בגרות במתמטיקה 5 יחידות קיץ 2021 שאלון 581

בשאלה זו נבנה שתי משוואות:

1. משוואה המבוססת על זה שזמן העלייה של המעליות שווה.
2. משוואה המבוססת על זה שזמן הירידה שווה.

יש שני נעלמים שהם שתי המהירויות.

מידע יותר מפורט ברמז הבא.

משוואה ראשונה: זמן העלייה של מעלית א שווה לזמן העלייה של מעלית ב.

משוואה שנייה: זמן הירידה של מעלית א שווה לזמן הירידה של מעלית ב.

את זמן התנועה בשניות של כל אחת מהמעליות ניתן למצוא בעזרת תיאור התנועה של מעלית א.

סעיף א

מעלית א נוסעת במהירות 3 מטר לשנייה, מעלית ב נוסעת במהירות 4.5 מטר לשנייה

סעיף ב

לא

דרך הפתרון היא:

נבנה שתי משוואות בצורה הזו:

1. משוואה המבוססת על זה שזמן העלייה של המעליות שווה.
2. משוואה המבוססת על זה שזמן הירידה שווה.

כך נראית התנועה בשלב של העלייה:

הגדרת משתנים:

v₁ מהירות המעלית הראשונה במטרים לשנייה.
v₂ מהירות המעלית השנייה במטרים לשנייה.

נבנה טבלאות עבור התנועה של המעליות.

מעלית א, בעלייה:

מעלית ב, בעלייה:

מהנתון כי זמני העלייה שווים, נוציא את המשוואה הבאה:

זמן המעלית השנייה = זמן המעלית הראשונה

שלב הירידה

כעת נכניס לטבלה את ירידה המעליות. מעלית א:

זמני הירידה שווים ולכן:

כעת יש לנו מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים:

אם נכפיל כל משוואה במכנה המשותף שלה, כפי שרשום למעלה נקבל:

33v₂ +7v₁v₂ = 81v₁

63v₁ =15v₂ + 9v₁v₂

זה זוג משוואות בעייתי כי הוא כולל את האיבר v₁v_2.

את הבעיה הזו ניתן לפתור בכמה דרכים, דרך אחת היא לשנות את ההכפלה במכנה המשותף כך שנקבל את הביטוי v₁v₂ עם אותו מקדם.

נקבל:

297v₂ + 63v₁v₂ = 729v₁
441v₁ =105v₂ + 63v₁v₂

כעת נבצע חיסור בין שתי המשוואות ונקבל את המשוואה הבאה:

192v₂ = (729 – 441)v₁

192V₂ = 288V₁

V₂ = 1.5V₁

כעת נציב את היחס שיצא במשוואה המסומנת ב (***). ניתן להציב גם באחת המשוואות המקוריות, אך לשם נוחות נבחר בזאת

297v₂ + 63v₁v₂ = 729v₁

  297 * 1.5v₁ + 63v₁ * 1.5v₁ = 729v₁ / :1.5v₁

297 + 63v₁= 486

63v₁ = 189 / : 63

V₁ = 3 (m/s)

נציב ביחס שקיבלנו מחיסור המשוואות:

v₂ = 1.5v₁ = 1.5 * 3 = 4.5 (m/s)

תשובה סופית סעיף א: מעלית א נוסעת במהירות 3 מטר לשנייה, מעלית ב נוסעת במהירות 4.5 מטר לשנייה

הרעיון של הפתרון

לפעמים שואלים “איך ניתן לדעת מה ההיא הקומה העליונה”.
והתשובה היא שבשאלה מוזכר גובה של 81 מטרים.
ולכן כל גובה שהוא נמוך מכך לא יהיה הקומה העליונה.
גובה הגדול מ 81 מטרים יכול להיות הקומה העליונה אבל לא בטוח.

פתרון

בסעיף זה, נדרש למצוא באיזו קומה התחילה מעלית ב את תנועתה. לשם כך, נשתמש שוב בטבלאות בקשר לתנועתן של המעליות. מעלית א:

מעלית ב:

מהטבלה העליונה נלמד כי הזמן שבו עלתה מעלית  א הוא:

42 : 3 = 14

זמן זה שווה לזמן תנועה מעלית ב.
מתוך זמן זה מעלית ב עצרה למשך 6 שניות.

לכן זמן תנועתה בפועל של מעלית ב הוא:

t₁ + 6 = 14  / -6

t₁ = 8

מכאן נשתמש בנוסחה s = v*t כדי למצוא כמה קומות מעלית ב ירדה:

s₂ = t₁ * v₂ = 8 * 4.5 = 36

המעלית ירדה 36 מטר, לכן גובהה ההתחלתי היה

42 + 36 = 78

בסעיף א נתון כי המעלית הגיעה לקומה בגובה 81 מטרים, לכן בסעיף זה היא לא התחילה את תנועתה בקומה העליונה של המלון.

את סעיף א ניתן לפתור גם עם נעלם אחד בצורה הזו:

נתייחס אל זמני התנועה בפועל של שתי המעליות.

