הוכחה על דרך השלילה בגיאומטריה

הוכחה על דרך השלילה מבוססת על הדבר הבא:

אם אנו מניחים הנחה וההנחה הזו מובילה אותנו למצב בלתי אפשרי אז זה אומר שההנחה שהנחנו אינה נכונה.

בדף זה ניתן שתי דוגמאות להוכחה על דרך השלילה.

דוגמה 1

הוכיחו: במשולש לא יכולות להיות שתי זוויות ישרות.

הוכחה

נניח כי במשולש יש שתי זוויות ישרות:

α = β = 90

והזווית השלישית במשולש היא γ.

נחבר את סכום זוויות המשולש.

α + β + γ = 180 + γ

קיבלנו שסכום זוויות המשולש הוא 180 + γ, כלומר גדול מ 180 מעלות.

דבר זה לא אפשרי ולכן ההנחה שהנחנו: שיש במשולש שתי זוויות שגודלן 90 מעלות אינה נכונה.

דוגמה 2 (נשענת על משפט התיכונים במשולש)

הנקודה O היא נקודת מפגש התיכונים במשולש ABC.

הוכיחו כי הישר CD העובר בנקודה O חייב להיות תיכון לצלע AB.

הערה

ההוכחה מבוססת על המשפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת שהיא נקודת מפגש התיכונים.
וגם על המשפט:
בין כל שתי נקודות עובר קו ישר אחד בלבד.

הוכחה

נניח כי הישר CD הוא לא תיכון לצלע AB.

אם כך קיים תיכון אחר לצלע AB – והתיכון האחר חייב לעבור דרך הנקודה O. כי שלושת התיכונים במשולש עוברים בנקודה O.

אם כך, יש שני ישרים שונים העוברים בנקודות CO, הישר CD וגם התיכון.

מצב זה הוא בלתי אפשרי, כי בין שתי נקודות עובר קו ישר אחד בלבד.

לכן ההנחה הראשונית שלנו “הישר CD הוא לא תיכון לצלע AB” אינה נכונה והישר CD חייב להיות תיכון.