בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 482 מועד חורף 2020

נציב את הנתונים בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית ונקבל משוואה עם נעלם אחד.

זהו את

a₁
a₃

בסדרה החדשה ומכך מצאו את q של הסדרה החדשה.

צרו מהסדרה הישנה את האיבר החמישי בסדרה החדשה ותזהו את הקשר בניהם.

כך נראית הסדרה לאחר ההוספה.

a₁, a₂, a₃, a₄, a_5, a₆ ….

הסדרה המקורית כתובה באפור (נקרא לסדרה הסדרה האפורה).
סדרת המקומות הזוגיים כתובה באדום (נקרא לסדרה הסדרה האדומה).

מצאנו כי מנת הסדרה הזו היא 0.5.

ניתן לפתור בשתי דרכים:

1. לזהות את הקשר בין שני איברים סמוכים ולהכליל ממנו על הסדרה כולה.
2. לחשב את סכום המקומות הזוגיים ולראות אם זה יוצא חצי.

סעיף א

a₁ = 7

סעיף ב

q_new = 0.5

סעיף ג

טענה 1: לא נכונה

טענה 2: נכונה

דרך הפתרון
נציב את הנתונים בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית ונקבל משוואה עם נעלם אחד.

פתרון
נציב בנוסחת הסכום את הנתונים:
S = 28/3
q = 0.25

נכפיל את המשוואה ב – 0.75 ונקבל:

a₁ = 7

תשובה:
a₁ = 7

בסדרה החדשה

a₁ = 7
a₃ = 7 * 0.25 = 1.75

כמו כן מתקיים:

a₁ * q_new² = a₃
7 * q_new ² = 1.75
q_new² = 0.25

q_new = ± 0.5

נתון כי כל איברי הסדרה החדשה חיוביים לכן הפתרון החיובי הוא המתאים:
q_new = 0.5

תשובה:
q_new = 0.5

טענה 1:

הטענה אינה נכונה מכיוון שהאיבר החמישי בסדרה החדשה הוא האיבר השלישי בסדרה הנתונה:

הערה: כאשר אומרים הסדרה הנתונה מתכוונים לסדרה הראשונה.

נשרטט את האיבר החמישי בסדרה החדשה:
(האיברים שמסומנים באדום אלו איברים שנוספו.

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅

אנו רואים שהאיבר החמישי בסדרה החדשה הוא השלישי בסדרה הנתונה.

לכן הטענה לא נכונה.

טענה 2:

ניתן לפתור בשתי דרכים:

דרך פתרון ראשונה: הסבר

כך נראית הסדרה לאחר ההוספה.

a₁, a₂, a₃, a₄, a_5, a₆ ….

הסדרה המקורית כתובה באפור (נקרא לסדרה הסדרה האפורה).
סדרת המקומות הזוגיים כתובה באדום (נקרא לסדרה הסדרה האדומה).

מצאנו כי מנת הסדרה הזו היא 0.5.
כלומר כל איבר אדום שווה לחצי מהאיבר האפור הנמצא לשמאלו.
ומכוון ששתי הסדרות אינסופיות לכל איבר אדום יש איבר אפור משמאלו.

לכן סדרת המקומות האדומים שווה לחצי מסדרת המקומות האפורים. והטענה נכונה.

דרך פתרון שנייה לטענה השנייה: חישוב

הסכום של הסדרה המקומית הוא 9.333.

נחשב את סכום המקומות הזוגיים ונראה אם זה יוצא חצי.
על מנת לחשב עלינו למצוא בסדרה החדשה את:

1. האיבר הראשון.
2. מנת הסדרה.

נחשב את האיבר הזוגי הראשון בסדרה החדשה, נסמנו ב – b₁.

b₁ = a₁ * q_new
b₁ = 7 * 0.5 = 3.5

כמו כן בסדרת המקומות הזוגיים
q ‘ = q_new ² = 0.5² = 0.25

נחשב את סכום הזוגיים.
נציב בנוסחת הסכום:
b₁ = 3.5
q ‘ = 0.25

קיבלנו כי אכן סכום סדרת הזוגיים בסדרה החדשה שווה לחצי מסכום הסדרה המקורית.
לכן הטענה נכונה.

סעיף א

הזווית בין אלכסון הפאה BB’C’C לבין בסיס המנסרה היא 63.43.

