משפטי מרובעים להדפסה

משפטים בגיאומטריה מרובעים הוא דף באתר בנושא זה הכולל גם סרטונים.

דף זה הוא גרסה להדפסה לצורך למידה.

הדף זה הוא דף מפורט.

לאחר שתסיימו יש דף קצר יותר שבו תצטרכו להיזכר במשפטים.

• משפטי מרובעים זכירה.

כל משפטי המרובעים הם בשלושה נושאים:

1. צלעות.
2. זוויות.
3. אלכסונים.

זכירת משפטי מקבילית

משפטי המקבילית חשובים במיוחד כי הם שימושיים גם לצורות אחרות: מעוין, מלבן, ריבוע.

למקבילית יש 5 משפטי הוכחה.

3 בנושא צלעות, 1 בנושא אלכסונים, 1.

זכירת המספרים הללו תעזור לכם לזכירת המשפטים ותעזור לכם לדעת אם זכרתם את כל המשפטים או חלקם.

לצורה קוראים “מקבילית”.

שם הצורה צריך להזכיר לנו את המשפט:

• מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית

לאחר מיכן נחליף את המילה “מקבילות” במילה  “שוות”:

• מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית

ולאחר מיכן נחליף את השתי זוגות בזוג אחד עם שתי התכונות:

• מרובע שבו זוג אחד של צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.

כך יצרנו קשר בין שלושת משפטי הצלעות.

משפט בנושא אלכסונים:

• מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

משפט בנושא זוויות:

• מרובע שבו שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

לפניכם מרובע שהוא מקבילית.

סמנו על המרובע או כתבו לצד המרובע את תכונות המקבילית:

זכירת משפטי מעוין

מעוין הוא סוג של מקבילית ולכן כל תכונות המקבילית קיימות בו.

למעוין 3 משפטים.

במעוין נזכור את התכונה “הידועה” שלו (צלעות שוות) וממנה נסיק את התכונות הנוספות בנוגע לאלכסונים.

המשפט הידוע של מעוין הוא:

מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

אם ידוע שהמרובע הוא מקבילית אז משתמשים במשפט:

• מקבילית ששתי צלעות סמוכות שלה שוות היא מעוין.

כי המשמעות של זוג צלעות סמוכות שוות במקבילית הוא שכל ה 4 שוות.

זה המשפט שמשתמשים בו בבגרות.

ועכשיו נשרטט מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות ונראה אלו תכונות נובעות מכך:

AO הוא תיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים (כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה).

ולכן הוא חייב להיות גם גובה וחוצה זווית.

מכך נובעים שני המשפטים הנוספים של מעוין:

• מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
• מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

תרגיל 1

מה היא התכונה הידועה של מעוין? ואיך מנסחים אותה אם המרובע הוא מקבילית?

ממה נובעים תכונות אלכסוני המעוין?

 

תרגיל 2

מצורף שרטוט של מעוין.

סמנו על המעוין או רשמו בצד את כל תכונות המעוין.

זכירת משפטי מלבן

מלבן הוא מקבילית ולכן יש לו את כל תכונות המקבילית.

מלבן הוא לא מעוין, אין לו צלעות שוות – ולכן אין לו את תכונות המעוין

התכונה ה”ידועה” של מלבן היא:

שכל זוויותיו הן 90 מעלות.

ואם ידוע לנו כי המרובע הוא מקבילית אז מספיק שזווית אחת תהיה בת 90 מעלות כדי שכולן יהיו 90 מעלות.

ולכן המשפט הוא:

• מקבילית שיש לה זווית של 90 מעלות היא מלבן.

נסתכל עכשיו על מלבן, מרובע שיש לו זוויות של 90 מעלות + צלעות נגדיות שוות ומקבילות.

מה אנו יכולים להגיד על אלכסוני המלבן?

מכוון שאלכסוני המלבן שייכים למשולש ישר זווית אנו יכולים להשתמש בפיתגורס כדי להוכיח ש:

AC = DB

או להוכיח שהאלכסונים שווים על ידי חפיפת משולשים:

ABC ≅ DCB

אתם לא צריכים להשתמש בהוכחות הללו במבחן – אבל ההוכחות הללו הן ההיגיון שיעזור לכם לזכור שהאלכסונים שווים במלבן.

וגם לזכור שבצורות: מעוין, מקבילית שבהן לא ניתן להוכיח חפיפה או להשתמש בפיתגורס האלכסונים לא שווים.

זכרו גם:

במלבן האלכסונים חוצים זה את זה – כמו במקבילית.

לסיכום משפטי הוכחת המלבן הם:

• מקבילית שיש לה זווית של 90 מעלות היא מלבן.
• אם במקבילית האלכסונים שווים אז היא מלבן.

תרגיל 1

מה היא התכונה “הידועה” של מלבן?

כיצד תכונה זו מוכיחה תכונה נוספת של המלבן?

אם נתונה מקבילית. מה הם המשפטים שבעזרתם ניתן להוכיח שהמקבילית הוא מלבן?

זכירת תכונות הריבוע

ריבוע כולל את כל התכונות של מקבילית, מעוין, מלבן.

• 4 צלעות שוות.
• שני זוגות של צלעות מקבילות.
• 4 זוויות של 90 מעלות.
• אלכסונים חוצים זה את זה.
• אלכסונים שווים זה לזה.
• אלכסונים מאונכים.
• אלכסונים חוצה זווית.

כדי להוכיח ריבוע קודם מוכיחים מלבן או מעוין ולאחר מיכן ממשיכים:

מוכיחים מלבן ואז צריך להוכיח את אחת מתכונות המעוין:

• אם במלבן זוג צלעות סמוכות שוות אז המרובע הוא ריבוע.
• אם במלבן אלכסון הוא חוצה זווית אז המרובע הוא ריבוע.
• אם במלבן האלכסונים הם מאונכים אז המרובע הוא ריבוע.

או מוכיחים מעוין ואז צריך להוכיח את אחת מתכונות המלבן:

• אם במעוין זווית של 90 מעלות אז המרובע הוא ריבוע.
• אם במעוין האלכסונים שווים אז המרובע הוא ריבוע.

זכירת משפטי טרפז שווה שוקיים

לגבי טרפז – אם במרובע יש זוג צלעות מקבילות וזוג אחר שאינן מקבילות אז המרובע הוא טרפז.

לגבי טרפז שווה שוקיים, אמרנו קודם שהמשפטים של מרובעים הם בשלושה נושאים:

1. צלעות.
2. זוויות.
3. אלכסונים.

וכדי להוכיח טרפז שווה שוקים צריך להוכיח שהמרובע הוא טרפז, ואז במידה ואחד משלושת הדברים הללו שווה אז הטרפז הוא שווה שוקיים.

אלו שלושת המשפטים להוכחת טרפז שווה שוקיים, ואלו גם תכונות טרפז שווה שוקיים:

1. טרפז בו השוקיים שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
2. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.

תרגיל 1

משורטט טרפז שווה שוקיים, סמנו עליו את התכונות שלו:

זכירת משפט הדלתון

כדי להוכיח דלתון צריך להוכיח שהמרובע מורכב משני משולשים שווה שוקיים.

המשפט של תכונת הדלתון אומר:

• האלכסון הראשי בדלתון חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני.

הדרך לזכור את המשפט היא שמכוון שהאלכסון הראשי יוצא מקודקוד הראש של משולש שווה שוקיים ואם יש לו את אחת מהתכונות:

• חוצה זווית.
• תיכון.
• גובה.

אז יש לו את שלושתן.

לכן נזכור שיש לו אחת מיהן – ויש לו את שלושתן.

וגם, מדוע האלכסון המשני הוא לא חוצה זווית או תיכון?

כי הוא לא יוצא מקודקוד הראש של משולש שווה שוקיים.

תרגיל 1

משורטט דלתון, סמנו עליו את התכונות שלו:

 

תרגיל 2

אלכסוני הדלתון מאונכים.

מה הסיבה שלאלכסון הראשי יש תכונות שאין לאלכסון המשני?

[/mepr-show]