פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות שאלון 381 קיץ 2018

בדף זה הצעה לפתרון שאלון 381 קיץ 2018.

תרגיל 1 (פרבולה)

סעיף א
משוואת הפרבולה היא
y = x² – 7x + 10
הנוסחה לערך ה x של הקודקוד היא:

x = 7 / 2 = 3.5
נציב x = 3.5 במשוואת הפרבולה ונקבל:
y=3.5² – 7*3.5 +10 = -2.25
תשובה: נקודת הקודקוד היא (2.25-,  3.5).

סעיף ב
על פי הגרף הפרבולה עולה מימין לקודקוד.
לכן תחום העליה של הפרבולה הוא x > -2.25.

סעיף ג
הישר הוא
y = 5x-26
נקודת החיתוך של הפרבולה והישר מתקבלת על ידי פתרון המשוואה:
x² – 7x + 10 = 5x – 26
x² – 12x – 36 =0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום ונקבל:
x – 6)² = 0)
x = 6

נמצא את ערך ה y של נקודת ההשקה על ידי הצבה במשוואת הישר. (ניתן גם להציב במשוואת הפרבולה).
y = 5*6 – 26 = 4
נקודת ההשקה של הפרבולה והישר היא 6,4.

סעיף ד
בנקודה k מתקיים:
x=3.5
y = 5*6 – 26 נציב במשוואת הישר:
y=5*3.5-26
y= 17.5 – 26 = -8.5
(k(3.5,-8.5

תרגיל 2 (סדרה חשבונית)

סעיף א
a₄ = 248
a₁ = 99.5
n = 4 (כי זה האיבר הרביעי).
נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי ונמצא את d.
a_n=a₁+ (n-1)d
d (4 – 1) + 99.5 = 248
3d + 99.5 = 248  / -99.5
3d = 148.5  / : 3
d = 49.5

עכשיו נמצא את a₂
a₂ = a₁ + d = 99.5 + 49.5 = 149
תשובה: התשלום השני הוא 149.

סעיף ב
ידוע כי הסכום ששולם על הטלוויזיה הוא 4461.
כלומר s_n = 4461
נציב בנוסחת סכום הסדרה החשבונית

נציב את המספרים במשוואה ונקבל:

49.5n² + 149.5n – 8922 = 0
זו משוואה ריבועית עם מספרים גדולים מאוד. ניתן לחלק את התוצאה ב 49.5 ולקבל מספרים קטנים יותר אך התוצאה לא עגולה לגמרי ועלולה לגרום לטעות.
פתרון המשוואה הוא:
x₁ = 12,  x₂ = -15.02
הפתרון x₂ = -15.02 נפסל כי המיקום של האיבר חייב להיות חיובי.
תשובה: יוסף קנה את הטלוויזיה ב 12 תשלומים.

סעיף ג
נחלק את הסכום 4461 ל 4.
1115.25 = 4 : 4461
תשובה: כל אחד מהתשלומים ששילמה מרים היה בגובה 1115.25.

תרגיל 3 (גידול ודעיכה)

סעיף א
m₀ = 20,000
q = 1.03
t=1
m₁ = ?

המשוואה שלנו היא:
M_t=M₀q^t
M_t = 20,000*1.03 = 20,600

סעיף ב
עבור t = 8  המשוואה תהיה:
M₈ = 20,000*1.03⁸ = 25335.4
תשובה: לאחר 8 שני החוב הוא 25335.4

סעיף ג
4666.6  = 25335.4 – 30,000

סעיף ד
הנתונים הם:
m₀ = 4666.6
t = 2
m₂ = 4758.36
q = ?

4666.6q² = 4758.36  / : 4666.6
q² = 1.09
q = 1.01

תשובה: 1%.

תרגיל 4 (טריגונומטריה במרחב)

על פי משפט פיתגורס במשולש ABC:
AC² = AB² + BC² = 20² + 11²
AC²=400+121=521
AC=22.825

סעיף ב
AE = 0.5AC = 11.41   הגובה בפירמידה מגיע אל נקודת מפגש אלכסוני המלבן. ונקודת אלכסוני המלבן חוצה את המלבן לשניים.

במשולש AES על פי משפט פיתגורס
AS² = AE² + SE² = 11.41² +7²
AS² = 130.18 + 49 = 179.18
AS=13.86

סעיף ג
במשולש AES.
sin ∠SAE = SE / AS = 7 / 13.88 = 0.5
SAE=30.3

תרגיל 5 (סטטיסטיקה וממוצע)

סעיף א
ציון הממוצע כרגע הוא 77.
הציון הממוצע הנדרש הוא 80. לכן על מנת להעלות את הציון הממוצע נדרש ציון הגבוה מהממוצע על מנת להעלות את הממוצע.

סעיף ב
נגדיר
x  הציון הנדרש על מנת להעלות את הממוצע ל 80.
הנוסחה שלנו היא:

x + 77*5 = 6*80
x + 385 = 480  / -385
x=95
תשובה: הציון צריך להיות 95.

תרגיל 6 (התפלגות נורמלית)

סעיף א
7% נמצאים 1.5 סטיות תקן מהממוצע.
כלומר 6 סנטימטר הם 1.5 סטיות תקן.
לכן סטיית תקן אחת היא:
4 = 1.5 : 6
תשובה: סטיית תקן אחת היא 4 סנטימטר.

סעיף ב
166 הם 4 סנטימטר ו 1 סטיות תקן מעל הממוצע.
172 הם 10 סנטימטר ו 2.5 סטיות תקן מעל הממוצע.
בין 1 סטיות תקן ל 2.5 סטיות תקן נמצאים האחוזים:
15.5 = 1.5 + 5 + 9
תשובה: אחוז התלמידים בין 166-172 סנטימטר הוא 15.5%.

סעיף ג
93 = 600 * 0.155
תשובה: 93 תלמידים.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.