וננצל את זה שבפועל המעלית השנייה נעה 7 שניות יותר על מנת להגדיר את זמני התנועה של שתי המעליות בעזרת נעלם אחד.

נגדיר:

t זמן התנועה בפועל של המעלית הראשונה.

לכן הטבלה של התנועה למעלה תראה כך:

בשלב השני המעליות נעו באותן מהירויות וגם הדרך שעברו המעליות ידועה.

מכאן אנו יכולים להסיק כמה זמן כל מעלית נעה בפועל.

ומכוון שמעלית א נעה 9 שניות פחות המשוואה שתתקבל היא:

וניתן לכתוב אותה גם כך:

מכאן הפתרון ברור.

כאשר נתונה לנו הנוסחה ל s_n הרבה פעמים נמצא את a_n על ידי הנוסחה:

a_n = s_n – s_n-1 

המשאה בה השתמשנו בסעיף הקודם
a_n = s_n – s_n-1 
טובה רק ל n ≥ 2

בסעיף זה, נצטרך להוכיח שנוסחת האיבר הכללי שמצאנו נכונה גם עבור n = 1. כלומר:

S₁ = a₁

d = a_n+1 – a_n

כדי שסדרה תתכנס עלינו להוכיח:

-1 < q_c < 1

נתון כי: q_c = 2 / d

הציבו בנוסחה זו ומצאו את טווח הערכים של q_c.

יש לנו את כל הנתונים על מנת לחשב את הסכומים ביחס:

על מנת להוכיח שסדרה הנדסית עולה מספחק שנדע את האיבר הראשון ומנת הסדרה.

סעיף א

a_n = 2kn – k – p

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

m = 5

סעיף ד

סדרה עולה

נשתמש בנוסחה הבאה:

a_n = s_n – s_n-1 

נציב בנוסחת הסכום n-1, ונקבל:

S_n-1 = k( n – 1 )² – p(n-1) = kn² – 2kn + k – pn + p

a_n = Sn – S_n-1 = kn² – pn – kn² + 2kn – k + pn – p = 2kn – k – p

תשובה סופית:

a_n = 2kn – k – p

המשאה בה השתמשנו בסעיף הקודם
a_n = s_n – s_n-1 
טובה רק ל n ≥ 2

בסעיף זה, נצטרך להוכיח שנוסחת האיבר הכללי שמצאנו נכונה גם עבור n = 1.

הנוסחה תהיה נכונה אם נמצא כי עבור n = 1 מתקיים:

S₁ = a₁

נציב n = 1 בשתי המשוואות:

a_n = 2kn – k – p
Sn  = kn² – pn

ונקבל:

a₁ = 2k – k – p = k – p

S₁ = k – p = a₁

d = a_n+1 – a_n
= 2k( n + 1 ) – k – p – 2kn + k + p =
2kn + 2k – 2kn =
2k

ההפרש בין שני איברים כלליים לא תלוי באינדקס המיקום (n) , לכן הסדרה חשבונית, והפרשה:

d = 2k

כדי שסדרה תתכנס עלינו להוכיח:

-1 < q_c < 1

נתון כי: q_c = 2 / d

כמו כן k = 1.5  ו- d = 2k
מכך:
d = 2*1.5 = 3

נציב d = 3 בנוסחה:
q_c = 2 / d
q_c = 2 / 3

לכן:

-1 < q_c < 1

והסדרה c_n היא הנדסית מתכנסת

נתון בסעיף קודם כי מנת הסדרה b_n היא d, לכן:

q_b = 2k = 2 * 1.5 = 3

בסעיף קודם מצאנו כי: q_c = 2/3

בנוסף, נתון כי a₁ = b₁ = c₁

בסעיף א מצאנו כי a₁ = k – p

לכן, לאחר הצבת הנתונים מסעיף ב:

a₁ = b₁ = c₁ = 1.5 – 4.5 = – 3

כעת נציב את הנתונים שאספנו בנוסחת הסכום:

ובנוסחת הסכום של סדרה הנדסית מתכנסת:

נתון לנו כי:

ונציב את הסכומים שמצאנו במשוואה למעלה:

נצמצם את ה 3 במכנה בשני הצדדים.

3^m – 1 = 121 * 2 = 242

3^m = 243

את המשוואה הזו יש שתי דרכים לפתור:

1.על ידי הצבות שונות בחזקה 

כך נקבל:

3⁵ = 243

m = 5

2.לאלו שלמדו כבר לוגריתמים (לא תלמידי תיכון).

נוציא לוג עם בסיס 3 משני צדדי המשוואה.

3^m = 243

log₃ 3^m = log₃ (243)

m = 5

לכן, תשובה סופית: m = 5

על הסדרה c  אנו יודעים:

c₁ = -3
q_c = 2/3

לכן כל איבר בסדרה c הוא שלילי וכל איבר בסדרה קרוב יותר ל 0 מקודמו.
לכן זו סדרה עולה.

