פתרון בגרות 182 3 יחידות קיץ 2024

סעיף א

מחיר שולחן אחד 2,300 ש”ח ומחיר כיסא אחד 280 ש”ח.

סעיף ב

נדב שילם 4,434 ש”ח בסך הכל.

בשאלה זו מתוארות שתי קניות:

שולחן אחד ו־ 6 כיסאות הוא 3,980 שקלים,

שולחן אחד ו־ 2 כיסאות הוא 2,860 שקלים.

כל רכישה היא קנייה שנותנת לנו משוואה.

לכן דרך פתרון אחת תהיה שתי משוואות עם שני נעלמים.

דרך פתרון נוספת תהיה לזהות שבשתי הרכישות נרכש שולחן אחד ולכן ההפרש בסכום הרכישה הוא 4 שולחנות.

דרך פתרון ראשונה

שלב 1: מציאת מחיר כיסא

נזהה שיש שולחן אחד בשתי הרכישות.

ולכן 4 כיסאות הם ההפרש במחיר.

3980 – 2860 = 1120

x  – מחיר כיסא אחד בשקלים.

4x = 1120

x = 280.

שלב 2: מציאת מחיר שולחן

ואז כדי למצוא את מחיר השולחנות נבנה משוואה

שולחן אחד ו־ 2 כיסאות הוא 2,860 שקלים.

y + 2x = 2860

y + 2 * 280 = 2860

y + 560 = 2860

y = 2300

דרך פתרון שנייה

x – מחיר של שולחן אחד בשקלים.

y – מחיר של כיסא אחד בשקלים.

נבנה טבלה עבור המשפט:

“שולחן אחד ו־ 6 כיסאות הוא 3,980 שקלים”

והמשוואה:

x + 6y = 3980

נבנה טבלה עבור המשפט:

“שולחן אחד ו־ 2 כיסאות הוא 2,860 שקלים”

והמשוואה:

x + 2y = 2860

נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים:

x + 6y = 3980

x + 2y = 2860

בשיטת ההצבה

x + 2y = 2860

x = 2860 – 2y

נציב:

x + 6y = 3980

2860 – 2y  + 6y = 3980

4y + 2860 = 3980

4y = 1120

y = 280

נציב באחת מהמשוואות על מנת לחשב את x:

x + 2 • 280 = 2860

x + 560 = 2860

x = 2300

מחיר שולחן אחד 2300 ש”ח ומחיר כיסא אחד 280 ש”ח.

הערה: פתרון בשיטת השוואת מקדמים

ניתן לפתור את שתי המשוואות גם בשיטת השוואת מקדמים כך:

x + 6y = 3980

x + 2y = 2860

נחסר את המשוואות:

4:/ 4y = 1120

y = 280

נציב באחת מהמשוואות על מנת לחשב את x:

x + 2 • 280 = 2860

x + 560 = 2860

x = 2300

מחיר שולחן אחד 2300 ש”ח ומחיר כיסא אחד 280 ש”ח.

עלינו לחשב את המחיר החדש של שולחן וכיסא.

מחיר שולחן

אם מחיר השולחן עלה ב-10% כלומר כעת מחירו 110% ממחירו הקודם

נחשב את מחירו כעת:

מחירו כעת 2530 ש”ח.

מחיר כיסא

אם הייתה הנחה של 15% במחירו של הכסא אז מחירו כעת 85% ממחירו הקודם

נחשב את מחירו כעת:

מחירו כעת 238 ש”ח

נתון שנדב קנה לאחר בחנות זו שולחן אחד ו-8 כסאות

נחשב כמה הוא שילם בסך הכל:

2530 + 238 • 8 = 4434

נדב שילם 4434 ש”ח בסך הכל.

אם היינו רוצים להציג את הרכישה של נדב בטבלה זה היה נראה כך:

(שורה לכל מוצר)

1904 + 2530 = 4434

נדב שילם 4434 ש”ח בסך הכל.

סעיף א

מהמשפטים “המחיר של שולחן אחד ו־ 6 כיסאות הוא 3,980 שקלים,
והמחיר של שולחן אחד ו־ 2 כיסאות הוא 2,860 שקלים”

אפשר להסיק שהמחיר של 4 שולחנות הוא:

3980 – 2860 = 1120

ומכך נסיק את המחיר של שולחן.

ושל כיסא.

סעיף ב:

הטבלה והמשוואה שמתאימה למשפט “ט להעלות את המחיר של השולחן ב־ 10% ולתת הנחה של 15% על המחיר של כיסא.
נדב קנה בחנות זו שולחן אחד ו־ 8 כיסאות לאחר השינוי במחירים.”

