בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 581 קיץ 2018 מועד ב

סעיף א

סדרת המקומות הזוגיים והאי זוגיים הן סדרות הנדסיות.

סעיף ב1

a₁ = – 1/c
a₂ = 1
a₃ = a₁*c = -1
a₄ = a₂*c = c
a₅ = -1*c = -c
a₆ = a₄*c = c²
a₇ = -c * c = -c²

סעיף ב2

S = – 1/c

סעיף ב3

הסכום של 2n-1 איברים עוקבים הוא

ולכן הוא אינו תלוי ב n.

סעיף ג1

מנת איברים עוקבים היא מספר קבוע, ולכן זו סדרה הנדסית.

סעיף ג2

יורדת כאשר c >1

סעיף ג3

ננסה למצוא את הקשר בין a_n+2 ל a_n.

מצאנו כי קיים יחס קבוע בין שני איברים המרוחקים שני מקומות אחד מהשני. לכן סדרת המקומות הזוגיים והאי זוגיים הן סדרות הנדסיות.
ההוכחה שעשינו תופסת לכל n, לא הגבלנו את ההוכחה ל n זוגי או אי זוגי.

נתון לנו

a₃ = a₁*c = -1
a₅ = -1*c = -c
a₇ = -c * c = -c²

נעבור לסדרת המקומות הזוגיים:

מכך ניתן למצוא את a₂

a₄ = a₂*c = c
a₆ = a₄*c = c²

לסיכום שבעת האיברים הם:

a₂ = 1
a₃ = a₁*c = -1
a₄ = a₂*c = c
a₅ = -1*c = -c
a₆ = a₄*c = c²
a₇ = -c * c = -c²

סכום שבעת האיברים הוא:

נחשב את סדרת המקומות הזוגיים ואת סדרת המקומות האי זוגיים ונחבר אותן.
בסדרת המקומות האי זוגיים n איברים.
בסדרת המקומות הזוגיים n-1 איברים.

הנוסחה לסכום סדרה הנדסית היא:

סכום המקומות האי זוגיים והזוגיים ביחד הוא:
(משמאל האי זוגיים, מימים הזוגיים)

נשים לב ש:

לכן נקבל:

ניצור במונה מכנה משותף של c.
לאחר מיכן נוציא מינוס מכנה משותף במכנה על על מנת שנוכל לצמצם.

מצאנו כי הסכום של 2n-1 איברים עוקבים הוא

ולכן הוא אינו תלוי ב n.

נציב את הנוסחה של a_n+1 אל הנוסחה של b_n ונקבל:

לכן b_n+1 שווה ל:

נבדוק מה היא מנת החלוקה של איברים עוקבים.

מצאנו כי מנת איברים עוקבים היא מספר קבוע, ולכן זו סדרה הנדסית.

נתון כי c > 0.
הסדרה תהיה סדרה יורדת כאשר

וזה קורה כאשר c >1 (זו התשובה לסעיף).

על מנת לחשב את סכום הסדרה עלינו למצוא את b₁.
נוסחת האיבר הכללי היא:

ולכן האיבר הראשון הוא:

נציב בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית ונקבל את התשובה:

סעיף א1

ההסתברות לקבל בדיוק 60 היא 0.421875

סעיף א2

ההסתברות לעבור את המבחן היא:
0.578125

סעיף ב

ההסתברות לעבור היא 4/9

סעיף ג

k = 2

עבור 60 נקודות
שחר צריך להצליח ב 1 מתוך 3 וזה מחושב בעזרת ברנולי.
מצאו את ההסתברות להצלחה בשאלה יחידה וחשבו בעזרת ברנולי.

עבור לעבור מבחן
צריך לחשב את ההסתברויות של הדרכים הנוספות לעבור

ההבדל מהסעיף הקודם הוא שכאן ההסתברות להצליח בניסיון בודד היא שונה.

1.בנו בעזרת משתנהביטוי המגדיר את הסיכוי להצלחה בניסיון בודד במצבה של הדס.

2.בנו משוואה המתארת שתי הצלחות ושתי כשלונות.
שתי ההסתברויות הללו שוות.

על מנת ששחר יצבור בדיוק 60 נקודות עליו לענות נכונה על שאלה אחת מתוך 3.
ההסתברות לענות נכונה היא 0.25.

