יש שני סוגים של חישובי אינטגרלים בבגרות:
- חישוב טכני של אינטגרל.
- תרגילי הוכחה והבנה.
בדף זה נתמקד בחלק הראשון של החישוב הטכני של האינטגרל.
כאשר ברוב השאלות מסוג זה צריך לדעת לחשב אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.
כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.
מה זו פונקציה פנימית ומה זו פונקציה חיצונית?
פונקציה מורכבת היא פונקציה המורכבת משתי פונקציות או יותר.
לפונקציות הללו יש סדר חישוב – סדר פעולות חשבון.
הפונקציה הפנימית – היא זו המחושבת ראשונה.
הפונקציה החיצונית – היא זו המחושבת אחרונה.
ברוב המקרים זה יהיה לנו ברור ממבט מה היא הפונקציה החיצונית ומה היא הפונקציה הפנימית.
אבל יש גם מקרים מבלבלים.
דוגמה 1
f(x) = (1 – 2x³)5
הפונקציה הפנימית היא
1 – 2x³
והפונקציה החיצונית היא חזקת 5.
דוגמה 2
f(x) = √3x
הפונקציה הפנימית היא 3x.
והפונקציה החיצונית היא שורש.
אבל מה היא הפונקציה הפנימית במקרה הבא?
f (x) = sin²x
לכן כאשר יש לכם ספק מה היא הפונקציה הפנימית / חיצונית זכרו את הכלל האומר שפונקציה פנימית היא זו המחושבת ראשונה.
אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית
הכלל של אינטגרל מסוג זה אומר:
[(f [u(x) ] * u ‘ (x) = F [u (x∫ובאופן מעשי, כיצד נחשב את האינטגרל הבא:
∫(x² – 3x)4 * (2x – 3) dx
פתרון
1.יש כאן פונקציה
(x² – 3x)4
כפול הנגזרת הפנימית:
2x – 3
במקרה כזה אנו מחשבים אינטגרל על פי נוסחת האינטגרל של הפונקציה החיצונית – שהיא פונקציית פולינום:
ואנו “מתעלמים” מכך שזו פונקציה מורכבת.
כלומר חישבנו את האינטגרל של:
(x² – 3x)4
בדומה לאינטגרל הבא:
דרך חשיבה נוספת
אינטגרל היא הפעולה ההפוכה לגזירה ולכן אנו יכולים לחשוב: ” מה אנו יכולים לגזור ולקבל
“(x² – 3x)4
אז ברור שאנו צריכים לגזור את :
(x² – 3x)5
ולאחר מיכן עלינו לחשוב איזו התאמה מספרית עלינו לבצע – וזו חלוקה ב 5.
דוגמה 2 (פונקציה רציונלית)
בדוגמה זו יש פונקציה רציונלית (במכנה) והנגזרת הפנימית שלה (8x) נמצאת במונה.
לכן יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.
במקרה זה נשתמש בנוסחה של אינטגרל של פונקציה רציונלית.
וגם בנוסחה:
[(f [u(x) ] * u ‘ (x) = F [u (x∫ונקבל:
דוגמה 3 (פונקציית שורש)
10x זו הנגזרת הפנימית של פונקציית השורש.
לכן יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.
וניתן לבצע אינטגרל על פי הנוסחה:
ונקבל:
דוגמה 4
sin²x cos x dx∫
במקרה זה הפונקציה החיצונית היא חזקה (פולינום)
הפונקציה הפנימית היא sin x.
הנגזרת של sin x היא cos x ולכן יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת הפנימית שלה ואנו יכולים להשתמש בנוסחה.
הפונקציה החיצונית שלנו היא חזקה (פולינום) ולכן נחשב את האינטגרל לפי הנוסחה של אינטגרל של פולינום.
דוגמה 5
זה אינטגרל שבו קשה לזהות את הפונקציה הפנימית והחיצונית.
אבל הפונקציה החיצונית היא חזקת 2 במכנה – שזו פונקציה רציונלית.
והפונקציה הפנימית היא sin x והנגזרת שלה cos x.
לכן יש לנו פונקציה כפול הנגזרת הפנימית.
נשתמש בנוסחה של אינטגרל של פונקציה רציונלית.
נקבל:
כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.
עוד באתר: