בגרות 471 קיץ 2024

סעיף א

68.44%

סעיף ב1

17.11%

סעיף ב2

7.71 ס”מ

סעיף ג

2.4 ס”מ

נמצא את ציון התקן ואת ההסתברות המתאימה להיות מתחת ל-12 ס”מ בטבלה.

לפי הנוסחה, ציון התקן:

כאשר Z ציון התקן, X הערך אותו אנחנו בודקים, X¯ הערך הממוצע ו-S סטיית התקן.

נציב את הנתונים ונקבל ציון תקן:

Z = 0.48

נסתכל בטבלה מה ההסתברות המתאימה לערכים מתחת ל-12 ס”מ, כלומר אחוז המלפפונים הנארזים באריזות רגילות.

מצאנו שאחוז המלפופנים הנארזים באריזות רגילות הוא 68.44%.

בגרף ההתפלגות הנורמלית זה ייראה כך:

רבע מהמלפפונים שאורכם קטן מ-12 ס”מ הם קצרים במיוחד.

מצאנו שאחוז המלפופנים הקטנים מ-12 ס”מ הוא 68.44%, אז רבע מהם:

P = 0.25 * 68.44% = 17.11%

מצאנו את אחוז המלפפונים הקצרים במיוחד, והוא 17.11%.

נמצא את אורך המלפפון הארוך ביותר בין הקצרים במיוחד.

בסעיף הקודם מצאנו את אחוז המלפפונים הקצרים במיוחד, והוא 17.11%.

לכן 82.89% מהמלפפונים ארוכים יותר מהארוך ביותר בין הקצרים במיוחד.

יהיה מדובר באורך הקטן מהממוצע, לכן אנחנו מחפשים ציון תקן להסתברות שגדולים מהערך ולא קטנים ממנו.

ציון התקן יהיה שלילי.

ציון התקן המתאים להסתברות זו הוא 0.95- .

נציב בנוסחה של ציון תקן כדי למצוא את הערך:

– 2.85 = X – 10.56

X = 7.71

מצאנו את אורך המלפפון הארוך ביותר מבין הקצרים במיוחד, ואורכו 7.71 ס”מ.

במשלוח חדש עם עדיין התפלגות נורמלית, נתון:

50% מהמלפפונים היו קצרים מ-11.5 ס”מ כלומר 11.5 ס”מ הוא הממוצע.

(כי גם 50% ארוכים מ-11.5 ס”מ, או כי ציון התקן של 50% הוא 0).

בנוסף, 12.5% מהמלפפונים ארוכים יותר מ-14.26 ס”מ,

לכן 87.5% מהמלפפונים קצרים יותר מ-14.26 ס”מ.

נמצא את ציון התקן המתאים בטבלה:

ציון התקן המתאים להסתברות זו הוא 1.15.

נציב את הנתונים בנוסחה כדי למצוא את סטיית התקן של המשלוח החדש:

S = 2.4

מצאנו את סטיית התקן של המשלוח החדש, והוא 2.4 ס”מ.

סעיף א

סעיף ב1

X ממוצע 2

Y ממוצע 2500

סעיף ב2

0.986

סעיף ג

y = 570x + 1360

סעיף ד1

סעיף ד2

נתונים לנו 4 דגימות, כאשר x הוא מספר הילדים לזוג ו-y הוא ההוצאה החודשית של הזוג על דלק.

נערוך את הנתונים בטבלה:

נערוך את הנתונים בדיאגרמת פיזור:

נמצא את הממוצע של מספר הילדים לזוג , והוצאת הדלק הממוצעת לזוג.

מספר הילדים הממוצע לזוג הוא 2, והוצאת הדלק החודשית הממוצעת לזוג היא 2500.

נתון כי סטיית התקן של y היא-

יש לנו את סטיות התקן של שני המשתנים, נציב ונחשב את מקדם המתאם.

נחשב את המונה בנפרד:

(0 – 2)(1500 – 2500) = 2000

(1 – 2)(1800 – 2500) = 700

(3 – 2)(2900 – 2500) = 400

(4 – 2)(3800- 2500) = 2600

נציב בנוסחה למקדם מתאם:

r = 0.986

מצאנו את מקדם המתאם, והוא 0.986.

נמצא את משוואת ישר הרגרסיה לפי הנוסחה.

שיפוע הישר:

אז משוואת הישר:

y – 2500 = 570(x – 2)

y = 570x – 1140 + 2500

y = 570x + 1360

נכפיל ב-1.06 ונראה אם הערך השתנה:

סטיית התקן של y גדלה גם ב-6%.

באותו אופן כמו בסעיף ד1, נגדיל את y והממוצע שלו ב-6% ונראה אם r מקדם המתאם משתנה:

מקדם המתאם נשאר זהה, כי העלייה ב-6% מתבטלת במונה ובמכנה מהשינוי בסטיית התקן של y , כפי שמצאנו בסעיף ד2.

סעיף א1

0.8

סעיף א2

0.07

סעיף ב

0.9

סעיף ג

365

יש בשאלה 2 קריטריונים לדירות- פונות לפארק/ פונות לכביש, ומשופצות/ לא משופצות.

נשתמש בטבלה להצגת הנתונים.

ההסתברות שדירה פונה לכיוון הפארק היא 0.75.

יש פי 4 דירות משופצות מאשר לא משופצות-

היחס בין לא משופץ למשופץ הוא 1:4, נגדיר את ההסתברות לבחור דירה לא משופצת x.

אז מתקיים:

x + 4x = 1

5x = 1

x = 0.2

נציג את הנתונים עד כה בטבלה:

אז ההסתברות לבחור דירה משופצת היא-

P = 1 – 0.2 = 0.8

מצאנו את ההסתברות לכך שדירה משופצת – 0.8.

נתון כי 28% מהדירות הפונות לכביש הן משופצות.

נמצא את ההסתברות לדירה הפונה לכביש וגם משופצת באמצעות הסתברות מותנית:

מצאנו את ההסתברות לבחור דירה שגם משופצת וגם פונה לכביש, והיא 0.07 .

נמצא מה ההסתברות לבחור דירה מבין הלא משופצות שפונה לכיוון הכביש.

הטבלה המעודכנת שלנו:

ההסתברות לדירה לא משופצת שגם פונה לכביש היא:

P = 0.25 – 0.07 = 0.18

מבקשים ממנו למצוא הסתברות מותנית- דירה הפונה לכביש בתנאי שהיא לא משופצת:

נציב את הידוע לנו:

מצאנו את ההסתברות לבחור דירה מבין הלא משופצות שפונה לכיוון הכביש, והיא 0.9 .

נתון כעת כי 35 דירות במתחם גם פונות לכיוון הכביש וגם משופצות.
נמצא את כמות הדירות במתחם:

X – הדירות במתחם

P( פונה לכביש ומשופצת) * X = כמות הדירות הפונות לכביש ומשופצות

0.07 * X = 35

X = 500

אז יש 500 דירות במתחם.

נמצא את ההסתברות לבחור דירה הפונה לפארק וגם משופצת מהטבלה:

P = 0.8 – 0.07 = 0.73

אז כמות הדירות האלה:

0.73 * 500 = 365

365 דירות במתחם משופצות ופונות לכיוון הפארק.

סעיף א

B (0 , 6)

סעיף ב

C ( -6, 0)

סעיף ג

∠CBO = 45°

סעיף ד1

y = 0.5x + 3

סעיף ד2

∠CHB = 116.565°

סעיף ה

S_CBE = 3

נתון הטרפז ABCD ישר זווית (זווית D ישרה).

נמצא את הנקודה B.

נתונה לנו משוואת הישר של AD:

AD : y = – 2x + 16

D זווית ישרה בטרפז, לכן הישרים AD ו-AB מאונכים, והשיפועים שלהם מקיימים:

m_AD * m_AB = -1

נציב:  m_AD = 2 ממשוואת הישר

-2 * m_AB = -1

m_AB = 0.5

E על הישר AB לכן נמצא את משוואה הישר AB באמצעותה:

E (2 , 7)

y – y_E = m_AB (x – x_E)

y – 7 = 0.5 (x – 2)

y = 0.5x + 6

הנקודה B היא החיתוך של AB עם ציר ה-y, לכן בנקודה B.

y = 0.5 * 0 + 6 = 6

B (0 , 6)

נתון: BC = √72

C נמצאת על ציר ה x לכן y = 0.

B (0 , 6)

נציב את B,C במשוואת המרחק ונפתור:

BC² = (x_C – x_B)² + (y_C – y_B)²

(√72) ² = (x_C – 0)² + (0 – 6)²

72 = x_C² + 6²

x_C² = 36

x_C = 6

x_C = – 6

הפתרון השני הוא המתאים כי C על הצד השלילי של איקס.

C ( -6, 0)

חישוב זווית CBO

הזווית שייכת למשולש ישר זווית BOC, לכן נחשב את אורכי צלעות המשולש.

נחשב את האורך של CO

CO = 0  – (-6) = 6

נחשב את האורך של BO:

BO = 6  – 0 = 6

BO = CO = 6

לכן משולש COB ישר זווית ושווה שוקיים.

∠BCO = ∠CBO

2 * ∠CBO = 90°

∠CBO = 45°

נמצא את משוואת הישר CD.

AB, CD מקבילים (נתון), לכן השיפועים שלהם שווים:

m_AB = m_CD = 0.5

נציב במשוואת הישר עם הנקודה C שמצאנו:

C ( -6, 0)

y – y_C = m_CD (x – x_C)

y = 0.5x + 3

נמצא את גודל הזווית CHB.

שיעורי הנקודה H, נקודת החיתוך עם ציר ה-y של הישר CD:

y = 0.5x + 3

y = 0.5* 0 + 3

y = 3

H (0, 3)

אז אורך הקטע HO = 3, ואורך הקטע CO = 6.

CHO משולש ישר זווית, נמצא את הזווית CHO באמצעות טנגנס:

tan(∠CHO) = CO / HO

tan(∠CHO) = 2

∠CHO = 63.43°

הזווית הנדרשת CHB היא הצמודה שלה:

∠CHO = 63.43°

∠CHB + ∠CHO = 180°

∠CHB = 180° – 63.43°

∠CHB = 116.565°

נמצא את השטח של המשולש CBE.

∠CHB = ∠HBE

 זווית מתחלפות בין הישרים המקבילים AB,CD.

בנוסף מצאנו בסעיף ג-

∠CBO = 45°

∠CBE = 45° + 116.565°

∠CBE = 161.565°

אורך הקטע BE:

B(0,6)

E(2,7)

BE² = (x_E – x_B)² + (y_E – y_B)²

BE² = (2 – 0)² + (7 – 6)²

BE² = 5

BE = -√5

BE = √5

מכוון שמרחק הוא גודל חיובי התשובה השלילית נפסלת.

נציב בנוסחה הטריגונומטרית לשטח משולש:

S_CBE = 0.5 * √5 * √72 * sin(161.565°)

S_CBE = 3

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

A (-6 , 2)

B (0, 14)

סעיף ג

C ( -18, 8)

סעיף ד1

הוכחה

סעיף ד2

4

נתונה משוואת המעגל:

(x + 3)² + (y – 8)² = 45

לכן שיעורי מרכז המעגל M:

M (-3, 8)

הנקודה B חיתוך של המעגל וציר ה-y, נציב x = 0 ונמצא את נקודות החיתוך:

(0 + 3)² + (y_B – 8)² = 45

9 + (y_B – 8)² = 45

(y_B – 8)² = 36

y_B – 8 = ± 6

נתון: y_B > 8

אז ההפרש ביניהם חיובי:

y_B – 8 = + 6

y_B = 14

מצאנו את הנקודה B:

B (0, 14)

נמצא את הנקודה A.

M מרכז המעגל אז מרכז הקטע AB שהוא קוטר.

x_M = 0.5 (x_A + x_B)

-3 = 0.5 x_A

x_A = – 6

y_M = 0.5 (y_A + y_B )

8 = 0.5 (y_A + 14)

16 = y_A + 14

y_A = 2

מצאנו את הנקודה A:

A (-6 , 2)

כדי למצוא את שיעורי הנקודה C, נמצא את שיעורי הנקודה M.

M אמצע קטע AB (מרכז מעגל במרכז הקוטר):

מצאנו את הנקודה M:

M ( -3, 8)

נתון כי הקטע CM מקביל לציר האיקס, כלומר בעל שיפוע 0. לכן לנקודה M ו-C יש את אותו שיעור ה-y.

אז שיעור ה-y של C הוא 8.

נמצא את הישר AC, כי C החיתוך בינו לבין CM.

בסעיף א הראינו בהוכחה כי AB⊥AC, נשתמש בכך כדי למצוא את שיפוע AC:

m_AC * m_AB = – 1

m_AC * 2 = – 1

m_AC = – 0.5

נמצא את משוואת הישר AC:

y – y_A = m_AC (x – x_A)

y – 2 = -0.5 (x + 6)

y = -0.5x – 1

נציב את שיעור ה-y של C שמצאנו-

y_C = -0.5x_C – 1

8 = -0.5x_C – 1

9 = -0.5x_C

x_C = – 18

מצאנו את שיעורי הנקודה C:

C ( -18, 8)

נתון: E אמצע קטע CM, F אמצע קטע DM

נמצא את יחס הדמיון בין המשולשים EMF, CMD:

היחס בין שטחים של משולשים דומים הוא יחס הדמיון ביניהם, בריבוע:

סעיף א1

x ≠ ± 3

סעיף א2

y =6

x = ± 3

סעיף ב

max (0, 4)

סעיף ג

(0, 4)

(± √6, 0)

סעיף ד

סעיף ה

גרף 4

סעיף ו1

לא נכון

סעיף ו2

נכון

נתונה הפונקציה:

נמצא את תחום ההגדרה:

x² – 9 ≠ 0

x² ≠ 9

x ≠ ± 3

נמצא את האסימפטוטות של הפונקציה.

נקודות אי-ההגדרה שמצאנו בסעיף הקודם לא מאפסות מונה,

לכן אסימפטוטות אנכיות:

x = ± 3

נחפש אסימפטוטה אופקית:

איקס בריבוע בכל הפעמים שהוא מופיע בפונקציה, לכן הגבול באינסוף ומינוס אינסוף אותו דבר.

= 2 + 4 = 6

אז האסימפטוטה האופקית:

y =6

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

נקודת הקיצון-

f ‘ (x) = 0

– 36x = 0

x = 0

המכנה חיובי לכל x בתחום, לכן הסימן משתנה לפי המונה.

f ‘ (- 4) = 0.852 = (+)

f ‘ (- 1) = 0.36 = (+)

f ‘ (1) = – 0.5625 = (-)

f ‘ (4) = – 5.76 = (-)

f (0) = 4

מצאנו את נקודת הקיצון של הפונקציה:

max (0, 4)

מצאנו את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y:

(0, 4)

נמצא את החיתוך עם ציר x:

f (x) = 0

2x² = – 4x² + 36

6x² = 36

x² = 6

x = ± √6

נקודות החיתוך:

(0, 4)

(± √6, 0)

מצאנו עד כה:

ת.ה.-

x ≠ ± 3

אסימפטוטות-

y =6

x = ± 3

קיצון-

max (0, 4)

חיתוך-

(0, 4)

(± √6, 0)

תחומי עלייה וירידה נסיק מהטבלה בסעיף ב’ –

עלייה:

x < -3

-3 < x < 0

ירידה:

x > 3

0 < x < 3

נשרטט את גרף הפונקציה:

נמצא איזה גרף מתאים לנגזרת.

מצאנו נקודת חיתוך עם ציר האיקס של הנגזרת (נקודות הקיצון של הפונקציה) בנקודה x = 0.

מהתבוננות בגרפים זה פוסל את גרף 2 ו-3.

בנוסף מצאנו את תחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת (עלייה וירידה של הפונקציה)-

חיובית:

x < -3

-3 < x < 0

שלילית:

x > 3

0 < x < 3

לכן גרף 1 נפסל גם כן.

אז הגרף המתאים לנגזרת הפונקציה הוא גרף 4.

“בכל נקודה בתחום x > 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f (x) הוא חיובי.”

מצאנו שהפונקציה יורדת בתחום זה, לכן שיפוע המשיק בתחום זה שלילי.

ההיגד לא נכון.

“בכל נקודה בתחום x < – 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f (x) הוא חיובי.”

מצאנו שהפונקציה עולה בתחום זה, לכן שיפוע המשיק בתחום זה חיובי.

ההיגד נכון.

סעיף א

b = 0.5

סעיף ב

2.5 ≥ x

סעיף ג

(0 , √5)

סעיף ד

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

סעיף ה

סעיף ו

X_max = – 10

נתונה הפונקציה:

b פרמטר חיובי.

נתון שהפונקציה חותכת את ציר האיקס בנקודה (0, 10-).

נציב ונמצא את b:

f (-10) = 0

√25 = 10b

5 = 10b

b = 0.5

אז הפונקציה היא:

תחום ההגדרה שלה לפי השורש:

5 – 2x ≥ 0

5 ≥ 2x

2.5 ≥ x

נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y:

f (0) = √5

(0 , √5)

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

f ‘ (x) = 0

4 = 5 – 2x

2x = 1

x = 0.5

מצאנו נקודה חשודה לקיצון פנימי אחת, ובנוסף יהיה לנו קיצון בקצה תחום ההגדרה.

f ‘ (0) = 0.052 = (+)

f ‘ (1) = -0.077 = (-)

f (0.5) = 2.25

f (2.5) = 1.25

מצאנו את נקודות הקיצון:

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

נסכם את מה שמצאנו על הפונקציה:

תחום הגדרה-

2.5 ≥ x

חיתוך צירים-

(-10, 0)

(0 , √5)

קיצון-

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

נשרטט את גרף הפונקציה:

נתונה פונקציה g(x) המקיימת:

g ‘ (x) = – f (x)

נמצא את שיעור האיקס של נקודת הקיצון הפנימית של g(x) וסוגה.

נקודת הקיצון:

שיעור האיקס של נקודת הקיצון הפנימית של g(x) הוא שיעור נקודת החיתוך של f (x) עם ציר האיקס.

g ‘ (x) = – f (x) = 0

f (x) = 0

x = -10

בנקודה זו הפונקציה f (x) מחליפה סימן משלילית לחיובית.

לכן הפונקציה ( f (x) – ) ההפוכה תחליף סימן מחיובית לשלילית.

הנגזרת g ‘ (x) מחליפה בקיצון מחיוביות לשליליות, לכן g (x) מחליפה בין עלייה לירידה.

זו נקודת מקסימום.

X_max = – 10

סעיף א

סעיף ב

t = 4

סעיף ג

22.42

נתונה הפונקציה:

ונקודות A, B, ו-C:

נסמן X של B ב-t,

t > 0.

אז שיעור ה-y של B:

מצאנו את הנקודה B:

נתון גם שהישר BC מקביל לציר ה-X, לכן יש ל-B ו-C את אותו שיעור ה-y.

הפונקציה זוגית:

לכן שיעור ה-x של C יהיה מינוס השיעור של B:

מצאנו את שתי הנקודות הנדרשות.

נמצא את t עבורו השטח של משולש ABC מינימלי.

ABC משולש שווה שוקיים (AB=AC), המרחק בין A לישר BC הוא הגובה והמרחק בין B ל-C הוא הבסיס.

הגובה:

והבסיס:

BC = t – (- t) = 2t

נגדיר את הפונקציה של השטח, כתלות ב-t:

נגזור כדי למצוא את ערך t המינימלי:

t² = 16

t = – 4

נפסל כי נתון t > 0, אז-

t = 4

נוודא שאכן מינימלי:

S ‘ (3) = -2.33 = (-)

S ‘ (5) = 1.08 = (+)

מצאנו t עבורו השטח מינימלי, והוא 4.

נמצא את היקף המשולש עבור t = 4:

נציב את t בשיעורי הנקודות-

A (0, – 2)

B (4, 4)

C (- 4, 4)

הצלע BC:

BC = 2t = 8

נמצא את AC/AB (שווים כפי שהסברנו בסעיף ב):

AB² = (X_B – X_A )² + (Y_B – Y_A )²

AB² = 4² + 6²

AB² = 52

AB = √52

אז היקף המשולש:

P_ABC = 8 + √52 + √52 = 22.42

מצאנו את היקף המשולש, והוא 22.42.