נחשב את:

c_n+1 – c_n

אם תוצאת התרגיל היא מספר שלילי, הסדרה יורדת. אם התוצאה חיובית, הסדרה עולה. אם חיוביות/שליליות התוצאה תלויה באינדקס, אז הסדרה לא עולה ולא יורדת.

כזכות, נוסחת האיבר הכללי הסדרה הנדסית: a_n = a₁q^{n – 1}

לכן:

c_n = – 3 (2 / 3)^{n – 1}

c_{n + 1} = – 3 (2 / 3)ⁿ 

לשם הנוחות נכתוב 2/3 = 0.66

c_{n + 1} – c_n = – 3  * 0.66ⁿ – (- 3 * 0.66^{n – 1} ) =
– 3 * 0.66ⁿ + 3 * 0.66^{n – 1} =

נכתוב את המשוואה כך שבשתי האיברים יהיה חזקת n – 1 ונוכל להוציא גורם משותף:

– 3 * 0.66^{n – 1} * 0.66 + 3 * 0.66^{n – 1} =

נוציא גורם משותף:

= – 3 * 0.66^{n – 1} (0.66 – 1 ) = – 3 * 0.66^{n – 1} * -0,33  = 0.66^{n – 1} > 0

מצאנו כי: c_n+1 – c_n > 0

לכן הסדרה c_n עולה.

צריך לבנות טבלה כזו

שימו לב שאחד הנתונים הוא הסתברות מותנית ולא ניתן להציבו בטבלה ישירות.

צריך לבחור משתנה ולבנות משוואה.

רמז לבחירת המשתנה בסעיף הבא.

לאחר שתעשו מספר פעולות מומלץ להגדיר כמשתנה את התא x בטבלה ולהגדיר בשתי צורות את התא המסומן ב y.

יש שתי דרכים שבהם ניתן לקבל “לפחות 4 מתוך 5”.

יש לחשב את ההסתברות לכל אחת מהדרכים ולחבר את ההסתברויות.

שימו לב שאת ההסתברות ל 5 מתוך 5 יש אפשרות לחשב בדרך קצרה יותר מברנולי.

זו הסתברות מותנית.

עלינו לחשב שתי הסתברויות.

• ההסתברות שלפחות משתתף אחד נבדק לקורונה
• לפחות 4 נבדקו (מתוך חמישה) נבדקו לקורונה (הסתברות זו חושבה בסעיף הקודם).

זו שאלה של ניסוח קשה.

צריך להבין זאת כך.

על מנת שבדיוק החמישי יהיה השני שנבדק לקורונה צריך ש:

• בדיוק 1 מתוך 4 הראשונים נבדק לקורונה.
• החמישי נבדק לקרונה.

ההסתברות המבוקשת היא מכפלת ההסתברויות הללו.

סעיף א

0.38

סעיף ב

0.33696

סעיף ג

0.34

סעיף ד

0.4

נתחיל לבנות את טבלת ההסתברויות שזה המבנה שלה:

ידוע כי יש פי 9 יותר תלמידים ממורים בבית הספר.

x  ההסתברות למורה.

9x ההסתברות לתלמיד.

x + 9x = 1

x = 0.1

לכן ההסתברות לתלמיד היא 0.9.
וההסתברות למורה היא 0.1.

ידוע כי 80% מהמורים נבדקו לגילוי קורונה.

לכן נשתמש בנוסחה להסתברות מותנית:

כלומר, ההסתברות לדגום מורה שנבדק לקורונה מכלל בית הספר הוא 0.08.

ונשלים את טור המורים בטבלה:

0.1 – 0.08 = 0.02

כך נראית הטבלה עכשיו:

בשאלה יש נתון נוסף:

13/15 מכלל הנבדקים לקורונה הם תלמידים.

לכן נגדיר:

x ההסתברות לדגום נבדק לקורונה.

13/15 מתכם הם תלמידים שנבדקו, ולכן גודלם הוא:

סה”כ	מורה	תלמיד
x	0.08		נבדק
	0.02		לא נבדק
	0.1	0.9	סה”כ

נבנה את המשוואה:

1.2 = 2x

x = 0.6

ועכשיו נוכל להשלים את הטבלה:

תשובה: ההסתברות לתלמיד שאינו נבדק היא 0.38.

ניסיונות מרובים, נשתמש בנוסחת ברנולי.

מספר הנסיונות – 5.

לפחות 4 זה 4 או 5 הצלחות.

5 הוא המקדם הבינומי של 4 הצלחות.

ההסתברות ל 4 נבדקי קורונה מתוך 5 היא:

p = 5 * 0.6⁴ * 0.4¹ = 0.2592

את ההסתברות להצליח 5 פעמים ניתן לחשב ללא ברנולי:

p₅ = 0.6⁵ = 0.07776

ההסתברות המבוקשת היא הסכום:

p₄ + p₅ = 0.2592 + 0.07776 = 0.33696

תשובה: ההסתברות לדגום לפחות 4 שנבדקו לקורונה היא  0.33696.

זו הסתברות מותנית.

עלינו לחשב את ההסתברות של לפחות 1.

ההסתברות ל 0 היא ההסתברות המשלימה ללפחות 1.

