בדף זה זהויות טריגונומטריות של חצי זווית.
זהויות טריגונומטריות לחצי זווית
עבור פונקציית הסינוס
במקרים רבים לא נרצה להשתמש בזהות הכוללת שורש ולכן נשתמש בזהות הבאה (הוכחה למה ניתן להשתמש בשתי הזהויות בהמשך הדף):
כמו כן הזהות לא רק נכונה לחצי זווית מול חצי זווית וניתן להשתמש בזהות עבור כל יחס כפול בין זוויות, למשל זו בדיוק אותה זהות:
עבור פונקציית הקוסינוס
במקרים רבים לא נרצה להשתמש בזהות הכוללת שורש ולכן נשתמש בזהות הבאה (הוכחה למה ניתן להשתמש בשתי הזהויות בהמשך הדף):
וכמו קודם הזהות נכונה עבור כל קשר בין זווית וזווית הגדולה ממנה פי 2.
למשל הזהות הזאת זהה לזהות הקודמת:
עבור פונקציית הטנגס
וגם כאן ניתן לרשום את הזהות כך:
הוכחה של הזהויות הטריגונומטריות
על מנת להבין מדוע יש שתי זהויות עבור sin 0.5a ו- cos 0.5a – זהות אחת עם שורש וזהות אחרת ללא שורש נוכיח את שתי הזהויות הללו.
ותוך כדי הוכחה נגיע לשתי הזהויות.
ההוכחה מתבססת על שתי הזהויות הבאות:
זהות ראשונה
cos 2a = cos² a – sin²a
זהות שנייה
cos² a + sin²a = 1
את הזהות השנייה ניתן לכתוב גם כ:
cos² a = 1 – sin²a
או
sin²a = 1 – cos² a
ניגש להוכחת הזהות של חצי זווית:
הוכחת הזהות של חצי זווית בפונקציה הסינוס
cos 2a = cos² a – sin²a
cos 2a = 1 – sin²a – sin²a
cos 2a = 1 – 2sin²a
נרצה לבודד את פונקציית הסינוס:
cos 2a – 1 = – 2sin²a
שתי השורות האחרונות הן שתי הזהויות בהן אנחנו משתמשים.
הוכחת הזהות של חצי זווית בפונקציית הקוסינוס:
cos 2a = cos² a – sin²a
cos 2a = cos² a – (1 – cos² a)
cos 2a = cos² a – 1 + cos² a
cos 2a = 2cos² a – 1
אנו רוצים לבודד את הזווית הקטנה יותר:
cos 2a + 1= 2cos² a / :2
שתי השורות האחרונות הן שתי הזויות שאנו משתמשים בהם עבור חצי זווית.
תרגילים
הוכיחו את הזהויות הבאות:
תרגיל 1
1 – sin2(a/2) = 0.5 + cos(a) / 2
הצד השמאלי של המשוואה מזכיר את הזהות:
sin2a + cos2a = 1
לכן ניתן לומר ש:
sin2(a/2) + cos2(a/2) = 1
1 – sin2(a/2) = cos2(a/2)
נשתמש בזהות חצי זווית של קוסינוס:
cos2(a/2) = (1-cos a )/2
נחזור למשוואת ההתחלתית:
1 – sin2(a/2) = 0.5 + cos(a) / 2
נציב את צד שמאל שקיבלנו:
1 – sin2(a/2) = 0.5 + cos(a) / 2
(1-cos a )/2 = 0.5 + cos(a) / 2
אם נפצל את השבר בצד שמאל ל2 שברים על ידי חלוקה במכנה 2, נקבל שהזהות נכונה:
0.5 + cos(a) / 2 = 0.5 + cos(a) / 2
קיבלנו ביטוי זהה בשני צידי המשוואה.
תרגיל 2
1-cos a = 2 – [2*sin2(a/2) / tan2(a/2)]
מהסתכלות על הזהות, ניתן לראות שצד ימין של המשוואה מורכב יותר ולכן ננסה לפשט אותו.
ניתן לראות שבצד זה הזווית a/2 חוזרת על עצמה (בסינוס ובטנגנס).
אנו יודעים ש:
tan a = sina/cosa
ולכן:
(tan(a/2)=sin(a/2) / cos(a/2
נשתמש בזה על מנת להמיר את הטנגנס לביטוי עם סינוס, בשאיפה שביטויים שחוזרים על עצמם יצטמצמו ונקבל:
2 – [2*sin2(a/2) / tan2(a/2)] = 2 – [2*sin2(a/2)] / [sin2(a/2)/cos2(a/2)]
הביטוי (sin2(a/2 מופיע במונה ומכנה ולכן ניתן לצמצם אותו.
נקבל:
2- 2 / [1/cos2(a/2)] =2- 2*cos2(a/2)
כלומר נותר להוכיח ש:
1-cos a = 2- 2*cos2(a/2)
נשתמש בזהות חצי זווית של קוסינוס:
ולכן:
1 – cos a = 2 – 2*[(1+cosa)/2]
ה2 מצטמצם ונותרנו עם:
1 – cos a = 2 – (1+cosa)
1 – cos a = 2 – 1 – cos a
1 – cos a = 1 – cos a
קיבלנו ביטוי שמתקיים, לכן הזהות נכונה.
תרגיל 3
tan (a/2) = (1-cota*sina) / sina
תרגיל 4
sina * [cota + tan(a/2) ] = sin2a + cos2a
עוד באתר:
- זהויות טריגונומטריות נוספות.