בדף זה הצעה לפתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות שאלון 382 חורף 2023.
מידע נוסף:
בעיה מילולית
גיאומטריה אנליטית
נתון משוואת הצלע AB היא y = 0.25x + 2
על מנת למצוא את הנקודה A שהיא נקודת החיתוך עם ציר ה-x נציב y = 0:
0 = 0.25x + 2
– 0.25x = 2 / : – 0.25
x = – 8
A ( – 8 , 0)
על מנת למצוא את הנקודה B שהיא נקודת החיתוך עם ציר ה-y נציב x = 0:
y = 0.25 • 0 + 2
y = 2
B (0 , 2)
BD מאונך ל-AB ולכן מכפלת השיפועים שלהם שווה ל- 1 -:
mAB • mBD = – 1
0.25 • mBD = – 1 / : 0.25
mBD = – 4
בסעיף הקודם מצאנו את נקודה B (0 , 2)
נציב בנוסחה למציאת משוואת ישר על מנת למצוא את משוואת הצלע BD:
y – y1 = m (x – x1)
y – 2 = – 4 (x – 0)
y = – 4x + 2
שיעור ה־ x של קודקוד D הוא 2 – , על מנת למצוא את שיעור ה-y של הקודקוד D נציב את שיעור ה-x במשוואת BD:
y = – 4 • (- 2) + 2
y = 10
לכן שיעור ה-y של הקודקוד D הוא 10.
על מנת להוכיח שהמשולש ABD הוא שווה שוקיים נחשב את אורך BD ואורך AB ונראה שהם שווים לפי נוסחת דיסטנס:
AB = BD = 8.25 ולכן המשולש ABD הוא שווה שוקיים.
על מנת למצוא את שיעורי הנקודה E נחשב תחילה את משוואת הישר DE
נתון DE מקביל ל-AB ולכן יש להם את אותו שיפוע שהוא m = 0.25
לפי הסעיפים הקודמים הנקודה D היא (10 , 2 -)
נציב בנוסחה למציאת משוואת ישר על מנת למצוא את משוואת הישר DE:
y – y1 = m (x – x1)
y – 10 = 0.25 (x – (- 2))
y = 0.25x + 0.5 + 10
y = 0.25x + 10.5
על מנת למצוא את שיעורי הנקודה E נציב x = 0 ב-DE משום שהיא נקודת החיתוך עם ציר ה-y:
y = 0.25 • 0 + 10.5
y = 10.5
E (0 , 10.5)
נתון שהנקודה M היא אמצע הקטע DB .
נמצא תחילה את M לפי נוסחת אמצע קטע:
כעת ניתן להגיד שאורך הגובה מקודקוד M לצלע BE הנמצאת על ציר ה-y הוא 1.
נחשב את אורך הצלע BE:
BE = 10.5 – 2 = 8.5
כעת נחשב את שטח המשולש BME:
גיאומטריה אנליטית מעגל
נתון משוואת AC היא y = 1.33x + 3 ונתון משוואת DB היא y = – 1.33x + 11
על מנת למצוא את הנקודות A ו-D נמצא את נקודות החיתוך של הישרים DB ו-AC עם ציר ה-y
כלומר נציב x = 0 במשוואות הישרים:
נקודה A:
y = 1.33 • 0 + 3
y = 3
A (0 , 3)
נקודה D:
y = – 1.33 • 0 + 11
y = 11
D (0 , 11)
הנקודה M היא נקודת החיתוך של הישרים DB ו-AC ולכן נשווה ביניהם על מנת למצוא אותה:
1.33x + 11 = 1.33x + 3 –
2.67x = 8 / : 2.67
x = 3
נציב x = 3 באחת מהמשוואות על מנת למצוא את ה-y:
y = 1.33 • 3 + 3
y = 7
M (3 , 7)
נתון שכל אחד מן הישרים DB ו־ AC הוא קוטר במעגל ושמרכז המעגל הוא M.
לכן DM, MB, AM ו-MC הם רדיוסים.
נחשב את האורך של אחד מהם לפי נוסחת דיסטנס:
M (3 , 7) , A (0 , 3)
האפשרות הראשונה נפסלת כי רדיוס הוא חיובי ולכן R = 5.
בסעיפים הקודמים מצאנו ש-R = 5 ומרכז המעגל M (3 , 7)
נציב בנוסחת המעגל על מנת למצוא את משוואת המעגל:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x – 3)2 + (y – 7)2 = 52
(x – 3)2 + (y – 7)2 = 25
לכן משוואת המעגל היא:
(x – 3)2 + (y – 7)2 = 25
M הוא אמצע AC לכן נמצא את הנקודה C על פי אמצע קטע:
A (0 , 3) , M (3 , 7)
נמצא את ערך ה-x של C:
נמצא את ערך ה-y של C:
ולכן:
C (6 , 11)
אנחנו יודעים שרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה ולכן AC מאונך למשיק
לישרים מאונכים מכפלת השיפועים היא 1 – ולכן:
mAC • mCE = – 1
1.33 • mCE = – 1 / : 1.33
mCE = – 0.75
נציב את השיפוע שמצאנו mCE = – 0.75 ואת הנקודה C (6 , 11)
שמצאנו בסעיף הקודם בנוסחה למציאת משוואת ישר:
y – y1 = m (x – x1)
y – 11 = – 0.75 (x – 6)
y = – 0.75x + 4.5 + 11
y = – 0.75x + 15.5
לכן משוואת המשיק היא:
y = – 0.75x + 15.5
נתון שהקטע AE מקביל לציר ה-x לכן ל-A ול-E יש את אותו ערך y והוא 3
נציב y = 3 במשוואת הישר CE על מנת למצוא את ערך ה-x של הנקודה E:
3 = – 0.75x + 15.5
0.75x = 12.5 / : 0.75
x = 16.67
E (16.67 , 3)
על מנת למצוא את שטח הטרפז ADCE נמצא תחילה את אורכי הבסיסים DC ו-AE ואת אורך הגובה AD:
DC = 6 – 0 = 6
AE = 16.67 – 0 = 16.67
AD = 11 – 3 = 8
נחשב את שטח הטרפז לפי סכום הבסיסים כפול הגובה חלקי 2:
פונקציית שורש
פתרון בגרויות הוא עבור מנויים בלבד.
