בעיות מינימום מקסימום (קיצון) פונקציה שורש

שלב א: בניית הפונקציה

נסמן את שני המספרים בתור x , y.

ניתן לכתוב את הנתון כך:

x² + y² = 30

עלינו למצוא את המספרים x,y עבורם המכפלה x * y מקסימלית, תוך שמירה על הנתון לעיל.

נרצה להגיע לפונקציה עם משתנה אחד. לשם כך נשתמש בנתון.

x² + y² = 30

x²  = 30 – y²

x = √(30 – y²)

כעת נבנה את פונקציית המכפלה של המספרים x * y:

f (x) = √(30 – y²) * y

שלב ב: מציאת נקודת קיצון

נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס על מנת למצוא נקודות קיצון.

ניצור מכנה משותף:

נשווה לאפס:

כדי שהשבר יתאפס המונה צריך להתאפס:

30 – 2y² = 0

2y² = 30

y² = 15

y = √15,  y = -√15

מכוון שביקשו מספרים חיוביים הפתרון היחידי שמתאים לנתוני השאלה הוא:

y = √15

מציאת סוג הקיצון

מכנה הפונקציה חיובי תמיד לכן על מנת לדעת את סימן בנגזרת ניתן להציב במונה בלבד.

16√	15√	14√
שלילית	0	חיובית	סימן הנגזרת

מהטבלה נסיק כי y= √15 היא נקודת מקסימום.

מציאת המספר השני

מצאנו y = √15 הוא ערך מספר אחד הנותן ערך סכום ריבועיים מקסימלי.

המספר השני צריך לקיים:

x² + y² = 30

x² + (√15)² = 30

x² + 15 = 30

x² = 15

x = ± √15

מצאנו כי המספר השני הוא 15√.

תשובה: 15√, 15√ הם זוג המספרים שסכום הריבועים שלהם 30 ומכפלתם מקסימלית.

שלב א: הגדרת משתנה שבאמצעותו ניתן לבנות את הפונקציה

נגדיר משתנה שבאמצעותו ניתן להגדיר את 4 הנקודות שיוצרות את המלבן.

t  ערך ה x של הנקודה A.

שלב ב: הגדרת כל קודקודי המלבן בעזרת t

קודקוד A

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה, לכן ניתן להציב בפונקציה את ערך ה-x של הנקודה A על מנת לקבל את ערך ה-y שלה.

f(x) = -2√x + 6

f(t) = -2√t + 6

קודקוד A נמצא בנקודה:

(t , -2√t + 6)

קודקוד B

ניתן לראות בשרטוט שקודקוד B בעל ערך x זהה לזה של קודקוד A.

בנוסף, ניתן לראות כי קודקוד B נמצא על ציר ה-x ולכן ערך ה-y שלו הוא אפס.

קודקוד B נמצא בנקודה: (t,0)

קודקוד C

ניתן לראות בשרטוט שקודקוד C נמצא על ראשית הצירים.

לכן קודקוד C נמצא בנקודה (0,0)

קודקוד D

ניתן לראות מהשרטוט שקודקוד D הוא בעל ערך y זהה לזה של קודקוד A.

כמו כן ניתן לראות כי קודקוד D נמצא על ציר ה-y ולכן ערך ה-x שלו הוא אפס.

קודקוד D נמצא בנקודה:

(0,-2√t + 6)

שלב ג: בניית פונקציה המתארת את השטח המבוקש

השטח המבוקש הוא שטח המלבן.

על מנת לבנות פונקציה המתארת את שטח המלבן, נמצא את אורכי צלעות המלבן באמצעות הקודקודים שמצאנו לעיל.

AB = y(A) – y(B) = -2√t + 6 – 0

AB = -2√t + 6

BC = x(B) – x(C) = t – 0

BC = t

ולכן הפונקציה המתארת את שטח המלבן היא:

f (x) = AB * BC

f (x) = (-2√t + 6) * t

נפתח סוגריים ונקבל:

f (x) = -2t^1.5 + 6t

שלב ד: מציאת נקודת הקיצון של הפונקציה

נבדוק מתי הנגזרת מתאפסת.

f (x) = -2t^1.5 + 6t

f ‘ (x) = -3√t + 6

-3√t + 6 = 0

3√t = 6

√t = 2

נעלה בריבוע את שני האגפים ונקבל:

t = 4

נבדוק מהו סוג הקיצון באמצעות הנגזרת השנייה של הפונקציה.

f ‘ (x) = -3√t + 6

נציב t = 4 בנגזרת השנייה על מנת לבדוק את סוג הקיצון. אם הערך המתקבל חיובי- זו נקודת מינימום, אם הערך המתקבל שלילי- זו נקודת מקסימום.

הערך שהתקבל שלילי ולכן זו נקודת מקסימום.

שלב ה: מציאת נקודת המקסימום

על מנת למצוא את ערך ה-y של הנקודה נציב את ערך ה-x בפונקציית השטח שבנינו.

f (x) = -2t^1.5 + 6t

f (4)  = -2 * 4^1.5 + 6 * 4 = 8

נקודת המקסימום היא (4,8)

התבקשנו בשאלה למצוא את הנקודה A עבורה שטח המלבן מקסימלי.

נזכור כי הנקודה A היא הנקודה: (t , -2√t + 6)

נציב t = 4:

x(A) = t = 4

y(A) = -2√4 + 6 = -2 * 2 + 6 = -4 + 6 = 2

הנקודה A עבורה שטח המלבן מקסימלי היא: (4,2)

סעיף ב: מציאת השטח המקסימלי

את השטח המקסימלי נמצא ע”י הצבת ערך ה-x של נקודת המקסימום בפונקציית השטח.

זהו למעשה ערך ה-y של נקודת המקסימום שמצאנו לעיל.

f (x) = -2t^1.5 + 6t

f (4)  = -2 * 4^1.5 + 6 * 4 = 8

השטח המקסימלי של המלבן הוא 8 סמ”ר.

שלב א: הגדרת משתנה שבאמצעותו ניתן לבנות את הפונקציה

נגדיר משתנה שבאמצעותו ניתן להגדיר את הנקודות A, B ולאחר מיכן ליצור פונקציית מרחק.

t  ערך ה x של הנקודה A.

שלב ב: הגדרת הנקודות A, B באמצעות t

נקודה A 

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה ולכן ניתן להציב את ערך ה-x שלה בפונקציה, על מנת לקבל את ערך ה-y.

f(x) = 4√x + x + 2

f(t) = 4√t + t + 2

הנקודה A היא: (t, 4√t + t + 2)

נקודה B

ניתן לראות בשרטוט כי ערך ה-x של נקודה B זהה לערך ה-x של נקודה A.

בנוסף, נתון כי נקודה B נמצאת על הישר y = 3x. לכן ניתן להציב במשוואת הישר את ערך ה-x, על מנת לקבל את ערך ה-y.

y = 3x

y(B) = 3t

הנקודה B היא הנקודה: (t,3t)

שלב ג: בניית פונקציה המתארת את המרחק המבוקש

המרחק המבוקש הוא אורך הקטע AB.

 AB = y(A) – y(B) = 4√t + t + 2 – 3t

AB = 4√t – 2t + 2

f (x) = 4√t – 2t + 2

שלב ד: מציאת נקודת הקיצון של הפונקציה

נבדוק מתי הנגזרת של הפונקציה מתאפסת.

f (x) = 4√t – 2t + 2

נבצע כפל באלכסון:

2√t = 2

נחלק את שני האגפים ב-2:

√t = 1

נעלה בריבוע ונקבל:

t = 1

נבדוק את סוג הקיצון באמצעות הנגזרת השנייה של הפונקציה.

נציב t = 1 בנגזרת השנייה על מנת לבדוק את סוג הקיצון. אם הערך המתקבל חיובי- זו נקודת מינימום, אם הערך המתקבל שלילי- זו נקודת מקסימום.

f ” (1) = -1^-1.5 = -1

הערך שהתקבל שלילי ולכן זו נקודת מקסימום.

שלב ה: מציאת נקודת המקסימום

על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת המקסימום, נציב את ערך ה-x בפונקציית המרחק.

f (x) = 4√t – 2t + 2

נציב t = 1:

f(1) = 4√1 -2 * 1 + 2 = 4 – 2 + 2 = 4

נקודת המקסימום היא  (1,4)

בשאלה התבקשנו למצוא את הנקודה A עבורה המרחק AB מקסימלי.

נזכור כי הנקודה A היא: (t, 4√t + t + 2)

נציב t = 1  כדי למצוא את ערך ה-y :

y(A)  = 4√1 + 1 + 2 = 7

הנקודה A עבורה המרחק AB מקסימלי: (1,7)

סעיף ב: מציאת המרחק המקסימלי

המרחק המקסימלי יתקבל מהצבת ערך ה-x של נקודת המקסימום בפונקציית המרחק.

זהו ערך ה-y של נקודת המקסימום.

f (x) = 4√t – 2t + 2

נציב t = 1:

f(1) = 4√1 -2 * 1 + 2 = 4 – 2 + 2 = 4

המרחק המקסימלי הוא 4 ס”מ.