לכן על פי ברנולי ההסתברות ל 1 מתוך 3 היא:
p = 3 * 0.25 * 0.75² = 0.421875

תשובה: ההסתברות לקבל בדיוק 60 היא 0.421875.

על מנת לעבור את המבחן עליו לענות על שאלה אחת / שתי שאלות / שלוש שאלות.
כלומר, כל האפשרויות טובות חוץ מ 0 תשובות נכונות.

לכן נחשב את ההסתברות בעזרת הסתברות משלימה.

ההסתברות ל 0 תשובות נכונות היא:
p =  0.75³ = 0.421875

לכן ההסתברות לעבור את המבחן היא:
0.578125 = 0.421875 – 1

שאלה זו דומה לסעיף א. רק שההסתברות לענות נכונה היא 1/3.

נחשב בעזרת ברנולי:
p = 3 * (1/3) * (2/3)² = 4/9

תשובה: ההסתברות לעבור היא 4/9

ההסתברות לענות על תשובה אחת בצורה נכונה היא:

ההסתברות לענות על תשובה בצורה לא נכונה היא:

המשמעות של 60 נקודות היא שאף תשובה לא תהיה נכונה.
המשמעות של 100 נקודות היא ששתי התשובות יהיו נכונות.
שתי ההסתברויות הללו שוות.
לכן המשוואה היא:

מכוון ששתי ההסתברויות הן גדלים חיוביים ניתן להוציא שורש בשני צדדי המשוואה ולקבל:

k = 2

דרך שנייה לפתרון
ההסתברות להצליח היא:

בעזרת ברנולי נחשב את ההסתברות להצליח 2 פעמים או 0 פעמים.

והמשוואה תהיה שאלו הסתברויות שוות.

ההסתברות להצליח 0 פעמים על פי ברנולי:

ההסתברות להצליח 2 פעמים על פי ברנולי:

והמשוואה היא:

והמשך הפתרון הוא כפי שפתרנו קודם.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

1/3

סעיף ג1

הוכחה

סעיף ג2

AM / AD = √0.625

נעביר את BP, תיכון במשולש

תחילה נחשב את שטח BLDK:

נוסיף את הצלע LK.

נוכיח שהמרובע BLDK הוא דלתון ונחשב את שטחו לפי נוסחת שטח דלתון:

S_BLDK = 0.5 * BD * LK

מצאנו בסעיף הקודם כי BD = 2x

נמצא את LK.

נציב גודל זה בנוסחת השטח:

S_BLDK = 0.5 * BD * LK = 0.5 * x * 2x = x²

כעת נמצא את שטח המשולש ΔABC:

BP = BD + DP = 2x + x = 3x

S_ΔABC = 0.5 * BP * PC = 0.5 * 3x * 2x = 3x

לכן יחס השטחים הוא:

לפי סכום זוויות במשולש 180° (ΔADC):

∠DAC + ∠DCA + ∠ADC = 180  / – ∠ADC

נציב את הגדלים הידועים לנו:

2a = 90  / : 2

a = 45°

לכן נשתמש במשפט פיתגורס ב-ΔALD:

AD² + LD² = AL²

AD = 2DL  / : 2

DL = 0.5AD

AD² + (0.5AD²) = AL²

AL² = 1.25AD²

כל הרדיוסים במעגל שווים, לכן AM = ML. בנוסף, הוכחנו:

∠AML = 90°

לכן לפי משפט פיתגורס בΔAML:

AM² + AL² = AL²

2AM² = 1.25AD²

AM² / AD² = 0.5 * 1.25
AM / AD = √0.625

סעיף א

יחס השטחים

סעיף ב

20.993

סעיף ג

r = 0.1655a

חלק ראשון- נמצא את זוויות המשולשים:

נתון כי AB = AC. מול צלעות שוות במשולש(ΔABC) מונחות זוויות שוות, לכן:

∠ABC = ∠ACB = 2β

נתון כי BE חוצה זווית, לכן:

∠ABD = ∠DBC = 0.5∠ABC = β

נסתכל על המשולש ΔDBC. לפי סכום זוויות במשולש 180°:

∠DBC + ∠DCB +∠BDC = 180°

∠BDC = 180 – ∠DBC – ∠DCB = 180 – β – 2β = 180 – 3β

סכום זוויות צמודות 180°, לכן:

∠ADB + ∠CDB = 180°

∠ADB = 180 – ∠CDB = 180 – (180 – 3β) = 3β

לפי סכום זוויות במשולש 180°, במשולש ΔABD:

∠DAB + ∠ADB + ∠DBA = 180°

∠DAB = 180 – ∠ADB – ∠DBA = 180 – 3β – β = 180 – 4β

זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר הן שוות, לכן:

∠ACB = ∠AEB = 2β

לפי סכום זוויות במשולש 180°(ΔAEB):

∠AED + ∠BAD + ∠ABD + ∠EAD = 180°

∠EAD = 180 – ∠AED – ∠BAD – ∠ABD = 180 – 2β – (180 – 4β) – β = β

נסכם את כל הזוויות שמצאנו בשרטוט:

חלק שני הגדרת צלעות.
נגדיר מספר צלעות באמצעות הצלע AB וכך נחשב את השטחים.
מי שרוצה יכול להגדיר AB = x וכך לבנות משוואות.

שטח משולש ABC הוא:

_SΔABC = 0.5 * AB * AC * sin∠BAC

נתון כי AB = AC , לכן:

S_ΔABC = 0.5AB * AB * sin (180 – 4β) = 0.5AB² * sin 4β

במשולש ADB על פי משפט הסינוסים

AE = AB*sin β / sin 2β

במשולש ADB על פי משפט הסינוסים

AD = AB sin β / sin 3β

היחס בין שטחי המשולשים הוא:

BE = R נתון
במשולש ABE על פי משפט הסינוסים

BE = 2R * sin 3β
2R * sin 3β = R
sin 3β = 0.5
3β = 30
או 3β = 150
β = 10
או
β = 50
מכוון שסכום שתי זוויות הבסיס במשולש ABC הוא 4β התשובה השנייה נפסלת.
β = 10

נציב בנוסחה שקיבלנו בסעיף א ונמצא את היחס.

הרעיון של הפתרון הוא שניתן לבטא את CP באמצעות a.
ואז במשולש CPO נבטא את OP שהוא הרדיוס באמצעות a.

O היא מרכז המעגל החסום במשולש ונקודת המפגש של חוצה הזווית.
OC, OB חוצה זווית.
OP רדיוס המעגל החסום המאונך למשיק BC.

משולש BOC הוא משולש שווה שוקיים BO = CO – משולש שבו זוויות הבסיס שוות הוא משולש שווה שוקיים.
BP = CP במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון
CP = 0.5BC (משוואה 1).

במשולש BAC על פי משפט הקוסינוסים:

BC² = AB² + AC² – 2 * AB * AC * cos∠BAC
BC² = a² + a² – 2a²*cos 140 = 2a² + 1.53a² = 3.53a²
BC = 1.878a
נשתמש במשוואה 1 ונקבל:
CP = 0.5BC = 0.5 * 1.878a = 0.939a

במשולש OCP

tg∠OCP = OP / PC
tg 10 = r / 0.939a
r = tg 10 * 0.939a = 0.1655a

סעיף א

x ≠ 0.

סעיף ב

0,1/3   0,0.5    0,1

סעיף ג

2,1  מקסימום.
1-,  0.66  מינימום.
0.4,1  מקסימום
1-,  0.28  מקסימום.

סעיף ד

y= 0

סעיף ה

סעיף ו

טענה אחת נכונה.

הפונקציה מוגדרת כאשר המכנה שונה מ 0.
x ≠ 0.

תחום ההגדרה:
x ≥ 2/7
x ≥ 0.28
בנקודות החיתוך עם ציר ה x
f (x) = 0
sin (π/x) = 0
π/x = πk
x = π / πt
x = 1 /k

נבדוק אלו נקודות חיתוך נמצאות בתחום ההגדרה:
k = 0
x = 1/0 לא מוגדר.
k = 1
x = 1/1 = 1
k = 2
x = 1/2 = 0.5
k = 3
x = 1/3
k = 4
x = 1/4 כבר לא בתחום ההגדרה.

מכאן ככול שערכי k עולים ערכי x יורדים והם לא נמצאים בתחום ההגדרה.
לכן נקודות החיתוך הם:
0,1/3   0,0.5    0,1

(f (x) = sin (π/x
(f ‘ (x) = cos (π/x) * (-1/x²

אפשרות אחת היא:

זה לא קורה אף פעם.
אפשרות שנייה היא:
cos (π/x) = 0
π/x = 0.5π + πK

נזכור כי k יכול לקבל ערכים שליליים כל עוד מתקבל x ≥ 0.28
נבדוק עבור:
x = 1/(0.5 -1) = -2
זה מחוץ לתחום לתחום ההגדרה.
ככול שערכי k יקטנו ערכי x ישארו שליליים ולכן מחוץ לתחום ההגדרה.

נבדוק עבור k ≥ 0
k = 0
x = 2
k =1
x = 0.66
k = 2
x = 0.4
k =3
x = 2/7
עבור k >3 נקבל ערכי x שאינם בתחום ההגדרה.

לא נביא כאן את הדרך במלואה.

1. אבל נמצא את סוג הקיצון בעזרת טבלה.
2. ונמצא את ערכי ה y על ידי הצבה בפונקציה ונקבל.

נקודות הקיצון הם אלו:
2,1  מקסימום.
1-,  0.66  מינימום.
0.4,1  מקסימום
1-,  0.28  מקסימום.

(f (x) = sin (π/x
כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה אינה מוגדרת.
כאשר כאשר x שואף לאינסוף נקבל:
f (x) = sin (π/x) ≈ sin 0 = 0
כלומר y= 0 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף.

הנקודות המסומנות הם נקודות הקיצון.

נבדוק את נקודות החיתוך שמצאנו
x = 1
x = 0.5
x = 1/3
x = 1/4
המרחק בין שתי הנקודות הראשונות הוא 0.5 לעומת זאת המרחק בין הנקודה השניה לשלישית הוא 1/6 ובין השלישית לרביעית הוא 1/12.
אנו רואים כי המרחק הולך וקטן.
ומכוון שנתון לנו שיש טענה אחת נכונה אנו יכולים לקבוע שטענה אחת נכונה.

מי שרוצה הוכחה כללית יותר יכול לכתוב:
נקודות החיתוך מתקבלות על ידי הצבת מספרים שלמים במקום K במשוואה:

ככול ש k גדול יותר הנקודה מתקרבת ל x = 0.
המרחק בין שתי נקודות סמוכות שונות מתקבל על ידי

ומכוון שכך טענה אחת נכונה.

סעיף א

= S

סעיף ב

a= 0.25 מקסימלית

עלינו לבצע מספר חישובים מקדימים:

על פי הנתון הנקודה C היא:
(C (a,0

הנקודה A.
על פי נוסחת שטח מלבן אנו יודעים כי ערך ה y בנקודה A הוא:
y_A = 4/a
(A (0,4/a

הנקודה B
לנקודה B יש את אותו ערך y כמו לנקודה A ומכוון שהיא נמצאת על הפונקציה
f (x) = 1/x²
ניתן למצוא את ערך ה x בנקודה B.

לנקודה D יש את אותו ערך x כמו C.
ואותו ערך y כמו A.
(D (a, 1/a

חישוב השטח
השטח המבוקש הוא סכום השטחים של:
המלבן הנוצר על ידי הנקודות A,B וראשית הצירים.
האינטגרל של הפונקציה מהנקודה B ועד C.

שטח המלבן
S = 4/a * 0.5√a
S = 2/ √a

האינטגרל:

נחבר את שני השטחים:

נשווה את הנגזרת ל 0.
a ≥ 0.25  ולכן גם a ≠ 0.
נכפיל את שני צדדי המשוואה ב a² ונקבל

נבדוק האם זו נקודת מקסימום על ידי בדיקת ערכי הנגזרת בסביבת הנקודה.
עבור a < 0.25 הפונקציה לא מוגדרת ולכן לא ניתן לבדוק בתחום זה.
נבדוק את ערך הנגזרת ב a = 0.2

הפונקציה יורדת, לכן a= 0.25 זו נקודת מקסימום.