לחצו כאן למידע על מנוי.
על מנת למצוא את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה נגזור אותה ונשווה ל-0:
נציב x = 4 במשוואה שלפני העלאה בריבוע כדי לבדוק שהפתרון נכון:
√x = 2
√4 = 2
2 = 2
הפתרון נכון.
הערה: דרך פתרון נוספת ללא העלאה בריבוע.
√x = 2
√x = √4
x = 4
הנקודה החשודה לקיצון היא x = 4
| 5 | x = 4 | 2 | x |
| min | f (x) | ||
| f ‘ (x) |
נציב בנגזרת:
f ‘ (2) = – 1.24
f ‘ (5) = 0.316
| 5 | x = 4 | 2 | x |
| ↑ | min | ↓ | f (x) |
| + | – | f ‘ (x) |
מהטבלה אנו מסיקים שזו נקודת מינימום.
נציב x = 4 בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה y:
f (x) = 3x – 12√x + 15
f (4) = 3 • 4 – 12√4 + 15
12 – 12 *2 + 15 =
12 – 24 + 15 = 3
לכן נקודת הקיצון היא:
min (4 , 3)
לפונקציה יש נקודת קיצון אחת שהיא min (4 , 3).
כלומר ערך ה y הקטן ביותר הוא 3.
על ציר ה x מתקיים y = 0.
לכן היא לא תחתוך את ציר ה x.
לכן היגד 3 הוא ההיגד הנכון.
אינטגרלים
פתרון בגרויות הוא עבור מנויים בלבד.
לחצו כאן למידע על מנוי.
g (x) = 2x3
f (x) = 2x3 – 12x + 18
ראשית הצירים היא הנקודה (0,0).
נציב בפונקציות x = 0 ונראה אם מתקבל y = 0.
g (x) = 2x3
g (0) = 2 • 03
g (0) = 0
ולכן g (x) עוברת בראשית הצירים.
מכוון שרואים בגרף שרק פונקציה אחת עוברת בראשית הצירים אין צורך לבדוק את f(x).
g (x) = 2x3
f (x) = 2x3 – 12x + 18
על מנת למצוא את נקודת החיתוך נשווה בין המשוואות:
g(x) = f(x)
2x3 = 2x3 – 12x + 18
12: / 12x = 18
x = 1.5
נציב x = 1.5 באחת המשוואות על מנת למצוא את ערך ה-y:
g (x) = 2x3
g (1.5) = 2 • 1.53
g (1.5) = 6.75
ולכן:
A (1.5 , 6.75)
ניזכר כי g(x) עוברת דרך ראשית הצירים.
השטח המבוקש מורכב משני שטחים:
1.
השטח שיוצרת g(x) מ x = 0 ועד x = 1.5.
השטח שיוצרת f(x) מ x = 1.5 ועד x = 4
השטח המבוקש הוא סכום השטחים:
לכן השטח המבוקש הוא 90.5.
בעיית קיצון גרפים
פתרון בגרויות הוא עבור מנויים בלבד.
לחצו כאן למידע על מנוי.
f (x) = – 2x2 + 9x
y = 3x
נסמן את שיעור ה-x של הנקודה A ב-x
הנקודה A נמצאת על f (x) , לכן נציב x ב f(x)
y = – 2x2 + 9x
ולכן:
A (x , – 2x2 + 9x)
הקטע AB מקביל לציר ה-y/
ולכן לנקודות A ו-B יש את אותו ערך x.
נציב x במשוואת הישר ונמצא את ערך ה y:
y = 3x.
ולכן:
B (x , 3x)
A (x , – 2x2 + 9x)
B (x , 3x)
לכן כדי למצוא את האורך של AB מספיק לחסר את ערכי ה y.
נחסר את ערך ה y הנמוך (3x ) מהגבוה.
AB = – 2x2 + 9x – 3x
AB = – 2x2 + 6x
A (x , – 2x2 + 9x)
בנקודה C יש את אותו ערך y.
וערך x = 0.
C (0 , – 2x2 + 9x)
אורך הקטע AC (נחסר את הגדול מהקטן)
AC = x – 0 = x
AB = – 2x2 + 6x – מהסעיף הקודם
נתון AC מאונך ל-AB ולכן המשולש ABC הוא ישר זווית
שטח משולש ABC הוא:
SABC = -x3 + 3x2