ההסתברות ל 0:

0.4⁵ = 0.01024

ההסתברות ללפחות 1:

p = 1 – 0.0024 = 0.98976

עלינו למצוא את ההסתברות של 0.33696 מתוך 0.98976.

תשובה: 0.34.

על מנת לחשב את הסתברות המותנית הזו עלינו לדעת שתי ההסתברויות:

1. ההסתברות ש 2 מתוך ה 5 נבדקו לקורונה.
2. ההסתברות ש 2 מתוך ה 5 נבדקו לקורונה וגם החמישי נבדק לקורונה.

נחשב את ההסתברות ש 2 מתוך ה 5 נבדקו לקורונה

המקדם הבינומי 10.

חישוב ההסתברות:

נחשב את ההסתברות ש 2 מתוך ה 5 נבדקו לקורונה וגם החמישי נבדק לקורונה.

על מנת שבדיוק החמישי יהיה השני שנבדק לקורונה מתוך ה 5 צריך ש:

• בדיוק 1 מתוך 4 הראשונים נבדק לקורונה.
• החמישי נבדק לקרונה.

ההסתברות המבוקשת היא מכפלת ההסתברויות הללו.

נחשב בעזרת ברנולי את ההסתברות שבדיוק 1 מתוך 4 נבדק לקורונה.

המקדם הבינומי 4.

נכפיל הסתברות זו ב 0.6, שזו ההסתברות שהחמישי שיבחר נבדק:

0.1536 * 0.6 = 0.09216

נחשב את ההסתברות המותנית  המבוקשת

כעת נשתמש בנוסחה של הסתברות מותנית:

p = 0.09216 / 0.2304 = 0.4

סעיף א,ב

הוכחה

סעיף ג

6.66

סעיף ד

1.3875

עלינו לזהות כי MA = MB וגם MA = MC על פי המשפט “שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה”

אנו לא יכולים להשתמש בתכונות משולש שווה שוקיים עד שנשלים צלעות וניצור את המשולשים שווה השוקיים.

כמו כן ביקשו את זווית BAC ולכן עלינו ליצור אותו.

משתי סיבות אלו נשלים את בניות העזר BA, AC.

כמו כן מכוון שעלינו למצוא זוויות נגדיר:

∠ABM = ß

מכאן ניתן להשלים זוויות במשולשים שווה שוקיים ולקבל את המבוקש.

השוויון המבוקש הוא:

4AM² = AC² + AB²

נשים לב שבסעיף הקודם הוכחנו משולש ישר זווית.
מה שאומר שכנראה בסעיף הנוכחי נשתמש בתכונות משולש ישר זווית.

נשים לב לדמיון שבין המשוואה המבוקשת ומשפט פיתגורס במשולש BAC:

BC² = AC² + AB²

מכוון ש AM = BM וגם AM = BM

ניתן להציב BC = BM + CM במשפט פיתגורס ולקבל את המשוואה:

4AM² = AC² + AB²

וכך נראה הפתרון המלא של סעיף ב.

נציב במשפט פיתגורס במשולש BAC:

BC² = AC² + AB²

ונקבל :

4AM² = AC² + AB²

מ.ש.ל

סעיף ג ניתן לפתרון בכמה דרכים.

בכל הדרכים עלינו למצוא ש:

BC = 10
ולכן:
AM = BM = MC = 5.

לאחר שעשינו את זה ניתן לפעול בשתי דרכים לפחות:.

1.להוכיח ΔOAB ∼ ΔMCA בעזרת העבודה שעשינו בסעיף א ובעזרת זווית בין משיק למיתר.
ואז בעזרת יחס הדמיון לחשב את אורכי הצלעות.
את הדמיון ניתן לזהות על ידי זה ששני המשולשים הם שווה שוקיים שזווית הראש שלהם היא 2ß.

2.בעזרת פונקציה טריגונומטרית לחשב את הזווית ABC ואז בעזרת
“זווית בין משיק למיתר”,
“זוויות מרכזית כפולה מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת”
ו- “משפט הקוסינוסים” ניתן למצוא את הרדיוס.

הפתרון שיוצג כאן הוא על פי הדרך הראשונה של דמיון משולשים.

ראשית, נמצא את אורך הישר MC:

כעת, נמצא כי המשולשים OAB ו-MAC דומים ונשתמש ביחס הדמיון למציאת הרדיוס.

מ.ש.ל

ראשית, נחשב את שטח המשולש OBM, בעזרת נוסחת חישוב שטח משולש.

שנית, נחשב את שטח משולש AMC. נשתמש בתכונת התיכון שהוא חוצה את המשולש לשני משולשים שווי שטח.

מ.ש.ל

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

d₁ = R / cosα

d₂ = R*tanα

d₃ = R / (sin(90 – 2α)*cosα) = R / (cos 2α*cosα)

סעיף ג

α = 30^o

להלן השרטוט הנתון בשאלה:

מ.ש.ל

ראשית, נוכיח כי OD ⊥ BC :

כעת, נוכיח כי סכום שתי זוויות נגדיות במעגל הוא 180^o :

מ.ש.ל

נתחיל עם מציאת d₁ :

כעת, נמצא את d₂ :

כעת, נמצא את d₃. בחלק זה נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ΔAOD , שנוסחתו:

כש- R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש

תשובה סופית:

d₁ = R / cosα

d₂ = R*tanα

d₃ = R / (sin(90 – 2α)*cosα) = R / (cos 2α*cosα)

מ.ש.ל

בסעיף זה דורשים:

d₂ / d₁ = d₁ / d₃

לכן נציב את הגדלים שמצאנו במשוואה למעלה:

כעת נסדר את המשוואה ונשתמש בזהות :

tanα = sinα / cosα

sinα = sin(90 – α)

מכאן יוצאות שתי משוואות:

α = 90 – 2α

180 – α = 90 – 2α

נתייחס קודם למשוואה השנייה:

180 – α = 90 – 2α

90 = -3α

פתרון לא רלוונטי- זווית לא יכולה להיות גודל שלילי.

פתרון המשוואה הראשונה:

α = 90 – 2α

3α = 90

α = 30

תשובה סופית: α = 30^o

על מנת להוכיח שפונקציה היא אי זוגית צריך להוכיח ש:
f (x) = f(-x)

כלומר מציבים x ו x- בפונקציה ורואים שיוצא שווה.

על מנת לזהות את הגרף המתאים רכזו את מה שמצאתם על שתי הפונקציות ובדקו מה מתאים להם

שימו לב במיוחד לנגזרות ותחומי החיוביות / שליליות של הנגזרות

פונקציה יורדת כאשר הנגזרת שלה שלילית.

פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת:

ניתן ללמוד על כך בדף אינטגרלים 5 יחידות.

בדקו אם זה אינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.

כמו כן אינטגרל של פונקציה אי זוגית מקיים:

f(x) = f(-x) זו פונקציה זוגית.

f(x) = – f(-x)  זו פונקציה אי זוגית.

הציבו x ו x-  בפונקציה k(x) ובדקו אם הפונקציה מתאימה לאחת משתי האפשרויות הללו.

סעיף א

עבור f:

1. x ≠ √2 , x ≠ -√2
2. x₁ = √2 , x₂ = – √2 , y=0
3. אין נקודות קיצון

עבור g:

1. x ≠ √2 , x ≠ -√2
2. x₁ = √2 , x₂ = – √2 , y=0
3. אין נקודות קיצון

סעיף ב1

f(x)

סעיף ב2

סעיף ג

תחום עלייה – x > 0
תחום ירידה – x < 0

סעיף ד1

0

סעיף ד2

0.5

סעיף ה

הפונקציה k(x) היא לא זוגית ולא אי זוגית.

נתחיל עם פתרון ארבעת הסעיפים עבור f(x).

סעיף א1

1. כדי לבדוק את תחום ההגדרה, נבדוק מתי המכנה מתאפס.
x² – 2 = 0

לפי נוסחת כפל מקוצר נקבל:
0 = (x – √2)(x + √2)
ולכן תחום ההגדרה הוא:
x ≠ √2 , x ≠ -√2

סעיף א2

האסימפטוטות האופקיות.

נמצא את הגבולות כאשר x שואף לאינסוף ולמינוס אינסוף:

לכן האסימפטוטה האופקית היא y = 0

אסימפטוטות האנכיות

נשים לב כי

x₁ = √2 , x₂ = – √2

מאפסים את המכנה אך לא את המונה, לכן אלו האסימפטוטות האנכיות שלנו

סעיף א3

למציאת נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס. יש לגזור את הפונקציה לפי נגזרת מנה, כאשר המכנה הוא פונקציה מורכבת.

השבר המייצג את הנגזרת מתאפס כאשר מונה השבר מתאפס

 – 2 – 3x² = 0
x² = – 2 / 3 < 0

מספר בריבוע הוא תמיד חיובי, לכן לשוויון זה אין פתרון. הנגזרת לא מתאפסת, לכן אין נקודות קיצון.

סעיף א4

פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת:

f ( x ) = – f ( x )

נציב x- בפונקציה:

כעת נבצע את סעיפים 1-4 על הפונקציה g(x).

סעיף א1

למציאת תחום ההגדרה, נבדוק אילו ערכי x מאפסים את המכנה:

x² – 2 = 0

לפי נוסחת כפל מקוצר נקבל:
0 = (x – √2)(x + √2)
ולכן תחום ההגדרה הוא:
x ≠ √2 , x ≠ -√2

סעיף א2

אסימפטוטות האופקיות:

נראה לאן הפונקציה שואפת באינסוף ובמינוס אינסוף.

לכן האסימפטוטה האופקית היא y = 0

אסימפטוטות האנכיות

הערכים:

x₁ = √2 , x₂ = -√2

מאפסים את המכנה אך לא את המונה, לכן אלו האסימפטוטות האנכיות שלנו

סעיף א3

למציאת חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס. נגזור את הפונקציה לפי נגזרת מנה, כאשר המכנה הוא פונקציה מורכבת.

