שאלון 571 חורף 2024

סעיף א

הוכחה באינדוקציה

סעיף ב

1. הוכחה
2. היחס הוא 2
3. כן

סעיף ג

תחומי העלייה של g(x):

x < -5

x > 4

תחומי הירידה של g(x):

-5 < x < -4

סעיף ד

1. גרף 2
2. 3 נקודות פיתול
3. y_c =5

אינדוקציה מתמטית זאת דרך להוכיח שאם משהו נכון לכל n אז הוא נכון לכל המספרים הטבעיים.
לאינדוקציה מתמטית יש 3 שלבים:

1. בסיס האינדוקציה: מראים שהביטוי נכון עבור מקרה פרטי (לדוגמה במקרה שלנו עבור n = 2)
2. הנחת האינדוקציה: מניחים שהביטוי נכון לכל n (נציב n = k ונשתמש בביטוי כמשפט)
3. צעד האינדוקציה: נוכיח שהביטוי נכון עבור כל צעד קדימה n = k +1
   (במקרה שלנו n = k+2 כי המספרים זוגיים)

מבקשים מאיתנו להוכיח באינדוקציה מתמטית שהביטוי הבא מתקיים עבור כל n טבעי וזוגי:

48 + 144 + 288 + … + 6n (n + 2) = n (n + 2) (n + 4)

שלב 1: בדיקה עבור  n = 2

עבור n = 2 מתקיים:

צד שמאל- האיבר הראשון בסדרה הוא

6n (n + 2) = 12 * 4 = 48

צד ימין- נציב ונקבל

2 ( 2 + 2) ( 2 + 4) = 2 * 4* 6 = 48

קיבלנו שוויון בין אגפי המשוואה.

שלב 2: הנחת האינדוקציה- n = k

נניח כי קיים k טבעי זוגי המקיים:

48 + 144 + 288 + … + 6k (k + 2) = k (k + 2) (k + 4)

שלב 3: הוכחה 

כדי לקבל את האיבר הבא צריך להציב k + 2 במקום k

נציב בצד שמאל:

48 + 144 + 288 + … + 6k (k + 2) + 6(k + 2) (k + 4)

הוספנו איבר נוסף לסדרה, האיבר העוקב של k.

נשים לב שהביטוי המודגש, על פי הנחת האינדוקציה בשלב הקודם, שווה k (k + 2) (k + 4).

נציב את הנחת האינדוקציה ונקבל:

k (k + 2) (k + 4) + 6(k + 2) (k + 4)

בצד ימין:

נציב ישירות לתוך הביטוי n = k + 2

(k + 2) (k + 4) (k + 6)

סה”כ קיבלנו:

k (k + 2) (k + 4) + 6(k + 2) (k + 4) = (k + 2) (k + 4) (k + 6)

נשים לב שבצד שמאל יש גורם משותף:

(k + 6) (k + 2) (k + 4) = (k + 2) (k + 4) (k + 6)

הגענו לשוויון.

לכן לפי אינדוקציה מתמטית הוכחנו שהביטוי

48 + 144 + 288 + … + 6n (n + 2) = n (n + 2) (n + 4)

מתקיים עבור כל n טבעי וזוגי.

תת סעיף 1

תת סעיף 2

	טענה	נימוק
7		יחס הדמיון בין צלעות המשולשים ΔAED ∼ ΔABC
8		(7) אלגברה
9	AD = CE = a	נתון + סימון
10	AE = 2CE = 2a	(8) נתון
11		(8) (9) (10) הצבה (מש”ל 2)

תת סעיף 3

נשתמש בטריגונומטריה בסעיף זה.

כדי להוכיח BE קוטר נצטרך להראות שאחת הזוויות ההיקפיות הנשענות על BE היא זווית ישרה.

נשתמש במשפט הסינוסים במשולש AED, כי יש לנו נתונים על 2 צלעות וזווית שלו.

נשתמש בנתונים מטענות (9) (10) (13)

∠ADE = 90°

תת סעיף 1

הביטויים 1,3 כוללים את הביטוי הבא במכנה

√(x² +16)

הביטוי אינו מתאפס, לכן אין אסימפטוטות אנכיות ולכן הם נפסלים.

