פתרון בגרות 471 חורף 2023

סעיף א 1

79.59 מטר

סעיף א 2

309.12 מטר

סעיף ב

S_n = 3750 • (1.02ⁿ – 1)

סעיף ג

לא.

סעיף ד

78.05 מטרים

מדובר בסדרה הנדסית משום שנתון שהמרחק שיוסי רץ גדל בכל דקה החל מהדקה השנייה פי מספר קבוע.

a₁ = 75

q = 1.02

a₄ = a₁ • q³

a₄ = 75 • 1.02³

a₄ = 79.59

יוסי רץ 79.59 מטר בדקה הרביעית.

נחשב את סכום ארבעת האיברים הראשונים:

המרחק הכולל שיוסי רץ בארבע דקות הראשונות הוא 309.12 מטר

נחשב את סכום 25 האיברים הראשונים:

לפי החשוב הוא יעבור מרחק של 2402.27 מטרים שהוא מרחק הקטן מ2500 מטרים ולכן הוא לא יצליח.

נציב את הנתונים בסכום סדרה הנדסית על מנת למצוא את a₁:

המרחק הקצר ביותר שעליו לעבור בדקה הראשונה הוא 78.05 מטרים.

סעיף א

40 ק”ג

סעיף ב

S = ק”ג 10.99

סעיף ג

26 עצים ≈

סעיף ד

5 עצים ≈

בהתפלגות נורמלית החציון והממוצע מתלכדים ולכן החציון הוא 40 ק”ג

סטיית התקן היא 10.99 ק”ג

על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית ההסתברות לפי Z = 1.36 היא 0.913 אבל מדובר בהסתברות להניב פחות מ55 ק”ג דובדבנים

ולכן כדי לחשב את ההסתברות להניב יותר מ55 ק”ג דובדבנים נחשב את ההסתברות המשלימה:

1 – 0.913 = 0.087

נכפול את ההסתברות במספר העצים הנתון:

 0.087 • 300 ≈ 26

לכן בעבור 26 עצים בקירוב מתבצע סבב קטיף נוסף.

נתון שבשנה מסוימת ירד ממוצע העצים ב20% לעומת שנה רגילה ולכן נחשב את הממוצע החדש:

40 • 0.8 = 32

נציב:

על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית ההסתברות לפי Z = 2.09 היא 0.9817 אבל מדובר בהסתברות להניב פחות מ55 ק”ג דובדבנים

ולכן כדי לחשב את ההסתברות להניב יותר מ55 ק”ג דובדבנים נחשב את ההסתברות המשלימה:

1 – 0.9817 = 0.0183

נכפול את ההסתברות במספר העצים הנתון:

0.0183 • 300 ≈ 5

לכן בעבור 5 עצים בקירוב מתבצע סבב קטיף נוסף.

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

x = 9

סעיף ד

קטנה

בהוצאה הראשונה יש 36 מטבעות.

בהוצאה השנייה 35 מטבעות.

ההסתברות המבוקשת היא שיצאו

פעמיים שני שקלים.

או פעמיים חמישה שקלים.

או פעמיים 10 שקלים.

נחבר את ההסתברויות.

P (שניים זהים) =  

זו הסתברות מותנית.

ההסתברות לשניים זהים היא 13/35.

כדי שהסכום יהיה גבוה מ 5 צריך לקבל:

פעמיים 5:

או פעמיים 10:

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

לאחר ההוספה הסכום הכולל של המטבעות הוא 36 + x לכן המכנה השתנה.

מתוכם 12 מטבעות של 5 שקלים.

נבנה משוואה לפי ההסתברות החדשה להוציא פעמיים חמישה שקלים ללא החזרה = 1/15

תשובה: x = 9.

נחשב את ההסתברות החדשה להוציא שני מטבעות זהים ונבדוק האם היא קטנה מההסתברות הקודמת

ולכן ההסתברות קטנה.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב 1

OB = 6

CD = 15

סעיף ב 2

C (16,15)

D (16,0)

סעיף ג 1

∠BAC = 68.2º

סעיף ג 2

∠ACD = 55.5º

סעיף ד

לא.

נסמן:

OB = 2t , CD = 5t

נמצא את נקודה B, נקודת החיתוך עם ציר ה-x על ידי הצבת y = 0 במשוואת AB הנתונה:

B (6,0)

OB = 6 – 0 = 6

CD = 5 • 3 = 15

נמצא את משוואת הישר BC:

ה-y של הנקודה C הוא 15 משום שDC = 15

לכן נציב y = 15 במשוואת BC על מנת למצוא את ערך ה-x של הנקודה C:

C (16,15)

CD מאונך לציר ה-x ולכן ה-x של C וה-x של D שווים

D (16,0)

נמצא את AB ואת BC על מנת שנוכל לחשב את זווית BAC:

BD = 16 – 6 = 10

משפט פיתגורס במשולש BDC:

10² + 15² = BC²

325 = BC2

 נפסל – BC = -5√13

BC = 5√13

נמצא את הנקודה A הנמצאת על ציר ה-y על ידי הצבת x=0 במשוואת AB:

A (0,4)

נחשב את אורך AB:

A (0,4) , B(6,0)

נחשב את הזווית BAC לפי tan במשולש CAB:

על מנת למצוא את זוית ACD נחשב את הזוויות ACB ו-BCD ונחבר ביניהן.

(º180 סכום זווית במשולש) ∠ACB = 180º – 90º – 68.2º = 21.8º

נמצא את זווית BCD על ידי tan במשולש BCD:

∠ACD = 33.7º + 21.8º = 55.5º

על מנת שמרובע יהיה בר חסימה במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות צריך להיות 180º

∠CDB + ∠BAC = 90º + 68.2º = 158.2º ≠ 180º

ולכן לא ניתן לחסום את המרובע ABDC במעגל.

סעיף א 1

הסבר

סעיף א 2

סעיף ב 1

סעיף ב 2

סעיף ג 1

סעיף ג 2 

סעיף ג 3

סעיף ד

נתון שהמעגל משיק לציר ה-x בנקודה E, רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה ולכן EM מאונך לציר ה-x

A נמצאת על המשך הישר EM ולכן AM גם מאונך לציר ה-x, ישר המאונך לציר ה-x יקביל לציר ה-y ולכן AM מקביל לציר ה-y.

סעיפים 1-2 בטבלה מסעיף א2

סעיפים 1-7 בטבלה מסעיפים א2 ו-ב1

נתון M (3,5) והוכחנו שME מקביל לציר ה-y ולכן ME = 5.

ME הוא גם רדיוס המעגל ולכן R = 5.

משוואת המעגל:

(x – 3)² + (y – 5)² = 5²

(x – 3)² + (y – 5)² = 25

על מנת למצוא את הנקודות B ו-C הנמצאות על ציר ה-y נציב x = 0 במשוואת המעגל:

(0 – 3)² + (y – 5)² = 25

9 + y² – 10y + 25 = 25

y² – 10y + 9 = 0

y = 9 , y = 1

B (0,1) , C (0,9)

נמצא את משוואת AB:

ה-x של A הוא 3 משום שהוכחנו שAM מקביל לציר ה-y

נציב x = 3 במשוואת AB:

A (3, -3)

AM = 5 + 3 = 8

הגובה לצלע AM הוא 3 (AM מקביל לציר ה-x ולכן AM = BE = 3 – 0 = 3)

שטח המקבילית ABCM:

8 • 3 = 24

סעיף א 1

כל x

סעיף א 2

y = 1

סעיף ב

(0,1) , (-1,0) , (-4,0)

סעיף ג

min (-2 , -0.25) , max (2 , 2.25)

סעיף ד

סעיף ה

גרף 3

סעיף ו

2

x² + 4 ≠ 0

x² ≠ -4

אין פתרון ולכן תחום ההגדרה כל x

אסימפטוטה אנכית: אין כי תחום ההגדרה כל x

אסימפטוטה אופקית:

כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף המכנה ישאוף לאינסוף לכן 5 חלקי מספר השואף לאינסוף יהיה שווה ל-0.

נמצא חיתוך עם ציר x על ידי הצבת y = 0 בפונקציה:

נמצא חיתוך עם ציר y על ידי הצבת x = 0 בפונקציה:

נגזור את הפונקציה:

נשווה ל-0, שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0:

הנקודות החשודות לקיצון הן x = 2, -2

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-3) = -25

f ‘ (0) = 20

f ‘ (3) = -25

נציב את ערכי ה-x בפונקציה בעזרת המחשבון על מנת למצוא את ערכי ה-y:

f (2) = 2.25

f (-2) = -0.25

min (-2 , -0.25) , max (2 , 2.25)

max (2, 2.25) , min (-2, -0.25) , (-1,0) , (-4,0) , (0,1)

נתון: g (x) = 2 • f(x)

כלומר כל ערכי ה-y של הפונקציה f (x) יוכפלו פי 2 וערכי ה-x לא ישתנו.

הפונקציה f (x) יורדת בתחום x < -2 ו- x > 2 ולכן g (x) יורדת באותו חום

ולכן הנגזרת g'(x) תהיה שלילית בתחום x < -2 ו- x > 2

הפונקציה f (x) עולה בתחום 2>x-   -2<x

ולכן g (x) יורדת בתחום זה.

לכן גרף 3 מתאר את גרף פונקציית הנגזרת g'(x).

סעיף א

x ≥ -5

סעיף ב

(0 , 0) , (0 , 5 -)

סעיף ג

min (- 5 , 0) , max (- 4 , 0) , min (0 , 0)

סעיף ד

סעיף ה

c = 12 או c = -20

4x + 20 ≥ 0

4x ≥ -20

x ≥ -5

חיתוך עם ציר x:

(0 , 0) , (0 , 5 -)

חיתוך עם ציר y:

(0 , 0)

שבר שווה ל-0 כאשר מונה השבר שווה ל-0:

x = -5 היא נקודת קצה שצריך לבדוק.

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = 0 , x = – 4 , x = – 5:

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-4.5) = 22.5

f ‘ (-3) = -30

f ‘ (1) = 50

נציב את ערך ה-x של נקודות הקיצון בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y:

f (-5) = 0

f (0) = 0

min (- 5 , 0) , max (- 4 , 0) , min (0 , 0)

min (- 5 , 0) , max (- 4 , 32) , min (0 , 0)

min (- 5 , 0) , max (- 4 , 32) , min (0 , 0)

הישר y = 12 ישיק לאחת מנקודות הקיצון משום ששיפועו 0 וגם שיפוע הפונקציה בנקודת הקיצון.

לכן צריך לעלות את הפונקציה 12 יחידות כדי שהוא ישיק לנקודות המינימום

min (- 5 , 0)  , min (0 , 0)

או להוריד אותה 20 יחידות כדי שישיק לנקודת המקסימום.

max (- 4 , 32)

ולכן:

c = 12 או c = -20

סעיף א 1

עלייה:

-3 < x < 3

ירידה:

x < -3 , x > 3

סעיף א 2

x = 3 max

x = – 3 min

סעיף ב

גרף 3

סעיף ג

לא

סעיף ד

x = 1 min

x = 7 max

כאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת, כאשר הנגזרת חיובית הפונקציה עולה.

עלייה:

-3 < x < 3

ירידה:

x < -3 , x > 3

בנקודות החיתוך עם ציר ה-x יש לפונקציה נקודות קיצון.

כלומר יש לפונקציה קיצון ב-x = 3 , x=-3

לפי תחומי העליה והירידה שמצאנו בסעיף הקודם נקבע את סוג הקיצון:

x = 3 max

x = – 3 min

גרף 3 מתאר את גרף הפונקציה.

בסעיף הקודם קבענו:

x = 3 max

x = – 3 min

ולכן בתחום השלילי של ציר ה-x יש נקודת קיצון מסוג מינימום ובתחום החיובי של ציר ה-x יש נקודת קיצון מסוג מקסימום

והגרף היחיד שמתאים לכך הוא גרף 3.

S₁ = S₂ משום ש f (x) עוברת דרך ראשית הצירים וערכי ה-x של נקודות הקיצון נגדיים אחד לשני.

וכאשר נחשב את האינטגרל ברציפות נקבל אפס משום שאחד מהשטחים מתחת לציר ה-x והשטח השני מעל לציר ה-x והם שווים לכן יאפסו אחד את השני

בחישוב רציף. לכן על מנת לקבל את השטחים צריך לחשב כל שטח באינטגרל נפרד ולאחר מכן לחבר ביניהם.

לכן הם לא שווים זה לזה.

נתון g (x) = f (x – 4)

כלומר g (x) מתקבלת על ידי הזזה אנכית של 4 יחידות ימינה.

לכן סוג הקיצון נשמר וצריך רק להוסיף 4 יחידות לכל אחד מערכי הקיצון של f (x).

x = -3 + 4

x = 1 min

x = 3 + 4

x = 7 max