בדף זה פתרון בגרות 382 חורף 2020.
את החומר ניתן ללמוד בדפים הבאים:
שאלה 1
רמזים
פתרון
סעיף א
נגדיר משתנים:
x – מחיר מנת פלאפל
y – מחיר בקבוק שתייה
ביום הראשון
נתון כי ביום הראשון אמיר קנה מנת פלאפל אחת ובקבוק שתייה אחד ושילם 27 ש”ח, לכן נבנה משוואה:
x + y = 27
y = 27 – x
ביום השני
נתון כי ביום השני הייתה הנחה של 25% על מנת הפלאפל, לכן מחיר מנת פלאפל ביום השני היא 0.75x.
במחיר השתייה לא היה שינוי.
אמיר קנה ביום השני 3 מנות פלאפל ובקבוק שתייה אחד ושילם עבורם 49.5 ש”ח.
המשוואה של היום השני:
3 * 0.75x + y = 49.5
2.25x + y = 49.5
פתרון של שתי משוואות עם שני נעלמים
קיבלנו את שתי המשוואות:
y = 27 – x
2.25x + y = 49.5
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
2.25x + 27 – x = 49.5 / – 27
1.25x = 22.5 / : 1.25
x = 18
מחיר מנת פלאפל ביום הראשון היה 18 ש”ח.
נציב x = 18 במחיר בקבוק שתייה ביום הראשון:
y = 27 – x
y = 27 – 18 = 9
מחיר בקבוק שתייה היה 9 ש”ח ביום הראשון.
תשובה סופית: ביום הראשון המחירים היו:
מנת פלאפל- 18 ש”ח
בקבוק שתייה- 9 ש”ח
סעיף ב
1.המחיר ששילמה קרן ביום הראשון.
מחיר מנת פלאפל- 18 ש”ח
מחיר בקבוק שתייה- 9 ש”ח
קרן קנתה 9 מכל אחד ולכן שילמה:
243 = 9 * 9 + 18 * 9
2.המחיר ששילמה קרן ביום השני.
מחיר מנת פלאפל ביום השני הוא 75% מהיום הראשון.
13.5 = 18 * 0.75
מחיר בקבוק השתייה נשאר 9 ש”ח.
נמצא את מחיר 9 מנות פלאפל ו-9 בקבוקים ביום השני:
202.5 = 9 * 9 + 13.5 * 9
כעת נמצא את ההפרש במחירים:
40.5 = 202.5 – 243
אחוז ההפרש מתוך המחיר ביום הראשון:
המחיר שקרן שילמה ביום השני היה נמוך ב- 16.666% מהמחיר שהיא שילמה ביום הראשון.
שאלה 2
סעיף א
באופן כללי, למציאת הנקודות C ו-B נציב y = 0 במשוואת הישר עליהם הם נמצאים.
מציאת הנקודה B
משוואת הישר עליו הנקודה נמצאת:
y = 3x – 18
נציב y = 0.
3x – 18 = 0 / + 18
3x = 18 / : 3
x = 6
שיעורי הנקודה B הם B(6 , 0)
מציאת הנקודה C:
משוואת הישר עליו הנקודה נמצאת:
y = -x + 14
נציב y = 0.
-x + 14 = 0 / + x
x = 14
שיעורים הנקודה C הם C(14 , 0)
תשובה סופית:
שיעורי הנקודה B הם B(6 , 0)
שיעורים הנקודה C הם C(14 , 0)
סעיף ב
1.מציאת ערך x של D
משוואת הישר BD:
y = 3x – 18
משוואת הישר CD:
y = -x + 14
הנקודה D היא חיתוך של הישרים הללו ולכן:
3x – 18 = -x + 14 / + x + 18
4x = 32 / :4
x = 8
2.מציאת ערך y של D
כעת נציב ערך x זה באחת ממשוואות הישר:
y = -x + 14 = -8 + 14 = 6
שיעורי הנקודה D הם D(8 , 6)
סעיף ג
מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1-.
נמצא את שיפוע הישר AB ונכפיל בין שיפועי הישרים AB ו-BD.
שיעורי הנקודות: A(0 , 2) , B(6 , 0)
שיפוע AB:
משוואת הישר BD:
y = 3x – 18
לכן שיפוע BD הוא 3.
מכפלת השיפועים:
המכפלה היא 1- ולכן הישרים מאונכים.
סעיף ד 1
מצאנו בסעיף הקודם כי AB ⊥BD, לכן שטח המשולש ABD יהיה:
SΔABD = 0.5 * AB * BD
נמצא את אורכי AB ו-BD לפי נוסחת מחר בין שתי נקודות.
A(0 , 2) , B(6 , 0) , D(8 , 6)
= SΔABD = 0.5 * AB * BD
= 0.5 * √40 * √40 = 20
שטח המשולש ΔABD הוא 20 יחידות שטח.
סעיף ד 2
המרובע ABCD מורכב מהמשולשים ΔABD ו- ΔBCD.
את שטח ΔABD כבר מצאנו. נשאר למצוא את שטח ΔBCD.
SΔBCD = 0.5 * h * BC
h = yD = 6
BC = xC – xB = 14 – 6 = 8
= SΔBCD = 0.5 * h * BC
= 0.5 * 6 * 8 = 24
מסעיף קודם: שטח המשולש ΔABD הוא 20 יחידות שטח.
SABCD = SΔABD + SΔBCD = 20 + 24 = 44
שטח המרובע ABCD הוא 44 יחידות שטח.
שאלה 3
סעיף א 1
נתון ש-AB הוא קוטר, לכן M היא מרכז הקטע.
נמצא את שיעורי M בעזרת נוסחת מרכז קטע והנקודות הנתונות:
A(0 , 2) , B(8 , 0)
xM = 0.5(xA + xB) = 0.5 * (0 + 8) = 4
yM = 0.5 * (yA + yB) = 0.5 * (2 + 0) = 1
לכן שיעורי הנקודה M הם M(4 , 1)
סעיף א 2
נוסחת מעגל כללית, כאשר M מרכז המעגל:
(x – xM)² + (y – yM)² = R²
שיעורי מרכז המעגל נתונים לנו, נשאר למצוא את R.
ניתן לעשות זאת ע”י מרחק M מהנקודה A או מהנקודה B. רנדומלית אנחנו נפתור כאן עם נקודה A.
A(0 , 2) , M(4 , 1)
נציב ערכים אלה במשוואת המעגל:
R = √17 , M(4 , 1)
(x – 4)² + (y – 1)² = 17
סעיף ב
A(0 , 2) , B(8 , 0)
נציב נקודות אלה בנוסחת השיפוע:
שיפוע הישר AB הוא 0.25-
סעיף ג
ידוע שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה (בנוסף, במסומן בשרטוט שהקוטר והמשיק מאונכים).
מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1-.
נסמן: m – שיפוע המשיק
מצאנו בסעיף הקודם כי שיפוע AB הוא 0.25-, לכן נבנה את המשוואה:
-0.25m = -1 / : -0.25
m = 4
משוואת המשיק החלקית:
y = 4x + b
למציאת הפרמטר b נציב את הנקודה B במשוואה החלקית שמצאנו:
B(8 , 0)
0 = 4 * 8 + b
0 = 32 + b / – 32
b = -32
לכן משוואת המשיק היא:
y = 4x – 32
סעיף ד 1
הישר AD מקביל לציר x, לכן ערך y של נקודה A שווה לערך y של נקודה D.
yD = yA = 2
מצאנו בסעיף הקודם שמשוואת המשיק היא y = 4x – 32
נציב במשוואת המשיק y = 2
2 = 4x – 32 / + 32
34 = 4x / : 4
x = 8.5
שיעורים הנקודה D הם D(8.5 , 2)
סעיף ד 2
למציאת ההיקף צריך למצוא את AB , BD, AD
מציאת AB
AB הוא קוטר במעגל, לכן אורכו שני רדיוסים.
מצאנו בסעיף א כי אורך הרדיוס הוא 17√, לכן
AB = 2√17
מציאת BD
נמצא את BD בעזרת נוסחת מרחק בין נקודות:
D(8.5 , 2) , B(8 , 0)
מציאת AD:
דרך א:
הישר AD מקביל לציר x, לכן אורכו הוא הפרש ערכי x של שתי הנקודות.
D(8.5 , 2) , A(0 , 2)
AD = xD -xA = 8.5 – 0 = 8.5
דרך ב:
מצאנו בסעיף הקודם כי ΔABD הוא ישר זווית, לכן אפשר להשתמש במשפט פיתגורס:
AB² + BD² = AD²
AB = 2√17 , BD = √4.25
AD² = (2√17)² + (√4.25)² = 4 * 17 + 4.25
AD² = 72.25
AD = 8.5
דרך ג:
נוסחת מרחק בין הנקודות A ו-D:
D(8.5 , 2) , A(0 , 2)
מציאת היקף המשולש
היקף המשולש הוא סכום אורכי הצלעות:
PΔABD = AB + BD + AD =
= 2√17 + √4.25 + 8.5 = 18.8
הערה: בשאלה כתוב שניתן היה להשאיר את התשובה עם השורשים במחברת הבחינה.
שאלה 4
סעיף א
ההגבלה על x היא שאסור למכנה להתאפס.
לכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0
סעיף ב
למציאת נק’ הקיצון של הפונקציה נגזור אותה ונשווה לאפס.
נגזרת הפונקציה היא נגזרת מנה.
0.25x² – 9 = 0 / : 0.25
x² – 36 = 0
(x + 6) * (x – 6) = 0
x1 = -6 , x2 = 6
מצאנו שתי חשודות לקיצון:
| x > 6 | x = 6 | 0 < x < 6 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
| -6 < x < 0 | x = -6 | x < -6 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
הפרדנו תחומים בגלל תחום ההגדרה, x ≠ 0. יכול להיות שסימן הנגזרת יתחלף בנקודה זו, ולכן יש לבדוק זאת כתחומים שונים.
נציב ערך x בנגזרת עבור כל אחד מהתחומים לבדיקת חיוביות/שליליות:
עבור x > 6:
עבור
0 < x < 6
עבור x < -6
עבור
-6 < x < 0
| x > 6 | x = 6 | 0 < x < 6 | תחום |
| 0 < 0.066 | 0 > 8.75- | f ‘ (x) | |
| עולה | מינימום | יורדת | f(x) |
| -6 < x < 0 | x = -6 | x < -6 | תחום |
| 0 > 8.75- | 0 < 0.066 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
לכן לפונקציה יש נקודת מינימום ב- x = 6 ונקודת מקסימום ב- x = -6
נציב ערכי x אלו בפונקציה כדי למצוא את שיעור y של נקודות אלה.
לכן נקודות הקיצון הן:
מקסימום- (3- , 6-)
מינימום- (3 , 6)
סעיף ג
לפי הטבלה מהסעיף הקודם, תחומי העלייה של הפונקציה הם:
x > 6 , x < -6
סעיף ד
חיתוך עם ציר y
מתחום ההגדרה אנו יודעים כי x ≠ 0, ולכן לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר y.
חיתוך עם ציר x
למציאת חיתוך עם ציר y נשווה את הפונקציה לאפס:
0.25x² + 9 = 0 / – 9
0.25x² = -9 / : 0.25
x² = -36
למשוואה זו אין פתרון, מכיוון שמספר בריבוע הוא תמיד חיובי.
לכן לפונקציה אין גם חיתוך עם ציר x.
תשובה סופית: לפונקציה אין נק’ חיתוך עם הצירים.
סעיף ה
נאסוף את הנתונים שמצאנו עד כה על הפונקציה:
תחום ההגדרה הוא x ≠ 0
לפונקציה אין נק’ חיתוך עם הצירים
תחומי עלייה: x > 6 , x < -6
מקסימום- (3- , 6-)
מינימום- (3 , 6)
הגרף היחיד המתאים לכל הנתונים הללו הוא גרף 1.
סקיצת הגרף:
שאלה 5
סעיף א
למציאת שיעורי נק’ הקיצון של הפונקציה, נצטרך לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת לאפס.
f(x) = -2x² + 4x + 13
f ‘ (x) = -4x + 4 = 0 / + 4x
4 = 4x / : 4
x = 1
x = 1 הוא חשוד לקיצון. נוודא שהוא אכן נק’ מקסימום:
| x > 1 | x = 1 | x < 1 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
נציב x עבור כל אחד מהתחומים לבדיקת חיוביות/שליליות הפונקציה
f ‘ (x) = -4x + 4
עבור x < 1:
f ‘ (0) = -4 * 0 + 4 = 4 > 0
עבור x > 1:
f ‘ (2) = -4 * 2 + 4 = -4 < 0
| x > 1 | x = 1 | x < 1 | תחום |
| -4 < 0 | 4 > 0 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
בנקודה x = 1 יש מקסימום, לכן זה שיעור x של נקודה B
נציב ערך x זה בפונקציה למציאת ערך y של נקודה B:
f(x) = -2x² + 4x + 13
= f(1) = -2 * 1² + 4 * 1 + 13
= -2 + 4 + 13 = 15
תשובה סופית: שיעורי הנקודה B הם B(1 , 15)
סעיף ב 1
שיפוע המשיק בנקודה מסוימת זה הוא ערך הנגזרת באותה הנקודה.
למציאת שיפוע המשיק בנקודה A נציב בנגזרת x = 3
f ‘ (x) = -4x + 4
f ‘ (3) = -4 * 3 + 4 = -8
שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה A הוא 8-.
סעיף ב 2
אנו יודעים ששיפוע המשיק הוא 8-, לכן משוואת המשיק החלקית היא:
y = -8x + b
למציאת הפרמטר b יש להציב נקודה על המשיק במשוואה.
לכן יש למצוא את שיעור y של נקודה A. נציב x = 3 בפונקציה:
f(x) = -2x² + 4x + 13
f(3) = -2 * 3² + 4 * 3 + 13 = -18 + 12 + 13 = 7
לכן שיעורי נקודה A הם A(3 , 7)
נציב שיעורי הנקודה במשוואת המשיק:
7 = -8 * 3 + b
7 = -24 + b / + 24
b = 31
לכן משוואת המשיק היא:
y = -8x + 31
סעיף ג
השטח הדרוש הוא השטח הכחול.
לחישוב השטח הכחול נמצא את כלל השטח מתחת למשיק ונחסר ממנו את השטח מתחת לפרבולה
נגדיר:
S – השטח המבוקש
S1 – השטח הכולל מתחת למשיק
S2 – השטח מתחת לפרבולה
S = S1 – S2
חישוב S1
= -4 * 3² + 31 * 3 – (-4 * 1² + 31 * 1) =
= -36 + 93 – (-4 + 31) =
= 57 – 27 = 30
חישוב S2
מציאת S
גודל השטח הדרוש הוא 3 / 16 יחידות שטח.
שאלה 6
סעיף א
למציאת המספר עבורו סכום המספרים הוא מקסימלי נגדיר פונקציה f(x) אשר תהיה סכום המספרים:
(x-) – המספר הראשון
x√ – המספר השני
f(x) = √x + (-x) = √x – x
למציאת המספר עבורו הסכום מקסימלי נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס.
1 – 2√x = 0 / + 2√x
1 = 2√x / : 1
0.5 = √x / ()²
x = 0.25
חשודה לקיצון- x = 0.25
בחלוקה לתחומים נשים לב כי x לא יכול להיות שלילי כי מתחת לשורש לא יכול להיות ביטוי שלילי.
| x > 0.25 | x = 0.25 | 0 < x < 0.25 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
נציב בנגזרת x עבור כל אחד מהתחומים לבדיקת חיוביות/שליליות:
עבור
:0 < x < 0.25
עבור x > 0.25:
| x > 0.25 | x = 0.25 | 0 < x < 0.25 | תחום |
| 0 > 0.5- | 0 < 0.58 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
לכן עברו x = 0.25 סכום המספרים הנתונים הוא מקסימלי.
סעיף ב
למציאת הסכום נציב את ערך x שמצאנו בפונקציה:
f(x) = √x – x
= f(0.25) = √0.25 – 0.25
0.25 = 0.25 – 0.5 =
הסכום המקסימלי של שני המספרים הנתונים הוא 0.25.