פתרון בגרות 382 קיץ 2023

סעיף א

18

סעיף ב

0.84x

סעיף ג

50 ש”ח

סעיף ד

33.33%

נסמן:

x – מספר העוגות

נתון שמספר הפיצות שהם קנו היה גדול פי 2.5 ממספר העוגות ולכן:

2.5x – מספר הפיצות

נתון שהתלמידים קנו 63 פיצות ועוגות סך הכול.

לכן נבנה משוואה:

x + 2.5x = 63

3.5x = 63 / : 3.5

x = 18

לכן הם קנו 18 עוגות.

נתון שבעבור כל עוגה התלמידים קיבלו הנחה של 16% מן המחיר המקורי.

x – מחיר העוגה המקורי.

חשב תחילה סך כל האחוז:

100% – 16% = 84%

נחלק ב-100 ונכפיל ב-x:

84/100 • x = 0.84x

לכן 0.84x – מחיר העוגה אחרי הנחה.

נתון התלמידים שילמו בעבור כל הפיצות והעוגות שקנו 3,276 שקלים סך הכול.

לכן נבנה משוואה:

15.12x + 45 • (x + 6) = 3,276

15.12x + 45x + 270 = 3,276

60.12 : / 60.12x = 3006

ש”ח x = 50

מחיר הפיצה:

50 + 6 = 56 ש”ח

מחיר העוגה לאחר ההנחה:

0.84 • 50 = 42 ש”ח

על מנת למצוא בכמה אחוזים גבוה המחיר של פיצה מן המחיר של עוגה לאחר ההנחה

נמצא תחילה את ההפרש בין מחיר הפיצה למחיר העוגה לאחר הנחה:

56 – 42 = 14 ש”ח

נחלק את ההפרש במחיר העוגה לאחר הנחה ונכפיל ב-100:

14/42 • 100 = 33.33

לכן ב-33.33% גבוה המחיר של פיצה מן המחיר של עוגה לאחר ההנחה.

סעיף א1

A ( – 6 , 0)

סעיף א2

10

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג1

y = – 0.5 + 7

סעיף ג2

E (4 , 5)

סעיף ד

30

סעיף ה

55

נתון משוואת AB:

y = 0.5x + 3

על מנת למצוא את נקודה A שהיא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-x נציב y = 0:

0 = 0.5x + 3

– 0.5x = 3 / : – 0.5

x = – 6

לכן:

A ( – 6 , 0)

נתון שיעור ה־y של קודקוד B הוא 8.

על מנת למצוא את שיעור ה-x של קודקוד B נציב y = 8 במשוואת AB:

8 = 0.5x + 3

0.5x = 5 / : 0.5

x = 10

לכן שיעור ה-x של הקודקוד B הוא 10.

נתון: שיעורי הקודקוד C הם (0 , 14)

על מנת להוכיח שהצלע AB מאונכת לצלע BC

נראה שמכפלת השיפועים של AB ו-BC שווה ל1-.

נמצא את שיפוע BC:

C (14 , 0) , B (10 , 8)

נתון:

m_AB = 0.5

נכפיל ביניהם:

m_AB • m_BC = 0.5 • – 2 = – 1

הראנו שמכפלת השיפועים שווה ל1 – ולכן הישרים AB ו-BC מאונכים.

נתון:

שיפוע הישר EC הוא 0.5 –

ו – C (14 , 0)

נציב בנוסחה למציאת משוואת ישר:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 0 =  – 0.5 (x – 14)

y = – 0.5x + 7

לכן משוואת הישר EC היא y = – 0.5x + 7

הנקודה E היא נקודת החיתוך של הישרים AB ו-EC

ולכן על מנת למצוא את הנקודה נשווה תחילה בין הישרים:

0.5x + 3 = – 0.5x + 7

x = 4

על מנת למצוא את שיעור ה-y של הנקודה E נציב את שיעור ה-x באחד מהישרים:

y = 0.5 • 4 + 3

y = 5

לכן:

E (4 , 5)

הוכחנו ש-BC מאונך ל-AB ולכן המשולש EBC הוא ישר זווית.

על מנת לחשב את שטחו נחשב תחילה את אורך BC ואת אורך EB לפי נוסחת דיסטנס:

E (4 , 5) , C (14 , 0) , B (10 , 8)

נחשב את שטח המשולש לפי ניצב כפול ניצב חלקי 2:

נתון שהקטע EF מקביל לציר ה-y ולכן ל-E ול-F יש את את אותו ערך x שהוא 4.