השבר המייצג את הנגזרת שווה ל 0 כאשר מונה השבר שווה ל 0.

– 2 – 5x² = 0

x² = 2 / ( – 5) < 0

מספר בריבוע הוא תמיד חיובי, לכן לשוויון זה אין פתרון. הנגזרת לא מתאפסת, לכן אין נקודות קיצון.

סעיף א4

הוכחת אי זוגיות:

מצאנו כי:
g ( – x ) = g (x)
ולכן הפונקציה אי זוגית.

לצורך פתרון הסעיף, נרכז את התכונות שלמדנו על הפונקציות מסעיף קודם:
f(x):

תחום הגדרה: x ≠ √2 , x ≠ -√2

אסימפטוטה אנכית: x ≠ √2 , x ≠ -√2

אסימפטוטה אופקית: y = 0

הפונקציה היא אי זוגית בלי נקודות קיצון. נגזרתה:

תכונות עבור g(x):

תחום הגדרה: x ≠ √2 , x ≠ -√2

אסימפטוטה אנכית: x ≠ √2 , x ≠ – √2

אסימפטוטה אופקית: y = 0

הפונקציה היא אי זוגית בלי נקודות קיצון. נגזרתה:

נשים לב כי g ‘ (x) < 0 עבור כל x, מהסיבה הבאה:

המכנה הוא מספר כלשהו בחזקה זוגית, לכן תמיד חיובי.

במונה, 5x² הוא מספר חיובי. מספר שלילי פחות מספר חיובי תמיד יהיה מספר שלילי.

לכן הנגזרת היא מספר שלילי חלקי חיובי, לכן תמיד שלילית. מכך נסיק כי הפונקציה היא מונוטונית יורדת.

נשים לב כי לפונקציה הנתונה יש תחום עלייה, לכן היא לא יכולה להיות g (x).

לכן הגרף הנתון הוא של הפונקציה f(x). להלן סקיצת g(x):

הנגזרת של h(x) היא הפונקציה f(x), לכן כאשר f(x) חיובית, h(x) עולה וכאשר f(x) שלילית, h(x) יורדת.

מתוך השרטוט של f(x) המופיע בחוברת הבחינה אנו רואים כי:

בתחום x > 0 מתקיים: f(x) > 0 , לכן h(x) עולה

בתחום x < 0 מתקיים f(x) < 0 , לכן h(x) יורדת.

תשובה סופית: תחום עלייה – x > 0
תחום ירידה – x < 0

הוכחנו בסעיף א כי הפונקציה היא אי-זוגית.

פונקציה אי זוגית היא סימטרית ביחס לראשית הצירים. והאינטגרל שנוצר משני צדדי ראשית הצירים שווה והפוך בסימנו.

לכן האינטגרל מ 1- ל 1 שווה ל 0.

כמו כן הנוסחה הבאה נכונה לפונקציה אי זוגית.

מכיוון שהפונקציה היא סימטרית, נתבונן בנוסחה מסעיף קודם:

מכוון שהפונקציה סימטרית ביחס לראשית הצירים ניתן לכתוב:

השטח יהיה שווה לפעמיים האינטגרל על הפונקציה מ-0 עד 1.
נשים לב כי המונה הוא הנגזרת הפנימית של המכנה, לכן לחישוב האינטגרל נמצא את הפונקציה הקדומה של הפונקציה החיצונית בלבד, “ונתעלם” מכך שיש לפונקציה הזאת פונקציה פנימית.

לכן השטח הכלוא בין הפונקציה ובין הישרים x = 1 ו- x = – 1 הוא חצי.

הפונקציה k(x) היא לא זוגית ולא אי זוגית:
bבדוק האם ערך הפונקציה שווה עבור x ו x-.

עבור x

k (x) = f(x) + b

עבור x-

k(-x) = f(-x) + b = -f(x) + b

קיבלנו שני ערכים שונים ולכן הפונקציה לא זוגית.
אלו גם לא ערכים הפוכים בסימנם ולכן הפונקציה לא אי זוגית.

תשובה: הפונקציה k(x) היא לא זוגית ולא אי זוגית.

סעיף א

סעיף ב

פונקציה אי זוגית.

סעיף ג1

חיתוך עם ציר y – אין

חיתוך עם ציר x –

סעיף ג2

סעיף ד

סעיף ה1

סעיף ה2

אופקיות: אין

אנכיות:

סעיף ו1

סעיף ו2

a = 0.5

לתחום ההגדרה של הפונקציה ישנם שני תנאים: הראשון הוא שהמכנה לא יתאפס, והשני הוא שהביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי.

על מנת שהמכנה לא יתאפס צריך להתקיים:

x³ ≠ 0
x ≠ 0 זהו התנאים הראשון.

תנאי שני: על מנת שהביטוי בתוך השורש יהיה שונה מ 0 צריך להתקיים:

3x² – 4a ≥ 0  /:3

x² – 4a / 3 ≥ 0

כעת נשתמש בנוסחת כפל מקוצר

a² – b² = (a + b) (a – b)

ידוע כי 3x²-4a היא פרבולה מחייכת, לכן היא תראה כך:

ולכן פתרון אי-השוויון הזה הוא:

נשים לב כי x≠0 נכלל בתוך תחום אי- השוויון לכן לא צריך לציין אותו במיוחד, ותחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת
f ( x ) = f ( – x )

על מנת להוכיח כי הפונקציה אי-זוגית, נציב בפונקציה x- :

מצאנו כי f ( x ) = f ( – x ) – לכן הפונקציה אי זוגית.

חיתוך עם ציר y – אין, כי x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה.
חיתוך עם ציר x – נציב f(x) = 0

3x²-4a = 0

x² – 4a/3 = 0

לכן חיתוך עם ציר x:

תשובה סופית:
חיתוך עם ציר y – אין

חיתוך עם ציר x –

למציאת נקודות הקיצון נצטרך לגזור את הפונקציה ולהשוות לאפס. נגזור את הפונקציה כנגזרת של מנה, כאשר מונה הפונקציה הוא פונקציה מורכבת.

לשם נוחות, נגזור את המונה בנפרד כך שהנגזרת שלו תהיה מוכנה לגזירת הפונקציה:

זו נגזרת המונה, עכשיו נגזור את הפונקציה כולה:

3x⁴ – 9x⁴ + 12ax² =0

 – 6x⁴ + 12ax² = 0

6x² ( x² – 2a) = 0 –

– 6x² (x + √(2a)) (x – √(2a)) = 0

x₁ = 0 פתרון שמחוץ לתחום ההגדרה, לכן לא רלוונטי.

x₂ = √(2a) , x₃ = – √(2a) אלו שתי החשודות לנקודות קיצון.

כעת נבנה את טבלת התחומים כדי לבדוק אם אלו אכן נקודות קיצון ומה סוגן. יש לזכור בטבלה לבחון גם את נקודות קצה תחום ההגדרה, מכיוון שתחום ההגדרה כולל אותן (אי שוויון מסוג גדול-שווה):

		x = – √(2a)	x < – √(2a)	תחום
	x = – √(3a/2)		x = – √(4a)	x
				f ‘ ( x )
				f ( x )

כדי להקל על ההצבות, נפשט את ביטוי הנגזרת:

מכיוון שתוצאה של שורש ו- x4 היא תמיד אי-שלילית, נשים לב כי הביטוי שבסוגריים הוא היחיד שיכול להשפיע על שליליות/חיוביות הביטוי, לכן מספיק להציב את הערכים הרלוונטים רק בו.

כעת יש לבצע את ההצבות בביטוי. מכיוון שx מועלה בחזקה זוגית, נוכל להציב רק את הערכים החיובים ואותה תוצאה תצא גם עבור הערכים השליליים, בגלל ש:

a² = ( – a )²

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית(בגלל המינוס לפני השבר)

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית(בגלל המינוס לפני השבר)

כעת נשלים את הטבלה:

		x = – √(2a)	x < – √(2a)	תחום
	x = – √(3a/2)		x = – √(4a)	x
	חיובית		שלילית	f ‘ ( x )
מקסימום	עולה	מינימום	יורדת	f ( x )

מתכונת האי-זוגיות נמצא כי:

מתכונת האי-זוגיות נמצא כי:

סה”כ נקודות הקיצון לפי סוג הן:

ראשית, יש להבין איך נראה ביטוי הפונקציה g ( x ) :

הביטוי בתוך השורש חייב להיות חיובי (אסור לו להיות אפס בגלל שהוא במכנה), לכן נשתמש באי-השוויון מסעיף א, רק שבמקום “גדול-שווה” נשתמש באי-שוויון חריף(“גדול”), לכן תחום ההגדרה הוא:

נתחיל עם האסימפטוטה האופקית. נשאיף את x לאינסוף:

לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

למציאת ערכי x המאפסים את המכנה, נשתמש בשוויון מסעיף ג ‘ 1 :

3x² – 4a = 0

x² – 4a/3 = 0

ערכים אלו אינם מאפסים את המונה, לכן האסימפטוטות האנכיות הן:

ידוע כי שיפוע המשיק בנק’ קיצון הוא 0.
בנוסף אם בנק’ הקיצון הפנימיות של שתי הפונקציות יש משיק משותף אז יש להן את אותו ערך y בקיצון.

בנוסף, נשתמש בנתונים על הגבולות, האסימפטוטות ותחום ההגדרה שחישבנו בסעיף ה:

תחום הגדרה:

אסימפטוטות אנכיות:

אין אסימפטוטות אופקיות. גבולות באינסוף:

לכן סקיצת הפונקציה תיראה כך:

בשרטוט- הפונקציה הירוקה היא g(x) והאדומה היא f(x).

למציאת ערך a נשתמש בכך שערך ה-y של שתי הפונקציות בנקודות הקיצון הפנימיות שוות.

