הוכחת סדרה הנדסית

דף זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.

כיצד נראית סדרה הנדסית?

האיבר הכללי בסדרה הנדסית נראה כך:

a_n = a₁ * q^{n – 1}

וההגדרה של סדרה הנדסית על פי כלל הנסיגה היא:

a_{n + 1} = a_n * q

כלומר סדרה הנדסית היא סדרה שבה כל איבר בוא הכפלה של מספר קבוע באיבר הקודם לו.

לכן הביטוי הבא מייצג סדרה הנדסית שבה q = 7

a_n  = 6 * 7ⁿ

והביטוי הבא מייצג סדרה הנדסית שבה q = 1/7

a_n  = 6 / 7ⁿ

כיצד נוכיח שסדרה היא הנדסית?

1.הדרך שמשתמשים בה רוב הפעמים היא להשתמש בנוסחה:
a_{n + 1} = a_n * q

ולכן אם בסדרה כלשהיא נוכיח כי:
a_{n + 1} : a_n = q

אז זו סדרה הנדסית.

בדרך זו אנו נגדיר את a_n+1 ונגדיר את a_n ואז לחלק אחד בשני.
אם תוצאת החילוק היא מספר קבוע אז הסדרה היא הנדסית.

 

2.כאשר נתונה נוסחת סכום של סדרה וצריך להוכיח שסדרה היא הנדסית אז יש יכולה להיות דרך נוספת להוכיח שסדרה היא הנדסית והיא למצוא ביטוי ל- a_n על ידי המשוואה:

a_n = S_{n + 1} – S_n

ובמידה והביטוי הזה מקיים:

a_{n + 1} = k * a_n

אז זו סדרה הנדסית שמנתה היא q.

דוגמה לדרך זו בדוגמה 2 שנמצאת בהמשך.

תרגילים פתורים

דוגמה 1

בסדרה הנדסית ידוע כי:
a₁ האיבר הראשון
q מנת הסדרה
a_n האיבר במקום ה n.

האם הסדרות הבאות הן סדרות הנדסיות:

0.2a_1, 0.2a_2, 0.2a_3, …, 0.2a_n

a₁², a₂², a₃² …., a_n²

a₁ + a₂, a₃ + a_4, a₅ + a₆ , …., a_{n -1} + a_n

1 /a₁ , 1 /a₂ , 1 /a₃ ,…, 1 /a_n

פתרון

בכל הסדרות ננסה להגדיר את האיבר במקום ה n + 1 בעזרת האיבר במקום ה n.

בכל הסדרות נסמן את האיבר במקום ה n בסדרה החדשה כ a^*_n.
ואת האיבר במקום ה n + 1 בסדרה כ a^*_n+1.

בכל הסדרות דרך ההוכחה תהיה לבצע את החילוק:
a^*_n+1 : a^*_n

להביע את האיברים הללו באמצעות a₁ , q ואז לבצע צמצום.

1.פתרון עבור הסדרה
0.2a_1, 0.2a_2, 0.2a_3, …, 0.2a_n

שניתן לכתוב גם כך:

a^*_1, a^*_2, a^*_3, …, a^*_n

נחלק a^*_n+1  ב  a^*_n.

 

דרך פתרון נוספת
ננסה להגדיר את a^*_n+1 באמצעות a^*_n

a^*_n+1 = 0.2a_{n + 1} = 0.2(a_n * q) = 0.2a_n * q
a^*_n+1 = a^*_n * q

מצאנו כי כל איבר בסדרה מתקבל על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע q. ולכן הסדרה היא סדרה הנדסית.

2.פתרון עבור הסדרה
a₁², a₂², a₃² …., a_n² 

שניתן לכתוב גם כך:

a^*_1, a^*_2, a^*_3, …, a^*_n

נחלק a^*_n+1  ב  a^*_n.

מצאנו כי כל איבר בסדרה מתקבל על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע q². ולכן הסדרה היא סדרה הנדסית.

 

דרך פתרון נוספת
ננסה להגדיר את a^*_n+1 באמצעות a^*_n

a^*_n+1 = (a_{n + 1})² = (a_n * q)² = a_n² * q²

נשתמש בזהות:

a^*_n = a_n²

ונקבל:

a^*_n+1 = a^*_n * q²

מצאנו כי כל איבר בסדרה מתקבל על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע q². ולכן הסדרה היא סדרה הנדסית.

 

3.פתרון עבור הסדרה
a₁ + a₂, a₃ + a_4, a₅ + a₆ , …., a_{n -1} + a_n

שניתן לכתוב גם כך:

a^*_1, a^*_2, a^*_3, …, a^*_n

פתרון: נבצע פעולת חילוק בין שני איברים סמוכים

מצאנו כי כל איבר בסדרה מתקבל על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע q. ולכן הסדרה היא סדרה הנדסית.

 

פתרון עבור הסדרה 
1 /a₁ , 1 /a₂ , 1 /a₃ ,…, 1 /a_n

שניתן לכתוב גם כך:

a^*_1, a^*_2, a^*_3, …, a^*_n

נחלק a^*_n+1  ב  a^*_n.

מצאנו כי כל איבר בסדרה מתקבל על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע השווה ל

1/q

ולכן הסדרה היא סדרה הנדסית.

 

דוגמה 2: מתוך בגרות קיץ 2013 מועד ב

הוכחה שסדרה היא הנדסית

בסדרה נתון כי הסכום של הסדרה a מתקבל על ידי הנוסחה

S_n+1 = b * S_n + 3

צריך להוכיח שהסדרה a היא סדרה הנדסית.

פתרון
יש לכך שתי דרכים.

הדרך “הרגילה” שהיא גם הדרך הארוכה במקרה הזה היא לבצע את פעולת החילוק:

a_{n + 1} : a_n

כאשר:
a_{n+ 1} = S_{n+ 1} – S_n
a_n = S_n – S_n-1

הדרך השנייה היא להגדיר את a_{n + 1} ואולי כך למצוא את הקשר בין a_{n + 1} ל a_n .

ההגדרה של a_{n + 1} מתבצעת על ידי הפעולה:

a_{n+ 1} = S_{n+ 1} – S_n

(a_{n+ 1} = b * S_n + 3 – (b * S_n-1 + 3
a_{n+ 1} = b * S_n – b * S_n-1
(a_{n+ 1} = b (S_n –  S_n-1

מכוון שהמטרה שלנו היא ש a_n יהיה גם כן חלק מהמשוואה.
ומכוון ש:
a_n = S_n –  S_n-1

נציב ונקבל:

a_{n+ 1} = b*a_n

a_{n+ 1} : a_n = b

ומכוון ש b הוא מספר אז הוכחנו שזו סדרה הנדסית.

עוד באתר:

• סדרה הנדסית.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.