³ + 6x + 7

כאשר נציב y = 0 נקבל:

0 = x³ + 6x + 7

זו משוואה שאנו לא יודעים לפתור.
אז מה עושים?

לא יתנו לנו לפתור משוואה כזו!

אם יבקשו שנמצא נקודות חיתוך זה על ידי משוואות שאנו יודעים לפתור.

מה שכן יכולים לבקש מאיתנו לזהות מבין מספר נקודות מי היא נקודת החיתוך עם ציר ה x.

דוגמה

נתונה הפונקציה f(x) = x³ + 6x + 7

מי מבין הנקודות הבאות היא נקודת החיתוך עם ציר ה x?

A(2,0)
B(-1,0)

2.דוגמה 

בחלק זה נפתור תרגיל אחד באופן מלא כדוגמה.

דוגמה
נתונה הפונקציה:

f (x) = (x + 2) (x – 3)

1. מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה-x ועם ציר ה-y.
2. ידוע שזו פרבולה עם נקודת מינימום. שרטטו סקיצה של גרף הפרבולה.
3. מצאו תחומי חיוביות ושליליות.

פתרון

סעיף א’: חיתוך עם הצירים

נקודות חיתוך עם ציר ה y.
נציב x = 0 במשוואת הפרבולה.

f (0) = (0 + 2) (0 – 3) =
2 * (-3) = -6

כאשר x = 0 אז y = -6.

נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:  (6- , 0)

נקודות חיתוך עם ציר ה  x
נציב y = 0 במשוואה הפרבולה.

(x + 2) (x – 3) = 0

הפונקציה שווה ל 0 כאשר:
אפשרות 1
הביטוי (x + 2) שווה ל 0.

כלומר:
x + 2 = 0
x = -2

(-2,0)

אפשרות 2
הביטוי (x – 3) שווה ל 0.

כלומר:
0 = x – 3
x = 3

(3,0)

סעיף ב’: שרטוט פרבולה

נסמן את הנקודות שמצאנו על מערכת הצירים

ונשרטט פרבולה עם נקודת מינימום שעוברת דרך הנקודות:

 

סעיף ג: חיוביות ושליליות

תחומי החיוביות הם כאשר ערכי ה y חיוביים וזה קורה כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x.
כלומר כאשר:
x > 3  או  x < -2

תחומי השליליות הם כאשר ערכי ה y שליליים וזה קורה כאשר הגרף מתחת לציר ה x.
כלומר כאשר:

-2<x<3

3.תרגילים