סעיף ב

∠AC’B = 24.09

סעיף ג

שטח המשולש הוא S = 8√5 יחידות שטח.

סעיף ד

A’D = √(84)

דרך הפתרון

1. נשתמש בתכונות משולש ישר זווית ושווה שוקיים ונמצא את  ‘C’B
2. במשולש ‘BB’C אנו יודעים שתי צלעות ולכן יכולים לחשב זוויות.

פתרון

1.מציאת ‘C’B

ראשית, נמצא את גודל השוקיים במשולש שווה השוקיים המהווה את בסיס המנסרה.
נתבונן במשולש ‘A’B’C:

נשתמש בפונקציית הקוסינוס:

C’B’ = 4

נתבונן כעת במשולש ‘BB’C:

נסמן את הזווית בין ‘BC ל – ‘C’B כ – α, זוהי הזווית המבוקשת.
נשתמש בפונקציית הטנגנס על מנת למצוא אותה:

tan (a) = 2
α = 63.43

תשובה:
הזווית בין אלכסון הפאה BB’C’C לבין בסיס המנסרה היא 63.43.

דרך הפתרון היא מציאת האלכסון ‘BC על ידי שימוש במשפט פיתגורס במשולש ‘BB’C, ומציאת הזווית המבוקשת על ידי שימוש בפונקציית הטנגנס במשולש AC’B.

פתרון

נתבונן שוב במשולש ‘BB’C:

נשתמש במשפט פיתגורס על מנת למצוא את ‘BC:

BC’² = BB’² + C’B’²
BC’² = 8² + 4²
BC’² = 64 + 16 = 80
BC’ = ±4√5

נבחר בפתרון החיובי מכיוון שמדובר בצלע:

BC’ = 4√5

נתבונן כעת במשולש AC’B:

נסמן את הזווית המבוקשת:

∠AC’B = β

נשתמש בפונקצית הטנגנס:

β = 24.09

תשובה:

∠AC’B = 24.09

דרך הפתרון היא חישוב שטח המשולש בעזרת הנוסחה לחישוב שטח משולש ישר זווית.

נתבונן שוב במשולש AC’B:

נחשב את שטח המשולש:

S = 0.5*BC’*AB
S = 0.5*4√5*4
S = 8√5

תשובה:
שטח המשולש הוא S = 8√5 יחידות שטח.

דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס במשולש A’DB.

נתבונן במשולש A’DB:

אורך הקטע BD הוא 2 מכיוון שנתון כי D היא אמצע הקטע CB:
BD = 0.5*CB = 0.5*4 = 2
A’B שווה ל – C’B מכיוון ששתיהם אלכסונים בשתי פאות חופפות של המנסרה הישרה.
לכן:
A’B = C’B = 4√5
מדובר במשולש ישר זווית מכיוון ש – A’B ו – DB מוכלים המישורים המאונכים זה לזה, ולכן צלעות אלו מאונכות.
נחשב את A’D בעזרת משפט פיתגורס:

A’D² = BD² + A’B²
A’D² = 2² + (4√5)²
A’D² = 4 + 80
A’D² = 84
A’D = ±√(84)

נבחר בפתרון החיובי מכיוון שמדובר בצלע:

A’D = √(84)

תשובה:
A’D = √(84)

סעיף א1

(0,0)
(0.5π,0)
(π,0)

סעיף א2

min(0,0)
max(0.25π,1)
min(0.75π,-1)
max(π,0)

סעיף א3

סעיף ב

(0,0)
(π,0)

סעיף ג

השטח הכלוא הוא:
S = 4 יח”ר

דרך הפתרון היא שימוש בכך שבחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0, ובחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0.

חיתוך עם ציר y
נציב x = 0 בפונקציה

f(x) = sin(2x)
f(0) = sin(2*0)
f(0) = 0

לכן החיתוך עם ציר y הוא:

(0,0)

חיתוך עם ציר x
נציב f(x) = 0 בפונקציה:

f(x) = sin(2x)
sin(2x) = 0

נקבל את הפתרון:

2x = πk
x = 0.5πk

נשים לב כי עבור ערכי k שליליים נקבל ערכים הנמצאים מחוץ לתחום הנתון.

k = 0:

x = 0.5πk
x = 0 (זו נקודה שכבר מצאנו מהחיתוך עם ציר y)

k = 1:

x = 0.5πk
x = 0.5π

קיבלנו את הנקודה:

(0.5π,0)

k = 2:

x = 0.5πk
x = π

קיבלנו את הנקודה:

(π,0)

תשובה:
נקודות החיתוך עם הצירים הן:

(0,0)
(0.5π,0)
(π,0)

1.נמצא את הנקודות החשודות כקיצון

על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס:

f(x) = sin(2x)
f ‘ (x) = 2cos(2x) = 0
cos(2x) = 0

נקבל את הפתרון:

2x = 0.5π + πk
x = 0.25π + 0.5πk

נשים לב כי עבור ערכי k שליליים נקבל ערכים הנמצאים מחוץ לתחום הנתון.

k = 0:

x = 0.25π + 0.5πk
x = 0.25π

k = 1:

x = 0.25π + 0.5πk
x = 0.75π

אם כן הנקודות החשודות הן:
x = 0.25π
x = 0.75π

2.נבדוק אם הנקודות הללו הן קיצון בעזרת טבלה

נסווג את הנקודות החשודות באמצעות טבלה:

נציב בנגזרת ערכי x הנמצאים בתחומים מהטבלה:

בתחום
:0 < x < 0.25π

f ‘ (x) = 2cos(2x)
f ‘ (π/8) = 2cos(2*π/8)
f ‘ (π/8) = √2 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה, כמו כן  ב – x = 0 נקודת מינימום.

בתחום
0.25π < x < 0.75π:

f ‘ (x) = 2cos(2x)
f ‘ (0.5π) = 2cos(2*0.5π)
f ‘ (0.5π) = -2 < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת, כמו כן ב – x = 0.25π נקודת מקסימום.

בתחום
0.75π < x < π:

f ‘ (x) = 2cos(2x)
f ‘ (7π/8) = 2cos(2*7π/8)
f ‘ (7π/8) = √2 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה, כמו כן ב – x = 0.75π נקודת מינימום  וב – x = π נקודת מקסימום.

3.נמצא את ערך ה y של נקודות הקיצון

נציב את ערכי ה – x של נקודות הקיצון בפונקציה:

x = 0.25π:

f(x) = sin(2x)
f(0.25π) = sin(2*0.25π)
f(0.25π) = 1

x = 0.75π:

f(x) = sin(2x)
f(0.75π) = sin(2*0.75π)
f(0.75π) = -1

(ערכי ה- y ב – x = 0 וב – x = π, ידועים לנו כבר מנקודות החיתוך)

תשובה:

min(0,0)
max(0.25π,1)
min(0.75π,-1)
max(π,0)

דרך הפתרון היא שימוש במידע שאספנו בסעיפים הקודמים.

שיקולים לגרף:

נקודות החיתוך עם הצירים:

(0,0)
(0.5π,0)
(π,0)

נקודות קיצון:
min(0,0)
max(0.25π,1)
min(0.75π,-1)
max(π,0)

תחומי עלייה וירידה:

ירידה:

0.25π < x < 0.75π

עליה:

0 < x < 0.25π
0.75π < x < π

דרך הפתרון היא השוואה בין שתי הפונקציות הנתונות ופתרון המשוואה המתקבלת בעזרת הזהות הטריגונומטרית:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

על מנת למצוא את נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות, נשווה בינהן:

f(x) = g(x)
sin(2x) = 2sin(x)

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

sin(2x) = 2sin(x)
2sin(x)cos(x) = 2sin(x)
sin(x)cos(x) = sin(x)
sin(x)cos(x) – sin(x) = 0
sin(x)[cos(x) – 1] = 0

נקבל שני פתרונות:
sin(x) = 0
cos(x) – 1 = 0

פתרון 1:

sin(x) = 0
x = πk

k = 0:

x = πk
x = 0

נציב x = 0 ב – f(x):
f(x) = sin(2x)
f(0) = sin(0)
f(0) = 0

לכן קיבלנו את הנקודה:

(0,0)

k = 1:

x = πk
x = π

נציב x = π ב – f(x):
f(x) = sin(2x)
f(π) = sin(2π)
f(π) = 0

לכן קיבלנו את הנקודה:

(π,0)

פתרון 2:

cos(x) – 1 = 0
cos(x) = 1
x = 2πk

עבור k = 0 נקבל שוב את הראשית שכבר קיבלנו מהפתרון הראשון.
עבור ערכי k שונים מאפס נקבל ערכי x הנמצאים מחוץ לתחום הנתון.