את נק’ הקיצון הפנימיות של f ( x ) מצאנו בסעיף ג 2 , לכן בסעיף זה נצטרך למצוא את אחת מנקודות הקיצון של g ( x ).

נשים לב כי יש נקודה ברביע הראשון וברביע השלישי. מכיוון שיש לנו צורך רק במשוואה אחת, נחפש רק את אחת הנקודות ונשתמש בנקודת הקיצון המתאימה של f ( x ) .

למציאת נקודות הקיצון של g, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס. הנגזרת היא נגזרת של מנה, כאשר המכנה הוא פונקציה מורכבת. לשם הנוחות, נחשב קודם את נגזרת המכנה בנפרד:

כעת נגזור את הפונקציה במלואה:

ונשווה לאפס למציאת נקודות קיצון:

3x² ( 2x² – 4a ) = 0

פתרון אחד יהיה:

x₁ = 0

מחוץ לתחום הגדרה, לכן לא נתייחס אליו.

2x² – 4a = 0    /:2

x² – 2a = 0

(x + √(2a) ) ( x – √(2a) ) = 0

x₂ = √(2a) , x₃ = – √(2a)

מכיוון שאנו יודעים מהסקיצה שיש שתי נקודות קיצון, ויש לנו רק שתי חשודות, אנו יודעים כי בשני ערכי x שיצאו לנו יש נקודות קיצון.

כעת נציב את אחד הערכים(נציב את החיובי לשם נוחות, אך אפשר להציב גם את השלילי) ב- g ( x ) , ונשווה את ערך הפונקציה לערך הפונקציה f ( x ) בנקודת הקיצון שנמצאת ברביע הראשון.

כזכור, נקודת הקיצון הפנימית ב- f ( x ) ברביע הראשון היא:

לכן המשוואה תהיה:

2a = 1 / 2a

4a² – 1 = 0

( 2a – 1  ) ( 2a + 1  ) = 0

a₁ = – 1 / 2 , a₂ = 1 /2

נתון כי a > 0 , לכן:

a = 1 / 2

סעיף א

סעיף ב

x = ( π – α ) / 2

סעיף ג

הוכחה

ראשית נשרטט סקיצה של המשולש ונתאר בה את הנתונים:

לצורך מציאת היקף המשולש נשתמש במשפט הסינוסים. תחילה נמצא את הזווית BCA :

סכום זוויות במשולש 180(π):

∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = π

∠BCA = π – x – α = π – ( x + α )

כעת הסקיצה עם הנתונים הידועים לנו תיראה כך:

במהלך ההצבה במשפט הסינוסים, נשתמש בזהות הבאה:

sin ( α ) = sin ( π – α ) –

ולכן:

sin ( π – ( x + α ) )= sin ( x + α )

הצבה במשפט הסינוסים:

הצלע AC:

הצלע AB:

נחשב את שלושת הצלעות יחד.

לצורף פתרון סעיף זה, נגדיר את הביטוי להיקף שמצאנו בסעיף קודם בתור פונקציה לפי x בעלת שני פרמטרים (a ו- α):

נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס:

מכוון ש α היא זווית במשולש השונה מ 0 או 180 אז sin α ≠ 0.
כמו כן נצמצם ב a.

cos ( x + α ) = – cos ( x ) = cos ( π – x )

מהמשוואה הזאת “יוצאות” שתי משוואות:

1. x + α = π – x

2x = π – α

x = ( π – α ) / 2

2. x + α = x – π

α = – π

בלתי אפשרי- בפתרון זה גודל הזווית הוא 180 מעלות, דבר שלא אפשרי במשולש.

לכן הפתרון הרלוונטי הוא :

x = ( π – α ) / 2

מצאנו נקודה חשודה לקיצון. נגזור ונבדוק את ערך הנגזרת השנייה בנקודה זו כדי לוודא שאכן מדובר בנק’ מקסימום:

(יש כאן עדיפות לנגזרת שנייה כי הנקודה החשודה כקיצון כוללת פרמטר).

נתון כי:

 0 < α < π

ולכן גם:

 0 < ( π + α ) / 2 < π

ולכן המונים והמכנים חיוביים.

ומכוון שיש מינוס לפני השברים שני השברים שליליים.

ולכן הנגזרת השנייה שלילית.

לכן הנקודה שמצאנו היא אכן נקודת מקסימום, וערך x עבורו היקף המשולש הוא מקסימלי הוא

( π – α ) / 2

המשולש שקיבלנו הוא משולש עם צלע וזווית מולה נתונים.

מצאנו כי ערך ה- x עבורו היקף המשולש הוא מקסימלי הוא

( π – α ) / 2

נמצא את גודל הזוות במשולש במקרה זה (נגדיר אותה כ y).

סכום זוויות במשולש הוא π.

α + ( π – α ) / 2 + y = π

y = π – α – π / 2 + α / 2 = ( π – α ) / 2

משולש בו יש שתי זוויות שוות, הוא משולש שווה שוקיים

לכן אם נתון אורך צלע ונתונה הזווית שמולה, המשולש בעל ההיקף הגדול ביותר יהיה שווה שוקיים.