ובנוסף F נמצאת על ציר ה-x ולכן F (4 , 0).

על מנת לחשב את שטח המרובע FEBC נחשב את שטח המשולש EFC

ונחבר לשטח המשולש EBC שמצאנו בסעיף הקודם.

EF מאונך לFC משום שהצירים מאונכים זה לזה

לכן EFC הוא משולש ישר זווית

EF = 5 – 0 = 5

FC = 14 – 4 = 10

ולכן נחשב את שטח המשולש EFC לפי ניצב כפול ניצב חלקי 2:

ולכן:

S_FEBC = 30 + 25 = 55

סעיף א1

10

סעיף א2

 (x – 2)² + y² = 100

סעיף ב1

y = 1.75x – 22

סעיף ב2

E (0 , – 22)

סעיף ג

B (16 , 6)

סעיף ד

K (- 6 , 6) , G (10 , 6)

נתון:

M (2 , 0) ו- D (8 , – 8)

נתון M מרכז המעגל ו-D נקודה על המעגל ולכן MD הוא רדיוס

נחשב את MD לפי נוסחת דיסטנס:

ולכן הרדיוס הוא 10.

נתון M (2 , 0) ובסעיף הקודם מצאנו ש-R = 10

נציב בנוסחת המעגל:

(x – a)² + (y – b)² = R²

(x – 2)² + (y – 0)² = 10²

 (x – 2)² + y² = 100

לכן משוואת המעגל היא:

 (x – 2)² + y² = 100

נתון:

D (8 , – 8) ו-m_ED = 1.75

נציב את הנתונים בנוסחה למציאת משוואת ישר:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – (- 8) = 1.75 (x – 8)

y + 8 = 1.75x – 14

y = 1.75x – 22

לכן משוואת הישר היא y = 1.75x – 22

נתון שהנקודה E נמצאת על ציר ה-y לכן על מנת למצוא אותה

נציב x = 0 במשוואת הישר שמצאנו בסעיף הקודם:

y = – 1.75 • 0 – 22

y = – 22

ולכן:

E (0 , – 22)

נתון נקודה D אמצע הקטע BE

לכן נמצא את הנקודה B לפי אמצע קטע:

E (0 , – 22) , D (8 , – 8)

נתון שהישר BK מקביל לציר ה-x ולכן משוואתו היא לפי שיעור ה-y של אחת מהנקודות עליו

(לכל הנקודות עליו יש את אותו שיעור y), כלומר y = 6.

נציב y = 6 במשוואת המעגל על מנת למצוא את שיעור ה-x של הנקודות K ו-G:

 (x – 2)² + y² = 100

 (x – 2)² + 6² = 100

x2 – 4x + 4 + 36 = 100

x² – 4x – 60 = 0

נפתור לפי נוסחת השורשים:

הערה:

אפשר גם לפתור בעזרת טרינום:

x² – 4x – 60 = 0

0 = (x – 10) (x + 6)

x = – 6 , x = 10

לכן:

K (- 6 , 6) , G (10 , 6)

סעיף א

x ≠ 0

סעיף ב

(12 – , 2.5) max

(28 , 2.5 – ) min

סעיף ג

x > 2.5 , x < – 2.5

סעיף ד

גרף 3

סעיף ה

y = – 3x – 2

תחום הגדרה

המכנה צריך להיות שונה מ 0.

לכן:

x ≠ 0

נקודת קיצון

על מנת למצוא נקודות קיצון נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:

לכן הנקודות החשודות לקיצון הן x = ± 2.5:

נציב בנגזרת :

f ‘ ( – 3) = – 1.22

f ‘ ( – 2) = 2.25

f ‘ (2) = 2.25

f ‘ (3) = – 1.22

נציב בפונקציה המקורית x = ± 2.5 על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת הקיצון:

f (2.5) = – 12

f ( – 2.5) = 28

לכן נקודות הקיצון הן:

(12 – , 2.5) max

(28 , 2.5 – ) min

תחומי ירידה

נקבע את תחומי הירידה לפי הטבלה בסעיף הקודם:

x > 2.5
x < – 2.5

זיהוי גרף

בסעיף ב’ מצאנו שיש לנו שתי נקודות קיצון:

(12 – , 2.5) max

(28 , 2.5 – ) min

אחת מינימום ברביע שני ואחת מקסימום ברביע רביעי.