הם:

1904 + 2530 = 4434

נדב שילם 4434 ש”ח בסך הכל.

סעיף א

73 כרטיסים

סעיף ב

13 ימים

סעיף ג

1,222 כרטיסים

סעיף ד

51,324 ש”ח

כתוב “ביום הראשון שבו הוקרן הסרט נמכרו 52 כרטיסים”.

מספר כרטיסים שנמכרו בכל יום – אלו הם האיברים של הסדרה.

כאשר מספר הכרטיסים שנמכרו ביום 1 – האיבר הראשון.

מספר הכרטיסים שנמכר ביום 10 – האיבר העשירי.

לכך שהכרטיסים שנמכרו בכל יום אלו הם איברי הסדרה ניתן להגיע גם מהמשפט “בכל יום שלאחר מכן נמכרו 7 כרטיסים יותר”.

סכום הסדרה – מספר הכרטיסים שנמכרו בכל הימים.

הסבר לדרך הפתרון

מספר הכרטיסים שנמכרים בכל יום – אלו הם איברי הסדרה.

מבקשים את “כמה כרטיסים נמכרו ביום הרביעי” שזה a_4.

נמצא את a₄ לפי הנוסחה לאיבר כללי:

פתרון

נתון שביום הראשון לסרט נמכרו 52 כרטיסים

לכן  a₁ = 52

ובכל יום שלאחר מכן נמכרו 7 כרטיסים יותר ממספר הכרטיסים שנמכרו ביום שלפניו

לכן  d = 7

מבקשים את “כמה כרטיסים נמכרו ביום הרביעי” שזה a_4.

נמצא את a₄ לפי הנוסחה לאיבר כללי:

a_n = a₁ + (n – 1)d

a₄ = 52 + (4 – 1) • 7

a₄ = 52 + 21

a₄ = 73

לכן ביום הרביעי נמכרו 73 כרטיסים.

הסבר לדרך הפתרון

מבקשים “מצאו כמה ימים נמשכה הקרנת הסרט”.

מספר הימים הוא מספר איברי הסדרה (n).

לכן נציב נתונים בנוסחת האיבר הכללי ונמצא את n.

פתרון

a₁ = 52

d = 7

נתון שביום האחרון שבו הוקרן הסרט נמכרו 136 כרטיסים.

נציב בנוסחה למציאת איבר:

a_n = a₁ + (n – 1)d

136 = 52 + (n – 1) • 7

136 = 52 + 7n – 7

7n = 91 /:7

n = 13

לכן הקרנת הסרט נמשכה 13 ימים.

הסבר לדרך הפתרון

מבקשים:

“מצאו כמה כרטיסים לסרט זה נמכרו סך הכול”

סך כל הכרטיסים זה סכום הסדרה.

ומכוון שמבקשים סכום עלינו להציב בנוסחת הסכום כדי למצוא.

פתרון

על מנת למצוא כמה כרטיסים נמכרו לסרט בסך הכל נחשב באמצעות נוסחה לסכום סדרה חשבונית:

a₁ = 52

d = 7

n = 13

לכן נמכרו 1,222 כרטיסים בסך הכל.

נתון שהמחיר של כרטיס לסרט זה הוא 42 שקלים ובסעיף הקודם מצאנו שנמכרו 1,222 כרטיסים.

נחשב בכמה שקלים בסך הכל נמכרו כל הכרטיסים:

1222 • 42 = 51,324

הכרטיסים נמכרו ב51,324 ש”ח בסך הכל.

סעיף א

10 ק”מ

סעיף ב

עצר פעמיים.

העצירה הראשונה נמשכה שעתיים.

העצירה השניה נמשכה שעה.

סעיף ג

ב-11:30 ו-13:30

סעיף ד

80 ק”מ

סעיף ה

20 קמ”ש

לפי הגרף במרחק 10 ק”מ היה רוכב האופניים בשעה 7:30.

לפי הגרף רוכב האופניים עצר פעמיים.

העצירה הראשונה נמשכה שעתיים.

העצירה השניה נמשכה שעה.

לפי הגרף בשעות 11:30 ו-13:30 היה במרחק 30 ק”מ מביתו.