בביטויים 2,4 זה המכנה

√(x² – 16)

המכנה מתאפס פעמיים אך לא המונה ולכן יש להם שתי אסימפטוטות אנכיות.

x =  4

x = – 4

נבדוק אסימפטוטות אופקיות:

עבור (4)

כי המונה מסדר גדול יותר מהמכנה, לפונקציה אין אסימפטוטות אופקיות ולכן היא נפסלת.

עבור (2):

כלומר ל-(2) יש שתי אסימפטוטות אופקיות ושתיים אנכיות.

ביטוי (2) הוא זה שמתאר את הפונקציה בגרף הנתון.

תת סעיף 2

g ‘ (x) = f (x) + 5/3

גרף הנגזרת של g היא הזזה למעלה ב 5/3 של f .

לכן תחומי העלייה והירידה של g הם תחומי החיוביות והשליליות של f בהזזה למעלה.

האסימפטוטות נשארות אותו דבר.
ניתן לראות מהסתכלות בגרף של- g ‘ (x) יש נקודת חיתוך עם ציר ה- x בתחום x < -4 בלבד.

9x² = 25 (x² – 16)

400 = 16 x²

x² = 25

x₁ = 5

.x < -4  – אפשרות זו מחוץ לתחום בו נקודת החיתוך צריכה להימצא

x₂ = – 5

מצאנו את נקודת החיתוך של g ‘ (x).

תחומי החיוביות של g ‘ (x) הם תחומי העלייה של g(x):

x < -5

x > 4

תחומי השליליות של g ‘ (x) הם תחומי הירידה של g(x):

-5 < x < -4

תת סעיף 1

בנקודת קיצון של הפונקציה, הנגזרת מתאפסת וחותכת את ציר ה-x.

מהתבוננות בגרפים ניתן לראות שנקודות קיצון של גרף (2) מתאימות לנקודות חיתוך של גרף (1),
אך ההיפך אינו נכון.

לכן גרף (2) הוא גרף הפונקציה f (x), וגרף (1) הוא גרף הנגזרת f ‘ (x) .

תת סעיף 2

נקודות פיתול של פונקציה הם נקודות קיצון של הנגזרת.

מסתכלות בגרף הנגזרת (1) ניתן לראות 3 נקודות כאלו.

תת סעיף 3

נתון לנו שהשטח המקווקו הכלוא בין גרף הנגזרת (1) וציר ה-x שווה 7.

בנוסף נתון:

y_A = 6 = f (x_A)

y_B = 2 = f (x_B)

נעשה אינטגרל על הנגזרת כדי למצוא את השטח:

הערך המוחלט הוא בגלל שבתחום הנתון הנגזרת מתחת וגם מעל לציר ה-x.

נפריד את האינטגרל לתחומים בהם הנגזרת חיובית ושלילית בתחום-

כי אינטגרל של נגזרת הוא הוא הפונקציה.

נבצע הצבה:

S = 7 = – ( f (x_B) – f (x_A) ) + ( f (x_C) – f (x_B ) ) =

7 = – y_B  +y_A + y_C – y_B = y_A + y_C – 2y_B

y_C = 7 – y_A + 2y_B = 7 – 6 + 2*2 = 5

y_C = 5

סעיף א

1. k > 2
2. k < 2
3. k = 2

סעיף ב

k = -3

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

-48,465

נמצא את d של הסדרה החשבונית A .

a₃ – a₁ = 2d = (-16 +2k) – ( -4 -4k) = -12 + 6k = 6 (k – 2)

d = 3 (k – 2)

1. הסדרה A עולה עבור d > 0:
   (k – 2) > 0
   k > 2
2. הסדרה A יורדת עבור d < 0:
   (k – 2) < 0
   k < 2
3. הסדרה A קבועה עבור d = 0:
   (k – 2) = 0
   k = 2

נתון :

a₁₇ = -232

נמצא את האיבר a₁₇ ונשווה לנתון.

A סדרה חשבונית, לכן מתקיים:

a_n = a₁ + (n -1)*d = -4 -4k + (n -1)* 3(k – 2)

a₁₇ = -4 -4k + 16* 3(k – 2) =

=-4 -4k +48k -96 = 44k – 100

a₁₇ = -232 = 44k – 100

44k = -132

k = -3

נתונה סדרה B המוגדרת:

b_n = a_n +24n + 17

נרצה להראות שהיא סדרה חשבונית.

d_A = 3 (k – 2) = 3 (-3 -2) = -15

נמצא את האיבר ה- b_n+1 :

b_n+1 = a_n+1 + 24(n + 1) + 17

b_n+1 – b_n  = (a_n+1 + 24(n + 1) + 17) – (a_n +24n + 17) =

= (a_n+1 – a_n ) + 24 = d_A + 24 = -15 + 24 = 9 = d_B

הוכחנו ש-B סדרה חשבונית עם הפרש 9 = d_B .

b₁² – b₂² + b₃² – b₄² + … + b₂₉² – b₃₀² =

=(b₁² – b₂² ) + (b₃² – b₄² ) + … + (b₂₉² – b₃₀² ) =

= (b₁ – b₂ )(b₁ + b₂ ) + (b₃ – b₄)(b₃ + b₄) + … + (b₂₉ – b₃₀ )(b₂₉ + b₃₀ )

הפרש בין שני איברים עוקבים בסדרה שווה ל-d ההפרש שלה.

(b₁ – b₂ ) = – d_B

וכך גם שאר ההפרשים בביטוי.

= – d_B(b₁ + b₂ ) – d_B(b₃ + b₄) -… – d_B(b₂₉ + b₃₀ ) =

= – d_B (b₁ + b₂ + b₃ + b₄ +… + b₂₉ + b₃₀) =

= – d_B * S₃₀

נמצא את סכום 30 האיברים הראשונים.

S₃₀ = (30 * (b₁ + b₃₀)) / 2

b₁ = a₁ +24 +17 = (-4 -4*(-3)) + 41 = 49

b₃₀ = b₁ + (30 -1)* d_B = 49 + 29*9 = 310

S₃₀ = 15 * (b₁ + b₃₀ ) = 15 * (49 + 310) = 5,385

אז לסיכום סכום הביטוי המבוקש:

b₁² – b₂² + b₃² – b₄² + … + b₂₉² – b₃₀² = – d_B * S₃₀ =

=-9* 5,385 = -48,465

סעיף א

p + k – 1

סעיף ב

p = 0.6

k = 0.7

סעיף ג

31/32

סעיף ד

648/3125

נכניס את הנתונים לטבלה דו מימדית.

מכיוון שאין מתנגדים מקרב המבוגרים שהשתתפו בסקר, הסתברות המתנגדים שווה להסתברות של המתנגדים הצעירים.

לכן ההסתברות שהתושב שנבחר היה צעיר התומך בהקמת הפארק:

 p – (1 – k) =

= p + k -1

נתון:

מחצית מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר תמכו בהקמת הפארק-

(1)

3/7 מן המשתתפים בסקר שתמכו בהקמת הפארק היו צעירים-

(2)

נפתור מערכת של שני משוואות-

 p + k – 1 = 0.5p  (1)

k = 1 – 0.5p

 p + k – 1 = (3/7) k  (2) 

p + (1 – 0.5p) – 1 = (3/7) * (1 – 0.5p)

1 + 0.5p – 1 = 3/7 – (3/14) p

(0.5 + 3/14)p = 3/7

(5/7) p = 3/7

p = 3/5 = 0.6

k = 1 – 0.5p = 1 – 0.5*0.6 = 1 – 0.3 = 0.7 (1)

לסיכום-

p = 0.6

k = 0.7

מראיינים באקראי 6 מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר.

ההסתברות שלפחות אחד מהם תמך בהקמת הפארק ולפחות אחד מהם התנגד להקמת הפארק

היא המשלימה של ההסתברות שכולם מתנגדים + כולם תומכים.

נחשב אותן באמצעות נוסחת ברנולי-

n = 6

k = 0 / 6

ההסתברות לכך שמבין הצעירים בחרו מישהו שמתנגד או תומך היא שווה –

p = 0.5

ההסתברות שכולם תומכים:

0.5⁶ = 1/64

זו גם ההסתברות שכולם מתנגדים.