תשובה:

(0,0)
(π,0)

דרך הפתרון היא שימוש באינטגרל.

נוסיף לגרף את g(x) ונסמן את השטח המבוקש.
נשתמש בנתון כי מלבד הנקודות שמצאנו הגרף של g(x) נמצא מעל הגרף של f(x).

נשתמש באינטגרציה על מנת לחשב את השטח המבוקש.
תחום האינטגרציה הוא בין 0 ל – π:

S = [0.5 – 2*(-1)] – [0.5 – 2*1] S = 2 + 2
S = 4

תשובה:
השטח הכלוא הוא:
S = 4 יח”ר

סעיף א1

x > 0

סעיף א2

חיתוך עם ציר y:

אין

חיתוך עם ציר x:

(e³,0)
(e^-3,0)

סעיף א3

max(1,9)

סעיף א4

סעיף ב

S = 1 יח”ש

נדרוש שמה שבתוך ה – ln יהיה גדול מאפס:

x > 0

תשובה:
x > 0

דרך הפתרון היא שימוש בכך שבחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0 ובחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0.

בחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0, אך זה לא יכול להתקיים בתחום ההגדרה שמצאנו דבר זה אינו מתקיים לכן אין חיתוך עם ציר y.

בחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0, לכן נציב f(x) = 0:

f(x) = 9 – (ln(x))²
0 = 9 – (ln(x))²
(ln(x))² = 9
ln(x) = ± 3

נתבונן בשני הפתרונות שמצאנו:

פתרון 1:

ln(x) = 3
e^ln(x) = e³
x = e³

לכן קיבלנו את הנקודה:

(e³,0)

פתרון 2:

ln(x) = -3
e^ln(x) = e^-3
x = e^-3

לכן קיבלנו את הנקודה:

(e^-3,0)

תשובה:
חיתוך עם ציר y:

אין

חיתוך עם ציר x:

(e³,0)
(e^-3,0)

דרך הפתרון היא להשוות את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות,וסיווגן באמצעות טבלה.

נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון:

f(x) = 9 – (ln(x))²

ln(x) = 0
e^ln(x) = e⁰
x = 1

נשתמש בטבלה על מנת לסווג את הנקודה החשודה שמצאנו:

נציב בנגזרת ערכי x הנמצאים בתחומים המוצגים בטבלה על מנת למלא אותה:

:0 < x < 1

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

x > 1:

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת
ב – x = 1 נקודת מקסימום.

נציב x = 1 בפונקציה:

f(x) = 9 – (ln(x))²
f(1) = 9 – (ln(1))²
f(1) = 9 – 0²
f(1) = 9

מצאנו כי נקודת הקיצון היא:

max(1,9)

תשובה:
max(1,9)

דרך הפתרון היא שימוש במידע שמצאנו בסעיף הקודם, ושימוש בטבלה על מנת לבדוק האם לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית.

שיקולים לגרף:

נקודות חיתוך עם הצירים:

(e³,0)
(e^-3,0)

אין חיתוך עם ציר y

נקודת קיצון:

max(1,9)

תחומי ירידה:

x > 1

תחומי עליה:

0 < x < 1

נבדוק באמצעות טבלה אם יש אסימפטוטה אנכית ב – x = 0:

נמלא את הטבלה:

x = 0.00001:

f(x) = 9 – (ln(x))²
f(0.00001) = 9 – (ln(0.00001))² = -123.54

x = 0.0001:

f(x) = 9 – (ln(x))²
f(0.0001) = 9 – (ln(0.0001))² = -75.83

x = 0.001:

f(x) = 9 – (ln(x))²
f(0.001) = 9 – (ln(0.001))² = -38.71

ניתן לראות כי ככל שערכי ה – x מתקרבים לאפס הפונקציה שואפת למינוס אינסוף, לכן ב – x = 0  אסימפטוטה אנכית.

דרך הפתרון היא שימוש באינטגרל על מנת למצוא את השטח המבוקש.

נתבונן בגרף הנגזרת, ונסמן את השטח המבוקש

נשתמש באינטגרציה על מנת לחשב את השטח המבוקש.
על פי סעיף א נקודת החיתוך של הנגזרת עם ציר x היא ב – x = 1 (מכיוון שבנקודה זו יש לפונקציה נקודת קיצון).
לכן תחום האינטגרציה הוא בין 1 ל – e:

נזכור כי:
f(1) = 9 (על פי סעיף א)

נחשב את f(e):

f(x) = 9 – (ln(x))²
f(e) = 9 – (ln(e))²
f(e) = 9 – 1²
f(e) = 8

S = – f(e) – (-f(1))
S = f(1) – f(e)
S = 9 – 8
S = 1

תשובה:
S = 1 יח”ש

סעיף א

קצב הדעיכה – q = 1/9
הכמות ההתחלתית  M₀ = 1

סעיף ב1

חיתוך עם ציר y:

(0,1)

חיתוך עם ציר x:

אין

סעיף ב2

הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

סעיף ב3

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה לגידול ודעיכה:
M_x = M₀*q^x

נזכור כי הנוסחה לגידול ודעיכה היא:

M₀*q^x = M_X

כאשר:
M_x – הכמות ברגע x
M₀ – הכמות ההתחלתית
q – קצב הגידול/דעיכה

1.נבנה שתי משוואות עם שני נעלמים ונפתור

נתבונן בנתון הראשון:

M₁ = (1/3)²
M₀*q^x = M_X
M₀*q¹ = (1/3)²

נתבונן בנתון השני:

M₅ = (1/3)¹⁰
M₀*q⁵ = (1/3)¹⁰

קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים.
נחלק את המשוואות:

q⁴ = (1/3)⁸
q = ±(1/3)²
q = ±1/9

מכיוון שקצב הדעיכה כל האיברים הם חיוביים נבחר בפתרון החיובי:

q = (1/3)²
q = 1/9

2.נמצא את M₀

נציב:
q = 1/9
במשוואה הראשונה:
M₀*q¹ = (1/3)²
M₀*(1/3)² = (1/3)²
M₀ = 1

תשובה:
קצב הדעיכה – q = 1/9
הכמות ההתחלתית  M₀ = 1

דרך הפתרון היא שימוש בכך שבחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0, ובחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0.

בחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0, לכן על מנת למצוא את החיתוך עם ציר y נציב x = 0 בפונקציה:

g(x) = 3^-2x
g(0) = 3^-2*0
g(0) = 1

לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא:

(0,1)

בחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0, לכן על מנת למצוא את החיתוך עם ציר x נציב g(x) = 0:

g(x) = 3^-2x
0 = 3^-2x

למשוואה זו אין פתרון מכיוון שכאשר כל מספר השונה מאפס מועלה בחזקה התוצאה בהכרח שונה מאפס.
לכן לפונקציה אין חיתוך עם ציר x.

תשובה:

חיתוך עם ציר y:

(0,1)

חיתוך עם ציר x:

אין

דרך הפתרון היא שימוש בנגזרת על מנת לקבוע את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.

נגזור את הפונקציה:

g(x) = 3^-2x
g ‘ (x) = 3^-2x*(-2)*ln(3)
g ‘ (x) = -2ln(3)*3^-2x

התקבל ביטוי שלילי לכל x.
לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

תשובה:
הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

דרך הפתרון היא שימוש במידע שאספנו על הפונקציה בסעיפים הקודמים.
בנוסף נשתמש בטבלה על מנת להראות כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית – y = 0.

שיקולים לגרף:

נקודות חיתוך עם הצירים:

ציר y:

(0,1)

ציר x:

אין

הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

נראה בעזרת טבלה כי לפונקציה אסימפטוטה אופקית y = 0:

x = 5:

g(x) = 3^-2x
g(5) = 3^-2*5 = 1.69*10^-5

x = 10:

g(x) = 3^-2x
g(10) = 3^-2*10 = 2.86*10^-10

x = 100:

g(x) = 3^-2x
g(100) = 3^-2*100 = 3.76*10^-96

ניתן לראות כי ככל שערכי x מתקרבים לאינסוף הפונקציה שואפת לאפס, לכן לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית:

y = 0