ולכן גרף 3 יתאים.

נתון שהעבירו משיק לגרף הפונקציה f (x) בנקודה שבה x = 5.

על מנת למצוא משוואת משיק צריך שיפוע ונקודה.

נציב x = 5 בפונקציה f (x) על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת ההשקה:

נציב x = 5 בנגזרת f ‘ (x) על מנת למצוא את שיפוע המשיק:

נציב את הנתונים בנוסחה למציאת משוואת ישר:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – ( – 17) = – 3 (x – 5)

y + 17 = – 3x + 15

y = – 3x – 2

סעיף א

x_C = 3

x_B = 5

סעיף ב

y = 4

סעיף ג

(0 , 2)

סעיף ד

1.25

f (x) = x³ – 12x² + 45x – 50

נתון ש-B היא נקודת המינימום ו־ C היא נקודת המקסימום של הפונקציה.

לכן על מנת למצוא את שיעור ה-x שלהן נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:

f ‘ (x) = 3x² – 24x + 45

נשווה ל-0:

3 : / 0 = 3x² – 24x + 45

x² – 8x + 15 = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים:

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = 5 , x = 3

ניתן לראות כי לנקודה C ערך x קטן יותר ולכן:

x = 3 בנקודה C.

x = 5 בנקודה B

אם לא היינו מזהים זאת בעזרת הגרף היינו צריכים למצוא את סוג הקיצון.

• בעזרת נגזרת שנייה.
• או בעזרת טבלה.

נציב בנגזרת:

f ‘ (0) = 45

f ‘ (4) = – 3

f ‘ (6) = 9

לכן מהנתון ניתן להסיק כי

x_C = 3 max

x_B = 5 min

משיק בנקודת קיצון C

המשיק בנקודת קיצון הוא ישר שיש לו את ערך ה y של נקודת הקיצון.

נמצא את ערך ה y של הנקודה C שבה x = 3.

f (x) = x³ – 12x² + 45x – 50

f (3) = 3³ – 12 • 3² + 45 • 3 – 50

= 4

ולכן משוואת המשיק היא:

y = 4

הנקודה A

נציב את ערך ה-x של הנקודות בפונקציה ונבדוק עבור איזה מהן נקבל y = 0:

f (x) = x³ – 12x² + 45x – 50

16 – = f (1) = 1³ – 12 • 1² + 45 • 1 – 50

0 = f (2) = 2³ – 12 • 2² + 45 • 2 – 50

ולכן (0 , 2) היא נקודה A, נקודת החיתוך עם ציר ה-x

השטח המבוקש הוא אינטגרל בין 2 ל-3 של:

y = 4

פחות הפונקציה f (x):

ולכן השטח הוא 1.25

סעיף א

70 – x

סעיף ב

x – 12

x – 62

סעיף ג

x = 37

הגדרת צלע המלבן

נתון:

AB = x

ABCD הוא מלבן ולכן:

AB = DC = x

היקף המלבן הוא 140 מטרים:

לכן על מנת למצוא את AD ו-BC נחסר את AB ו-DC מההיקף ונחלק ב-2:

AD = BC = 70 – x

הצלע העליונה והתחתונה

נחסיר מ-x את פעמיים 6

x – 6 – 6 = x – 12

הצלעות שבצדדים

נחסר פעמיים 4 מ:

70 – x

נקבל:

70 – x – 4 – 4 = 62 – x

תשובה צלעות המדשאה הן:

x – 12

62 – x

נביע את שטח המדשאה לפי צלע כפול צלע:

(62 – x) • (x – 12) = 62x – 744 – x² + 12x

= -x² + 74x – 744

על מנת למצוא את x שבעבורו שטח המדשאה הוא מקסימלי

נגזור ונשווה ל-0:

y = = -x² + 74x – 744

y’ = – 2x + 74

0 = – 2x + 74

2x = 74 / :2

x = 37

נבדוק שהוא אכן מקסימלי:

נציב בנגזרת :

y’ (36) = 2

y’ (38) = -2

ולכן x = 37 הוא ה-x שבעבורו שטח המדשאה הוא מקסימלי.