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

P = 31/32

כעת מראיינים 5 תושבים שהשתתפו בסקר, ושואלים מה ההסתברות שבדיוק 3 מן המרואיינים צעירים, ושהמרואיין האחרון מהם היה צעיר.
ניתן לחשוב על זה בתור ההסתברות לבחירה של 2 צעירים מתוך 4 משתתפים ואז בחירה של צעיר בנפרד.
מבחינת ההסתברות הסופית זה יהיה כפל בין הסתברויות אלה. נחשב אותם:

הסתברות לבחירה של 2 צעירים מתוך 4 משתתפים-

n = 4

k = 2

p = 0.6

וההסתברות לבחור צעיר מבין המשתתפים – p = 0.6

לכן ההסתברות המבוקשת:

P = 648/3125

גם אם לא אומרים לנו: תמיד נחפש האם יש כאן מרובע חסום במעגל.

1.ראשית עלינו לשרטט את בניית העזר AF שתיצור את המרובע שאנו רוצים להוכיח.

2.לאחר בניית עזר עלינו להסתכל עם נוספה תכונה חדשה לשרטוט.

3.כדי להוכיח שמרובע חסום במעגל צריך להוכיח שסכום זוויות נגדיות בו שווה ל 180.

מכוון שבסעיף הקודם מצאנו קשר לזווית D.

סביר שעכשיו נשתמש בקשר זה כדי להוכיח

∠D + ∠AFG = 180

צריך להוכיח ש CE הוא חוצה זווית.

ניתן להוכיח זאת באמצעות:

AB = BF

אבל אין לנו מידע לגבי אורכי צלעות.

אבל יש לנו הרבה מידע לגבי קשרים בין זוויות.

לכן ננסה להוכיח:

∠ACE = ∠FCE

סעיף א,ב,ג

הוכחה

סעיף ד

GE = 30

CG  = 60

מש”ל א’

מש”ל ב’

	טענה	נימוק
16	∠DGC + ∠DAF  = 180°	(15) זוויות נגדיות במרובע חסום GDAF
17	∠DAF + ∠CAH  = 180°	זוויות צמודות על ישר CD
18	∠DGC = ∠CAH	(16), (17), כלל המעבר
19	∠GCE = 180° – (∠CGE + ∠CEG)	זוויות במשולש ΔCEG
20	∠ACH = 180° – (∠CAH + ∠CHA)	זוויות במשולש ΔAHC
21	∠CEG = ∠CHA	נתון
22	∠GCE = ∠ACH	(18), (19), (20), (21) כלל המעבר
23	EC חוצה זווית	(22) במשולש ΔDCG
24		משפט חוצה זווית למשולש ΔDCG

מש”ל ג’

 36² + (18 + GE)² = (2 * GE)²

1296 + 324 + 36*GE + GE² = 4* GE²

3* GE² – 36*GE -1620 = 0

GE = 30

(האפשרות השלילית לא רלוונטית לאורך גיאומטרי).

לסיכום-

GE = 30

CG  = 60

סעיף א

∠ODE = 90°

∠OCA = 90°

∠COD = 2α + 60°

∠CED = 120° – 2α

סעיף ב

סעיף ג

α = 28.955°

סעיף ד

0.549

נתון מעגל שמרכזו O והרדיוס שלו R .
הקטע ED משיק למעגל –

∠ODE = 90°

הנקודה C היא אמצע המיתר AB.
הישר OC מאונך ל-AB , כי קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

∠OCA = 90°

בנוסף נתון שהמרחק של הנקודה O מן המיתר AB הוא 0.5R.

המרחק בין ישר לנקודה הוא האנך היוצא ממנה ולכן

OC = 0.5R

נשים לב בנוסף שכיוון ש-D ו-A על המעגל

OA = OD = R

נתבונן במשולש ΔOCA ונשים לב שמדובר ב”משולש זהב” או “משולש 90 60 30”:

משולש ישר זווית שהיתר שלו באורך כפול מאחת הצלעות. לכן מתקיים בהתאמה-

∠CAO = 30°

∠COA = 60°

נתון גם הסימון :

∠AOD = 2α

סכום הזווית O:

∠COD = ∠COA + ∠AOD = 2α + 60°

סכום זוויות במרובע הוא 360° ולכן זווית E:

∠CED = 180° – (2α + 60° ) = 120° – 2α

סיכום הזוויות במרובע ODCE:

∠ODE = 90°

∠OCA = 90°

∠COD = 2α + 60°

∠CED = 120° – 2α

כדי למצוא ביטוי לצלע DE נרצה להתרכז במשולש ADE ולמצוא צלע וזוויות
על מנת לחלץ ביטוי עבור DE טריגונומטרית (באמצעות משפט הסינוסים).
את הזווית E כבר יש לנו, נותר למצוא את AD שמולה ואת הזווית DAE.

נתבונן במשולש OBA. ניתן לראות שהוא שווה שוקיים, לכן הזוויות מקיימות-

∠ADO = ∠DAO = 0.5* (180° – 2α) = 90° – α

נמצא ביטוי לצלע AD באמצעות משפט הקוסינוסים:

AD² = R² +R² – 2*R*R*cos(2α) =

=2R² -2R²*cos(2α) = 2R²  * (1- cos(2α))

נשתמש בזהות הטריגונומטרית הבאה-

1- cos(2α) = 2sin²α

AD² = 2R²  * 2sin²α = 4R² sin²α

AD = 2Rsinα

נותר למצוא את הזווית שמול DE.

נתבונן בסכום הזוויות על הישר CE:

180° = ∠CAO + ∠OAD + ∠DAE = 30° + (90° – α) + ∠DAE

∠DAE = 180° – (120° + α) = 60° + α

כעת ניתן להשתמש במשפט הסינוסים למצוא את DE:

נציב את מה שמצאנו ואת הזווית DEA מהסעיף הקודם-

נתון בנוסף שרדיוס המעגל שחוסם את המשולש ODA הוא

4/7 R

נשתמש במשפט הסינוסים:

נשתמש בזהות לזווית כפולה של סינוסים-

sin(2a) = 2* sin(a) * cos(a)

cosα = 7/8

α = 28.955°

*שימו לב שהמחשבון במצב degree ולא רדיאנים.

מבקשים כעת את היחס בין המעגל החוסם את DOCE ושטח המעגל הנתון.

מעגל החוסם את DOCE יחסום גם את המשולש ODE, לכן אם נמצא את אורך הצלע OE נוכל להשתמש במשפט הסינוסים כדי לקבל את הרדיוס של המעגל החדש.

המשולש ODE הוא ישר זווית, נשתמש בפיתגורס-

OE² = DE² + CD²

נציב את אלפא שמצאנו בסעיף ג בביטוי מסעיף ב-

OE² = (1.0955R)² + R² = 2.2R²

OE = 1.483 R

משפט הסינוסים עבור ODE:

2R_# = OE = 1.483 R

R_# = 0.741 R

# מסמן את הרדיוס של המעגל החוסם את DOCE.

שטח מעגל הוא S = πR² לכן היחס בין שטחי המעגלים יהיה היחס בין הרדיוסים שלהם בריבוע:

* ניתן היה באותה מידה לפתור עם האלכסון CD עם המשולש OCD, היה מתקבל אותו הרדיוס והיחס.

סעיף א1:

תחום ההגדרה:

0 ≤ x ≤4

x > 4

סעיף א2:

אסימפטוטה אנכית x = 4

אסימפטוטה אופקית y = 0

סעיף א3:

חיתוך ציר x:

(16,0)

חיתוך ציר y:

(0,-1)

סעיף א4:

max (0, -1) , max (36, 1/8)

סעיף ב:

סעיף ג:

הוכחה

סעיף ד1:

לא נכון

סעיף ד2:

נכון

סעיף ה:

הביטוי שבתוך השורש צריך להיות גדול או שווה ל 0.

המכנה שונה מ 0.

ה-x בשורש ולכן חייב להיות חיובי. x ≥ 0 .
בנוסף, המכנה מתאפס עבור-

לכן תחום ההגדרה:

0 ≤ x ≤4

x > 4

אנכית

נבדוק לאן הפונקציה שואפת בנקודות אי ההגדרה.

אופקית

לאן הפונקציה שואפת כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.

אנכית

x = 4 מאפס את המכנה. זו אסימפטוטה אנכית כיוון שלא מאפס את המונה.

אופקית

4- במונה ובמכנה זניחים.

לכן כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף :

כאשר הפונקציה שואפת למינוס אינסוף הפונקציה אינה מוגדרת.

אסימפטוטה אופקית y = 0.

חיתוך ציר x

חיתוך ציר y:

נקודות החיתוך: (1-, 0) , (16,0)

נבצע גזירה:

כיוון שהביטוי במונה כולו בכפל, ניתן להוריד את השבר למכנה-

√x – 2 = 0

√x = 2

√x = √4

x = 4

נקודה זו מחוץ לתחום ההגדרה.

אפשרות שנייה:

6 – √x = 0

6 = √x

√36 = √x

36 = x

נקודה זו בתחום ההגדרה, וחשודה כקיצון.

נחשב את ערך ה y של הנקודה:

מצאנו שנקודות הקיצון הן:
max (0, -1) , max (36, 1/8) .

תחום ההגדרה:

0 ≤ x ≤4

,x > 4

אסימפטוטות: x = 4 , y = 0

חיתוך צירים: (1-, 0) , (16,0)

קיצון: max (0, -1) , max (36, 1/8)

יש לגזור את הפונקציה g(x).

נמצא את g ‘ (x).

מכוון ש f(x) = g ‘ (x)

נסתכל על הגרף של f(x) ונראה אם ערכו מגיע ל 2.

טענה 1

אם קיים משיק לגרף הפונקציה g(x) ששיפועו 2,  צריך להתקיים:

g ‘ (x) = 2 = f (x).

ראינו בסעיפים הקודמים שהמקסימום של f(x) הוא 1/8.

לכן הטענה לא נכונה.

לפונקציה g(x) יכולה להיות נקודת פיתול כאשר f ‘ (x) = 0

ומצאנו בסעיפים קודמים מתי f ‘ (x) = 0.

טענה 2

g ” (x) = f ‘ (x) = 0 , כלומר קיימת נקודת פיתול יחידה וכבר מצאנו אותה,

(1/8, 36).

זה אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.

מדובר באינטגרל של פונקציה ונגזרתה הפנימית.

סעיף א:

a = 1

סעיף ב1:

תחום ההגדרה:

-2π ≤ x ≤ -π/2

-π/2 ≤ x ≤ 3π/2

 3π/2 ≤ x ≤ 2π

סעיף ב2:

נקודות החיתוך עם הצירים:

(1-, 0) , (0, 2/π)  (3π/2 , 0-)

סעיף ב3:

נקודות הקיצון:

min (-2π , -1)

max (-3π/2, 0)

max (π/2, 0)

max (2π, -1)

סעיף ג:

סעיף ד:

5 פתרונות

סעיף ה

הטענה נכונה

נגזור את הפונקציה ונמצא את ערכי ה x של הקיצון.

באמצעותם נמצא את ערך ה y של הקיצון.

נתון ש- a פרמטר חיובי ושונה מ 0.

נבחר נקודה k=0, x=π/2. נוודא קיצון באמצעות נגזרת שנייה.

המכנה תמיד חיובי, נבדוק את סימן המונה בנקודה שבחרנו.

מצאנו שזו נקודת מקסימום.

נתון שגרף הפונקציה משיק ל-X בכל נקודות הקיצון.

לכן:

f(0.5π) = 0

נבדוק תחום הגדרה במכנה

בתחום -2π≤ x ≤2π.

הנקודות שמאפסות את המכנה הן:

אז תחום ההגדרה כולו:

-2π ≤ x ≤ -π/2

-π/2 ≤ x ≤ 1.5π

 1.5π ≤ x ≤ 2π

נקודות החיתוך עם הצירים: (1-, 0) , (0, 2/π)  (3π/2 , 0-)

בסעיף א כבר מצאנו את הנגזרת, נציב a=1.

אז נקודות הקיצון מתקבלות בנקודות:

בתחום ההגדרה שלנו מתקבלות הנקודות:

הנקודה של k=-1 נמצאת מחוץ לתחום ההגדרה.

מכנה הנגזרת תמיד חיובי אז מספיק לבדוק את הסימן של המונה בהצבה.

נבדוק את סוגן:

f ‘ ( -7π/4) = + 0.485

f ‘ ( -3π/4) = – 16.485

f ‘ (0) = + 2

f ‘ ( 3π/4) = – 0.485

f ‘ ( 7π/4) = + 16.485

f (-2π) = -1

f (2π) = -1

קיבלנו את נקודות הקיצון הבאות:

min (-2π , -1)

max (-3π/2, 0)

max (π/2, 0)

max (2π, -1)

תחום ההגדרה:

-2π ≤ x ≤ -π/2

-π/2 ≤ x ≤ 3π/2

 3π/2 ≤ x ≤ 2π

חיתוך צירים: (1-, 0) , (0, 2/π)  (3π/2 , 0-)

קיצון:

min (-2π , -1)

max (-3π/2, 0)

max (π/2, 0)

max (2π, -1)

נתבונן בגרף ובחיתוך שלו עם הישר y = -1 :

ניתן לראות שיש 5 נקודות חיתוך, כלומר 5 פתרונות למשוואה f(x) = -1.

ניתן לשרטט בתוך השטח של האינטגרל משולש ששטחו 0.5π.

מכך נסיק את שטחו של האינטגרל.

המשמעות שהפונקציה קעורה כלפי מטה היא שהגרף נמצא מעל הצורה בתחום המדובר.

נגדיר פונקציה חדשה: g(x) = f(x) + 1

נמצא את נקודות החיתוך של g(x) עם ציר ה x.

g(x) = 0 = f(x) + 1

f(x) = -1 

נתבונן במשולש שנוצר בין הגרף לציר x בקטע-

0 < x < π

נתון שהפונקציה קעורה מטה בכל חלקי תחום הגדרתה.

לכן גרף הפונקציה נמצא מעל גרף המשולש.

והשטח בין הגרף לציר x בקטע הנתון בהכרח גדול משטח המשולש,

נחשב את שטח המשולש

ניתן לראות שהוא בין שתי נקודות החיתוך

(0,0) , (π , 0)

ולכן אורך הבסיס הוא π.

וביניהם נקודות הקיצון שהוזזה למעלה ביחידה אחת:

max (π/2, 1)

ולכן אורך הגובה הוא:

0.5π

שטח המשולש בין הנקודות האלו:

S = π/2

השטח המוגבל על ידי הפונקציה גדול יותר.

לכן הטענה:

נכונה.

סעיף א:

t (k – t – 1)

סעיף ב:

סעיף ג:

נתון שרוחב גינה B הוא 2 מטרים ושטחה הוא 2t + 2 מ”ר.

לכן אורך גינה B הוא (t + 1) מטרים.

האורך הכולל של שתי הגינות הוא k מטרים.

לכן האורך של גינה A הוא (k – t – 1) מטרים.

שטח גינה A:

S_A = t (k – t – 1) מ”ר.

תחום ההגדרה הוא

0 < t < k – 1

כדי למצוא את יחס השטחים המינימלי נבצע גזירה ונמצא את נקודת המינימום.

נפתח את המונה בנפרד.

קיבלנו סך הכל את הנגזרת, נשווה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון.

הנקודה מהחיסור נמצאת מחוץ לתחום ההגדרה.

נבדוק שהנקודה

היא מינימום.

נשים לב שהמכנה תמיד חיובי. לכן המונה הוא שקובע את הסימן.

נגדיר פונקציית עזר:

נזהה את תחום החיוביות והשליליות על המונה על ידי שרטוט הפרבולה המתאימה.

זו פרבולה שהמקדם של t²  בה הוא חיובי, כלומר קעורה כלפי מעלה.

אנחנו רוצים נקודת מינימום, כלומר נקודה שבה הנגזרת שלילית ואז חיובית.

מהסתכלות על פונקציית העזר רואים כי הנקודה

היא אכן המינימום של יחס השטחים בין הגינות.

הפונקציה החדשה g (x) היא הזזה של הפונקציה הקודמת.

לכן ניתן להגדיר אותה כך:

לגזור כך:

ואז על סמך החקירה הקודמת למצוא מתי

g ‘ (x) = 0

וגם את סוג הקיצון.

היחס בין שטח הגינה A לשטח הגינה B הפוך לסעיף הקודם.

נגזור ונשווה לאפס כדי למצוא את הערך המקסימלי.

לכן h ‘ (t) ו  f ‘ (t) מתאפסות עבור אותם ערכים.

ואת הנקודה היחידה בתחום המקיימת זאת מצאנו כבר בסעיף ב:

כיוון בנגזרת h'(t) יש סימן (-) לפני f'(t) והמכנה חיובי, הן הפוכות סימן.

כאשר h(t) עולה, f(t) יורדת, ולכן נקודת המינימום של f(t) היא נקודת מקסימום של h(t).