בדף זה נסביר שאלות הוכחה בהם מבקשים שנוכיח ש 3 או 4 או 5 נקודות נמצאות על היקף של מעגל יחיד.
כיצד מוכיחים ש 3 נקודות נמצאות על היקף מעגל
יש משפט (המאושר לשימוש בבגרות) האומר:
“דרך 3 נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד”.
המשמעות הבסיסית של משפט זה היא שכל משולש יכול להיחסם על ידי מעגל – משום שקודקודי משולש לעולם לא נמצאים על ישר אחד.
ובנוסף המעגל החוסם את המשולש הוא מעגל יחיד, כלומר לא ניתן למצוא מעגל נוסף ששלושת קודקודי המשולש נמצאים על ההיקף שלו.
למשל עבור המשולש הבא:
יש מעגל אחד ויחיד ששלושת קודקודי המשולש נמצאים על ההיקף שלו:
כיצד מוכיחים ש 4 נקודות נמצאות על היקף מעגל
דרך ראשונה
יש משפט האומר:
“מרובע החסום במעגל סכום הזוויות הנגדיות במרובע שווה ל 180”
ויש גם את המשפט ההפוך:
“אם סכום זוויות נגדיות במרובע שווה ל 180 ניתן לחסום את המרובע במעגל”.
שני המשפטים מאושרים לבגרות.
והמשפט השני מאפשר להוכיח ש 4 נקודות נמצאות על היקף מעגל.
כי אם נוכיח שזווית אחת במרובע היא α והזווית שמולו היא:
180 – α
אז ארבעת הנקודות נמצאות על היקף מעגל יחיד.
כלומר אם נוכיח שהמצב שבשרטוט למטה קיים במרובע אז הנקודות A,B,C,D נמצאות על היקף של מעגל אחד ויחיד.
דרך שנייה
אם הנקודות A,B מגדירות קוטר של מעגל.
אז יש רק מעגל יחיד שהישר AB הוא קוטר שלו.
אם כך נסו להוכיח את השאלה הבאה בעצמכם:
נתון כי:
∠ACB = 90
∠ADB = 90
הוכיחו כי הנקודות A,B,C,D נמצאות על מעגל אחד.
(פתרון השאלה מבוסס על תכונה שהופיעה בבחינת בגרות).
כיצד מוכיחים ש 5 נקודות נמצאות על היקף מעגל
אני לא נתקלתי בשאלה כזו, אבל זו שאלה תאורטית שניתן לחשוב עליה על בסיס מה שלמדנו קודם לכן.
נסו לחשוב בעצמכם על דרכים להוכחה ש 5 נקודות נמצאות על היקף של מעגל יחיד.
(אתם יכולים לבחור את הנתונים שאתם צריכים כדי להוכיח כל הוכחה).