נחבר את סך כל הקילומטרים:

20 + 20 + 40 = 80 ק”מ

על מנת למצוא את המהירות נחלק את המרחק בזמן:

40/2 = 20

לכן המהירות היא 20 קמ”ש

סעיף א

B (4 , 0) C (14 , 0)

סעיף ב

(12 , 10) E

סעיף ג

A (16 , 24)

סעיף ד

120

הנקודות B,C נמצאות על ציר ה x.

לכן נציב y = 0 על מנת למצוא אותם.

נתון משוואת הישר AB היא y = 2x – 8

ומשוואת הישר EC היא y = -3x + 42

הקודקוד B נמצא על ציר ה-x לכן נציב y = 0 במשוואת AB:

y = 2x – 8

0 = 2x – 8

2x = 8 /:2

x = 4

B (4 , 0)

הקודקוד C נמצא על ציר ה-x לכן נציב y = 0 במשוואת EC:

y = -3x + 42

0 = -3x + 42

3x = 42

x = 14

C (14 , 0)

משוואת הישר AB היא y = 2x – 8

משוואת הישר EC היא y = -3x + 42

הנקודה E היא נקודת מפגש הישרים AB ו-EC לכן על מנת למצוא אותה נשווה ביניהם:

2x – 8 = -3x + 42

5x = 50 / : 5

x = 10

נציב באחת מהמשוואות על מנת למצוא את ערך ה-y:

y = 2 • 10 – 8

y = 12

(12 , 10) E

נתון שהנקודה E היא אמצע הצלע AB .

B (4 , 0)

E (10 , 12)

נמצא את ה-x של הנקודה A לפי אמצע קטע:

נמצא את ה-y של הנקודה A לפי אמצע קטע:

ולכן הנקודה A היא:

A (16 , 24)

על מנת לחשב את שטח המשולש ABC נוריד גובה מקודקוד A ל-BC.

אורך הגובה הוא ערך ה y של הנקודה A – שהוא 24.

ו-BC = 14 – 4 = 10

לכן השטח הוא:

24 • 10 : 2 = 120

סעיף א

19.94

סעיף ב

239.28

סעיף ג

4.02

סעיף ד

71.5º

הסבר לדרך הפתרון

במשולש שבו אנו יודעים את הגובה

AH = 12

ואת הזוויות

∠D = 37

צלע המעוין היא היתר.

לכן עלינו להשתמש בפונקציית הסינוס.

במעוין כל הצלעות שוות ולכן אורך צלע המעוין 19.94

שטח המעוין זה גובה כפול צלע

נתון הגובה 12 ואורך צלע המעוין חישבנו בסעיף הקודם 19.94

ולכן שטח המעוין:

19.94 • 12 = 239.28

דרך פתרון ראשונה

הצלע CH שייכת למשולש ישר זוויות ACH.

נחשב את הזווית ACH וכך נוכל לבצע חישוב במשולש.

∠C = 180 – 37 = 143

∠ACH = 0.5∠C  = 71.5

נחשב את CH בעזרת פונקציית הטנגס.

דרך פתרון שנייה

נחשב את CH בעזרת חיסור קטעים:

CH = DC – HD

נחשב את HD במשולש ADH.

משפט פיתגורס:

12² + HD² = 19.94²

144 + HD² = 397.6

HD = – 15.92 – נפסל

HD = 15.92

CH = 19.94 – 15.92 = 4.02

אפשרות ראשונה

מצאנו בסעיף הקודם.

אפשרות שנייה

נמצא את הזווית במשולש ACH.

במשולש זה אנו יודעים את שני הניצבים – דבר המתאים לפונקציית הטנגס.

סעיף א

1/6

סעיף ב

1/36

סעיף ג

5/36

סעיף ד

1/12

ההסתברות לקבלת כל אחד מהמספרים היא 1/6, ברגע שהטלנו פעם אחת ויצא מספר מסוים

אז בפעם השנייה שמטילים את הקובייה יש רק אופציה אחת משום שמדובר באותו מספר.

ולכן ההסתברות היא:

האופציה היחידה לסכום 2 זה 1,1

ולכן ההסתברות היא:

יש 5 אופציות לסכום 8 והן:

2 , 6

2 , 6

4 , 4

5 , 3

3 , 5

עבור כל אחת מהאפשרויות ההסתברות היא:

וההסתברות לקבל 8 היא 5 פעמים ההסתברות הזו והיא:

ניתן לכתוב זאת גם כך:

יש 3 אופציות לסכום גבוה מ-10:

5 , 6

6 , 5

6 , 6

1/36 זו ההסתברות לכל אחת מיהן.

לכן ההסתברות של שלושתן היא:

ניתן לחשב זאת גם כך: