בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 482 מועד חורף 2017

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

a_n= 4n-1

סעיף ג

סכום האיברים הוא 1008.

a_n+1 = a_n-2n+3
b_n= a_n + n²

הוכחה ש b_n היא סדרה חשבונית.
b_n+1= a_n+1 + (n+1)²
b_n+1= a_n-2n+3+ n²+2n+1

b_n = a_n-2n+3+ n²+2n+1 – (a_n + n²)- b_n+1 = 4
קיבלנו כי ההפרש בין שני איברים עוקבים בסדרה b_n הוא מספר קבוע ולכן זו סדרה חשבונית.

a₃=2

עלינו למצוא את b₁ על מנת לבצע את החישוב.
b₃ = 2 +3²=11
b₁=11-4-4=3
a_n = a₁+ (n-1)d
a_n = 3+ (n-1)4=3 +4n-4=4n-1

a_n= 4n-1 – תשובה.

בסדרת האברים האי זוגיים b₁=3.
d=2*4=8.
n=16

S_n = (2a₁ + (n-1)d)*0.5n
S_n = (6+ (16-1)8)*8
1008 = 126 * 8 = (6 + (15 + 8))*8
תשובה: סכום האיברים הוא 1008.

סעיף א

אורך האלכסון הראשי הוא 12 ס”מ.

סעיף ב

הזווית היא 68.198 מעלות.

סעיף ג

זווית הבסיס של פאה צדדית היא 73.620 מעלות.

נגדיר את אורך צלע בסיס הריבוע כ AB=X.
על פי משפט פיתגורס במשולש ישר זוויות ABC:
AC²=X²+X²
AC²=2X²
AC=√2 X
SO = 1.25 AC= 1.25 √2 X
נפח הפירמידה הוא:

xᶟ=610
x=8.48
AC=√2 X =√2 8.48=12
תשובה: אורך האלכסון הראשי הוא 12 ס”מ.

הזווית המבוקשת היא SAO=a
AO= AC:2=6
SO=1.25 12=15
tg a =15:6=2.5
a=68.198
תשובה: הזוויות היא 68.198 מעלות.

נמצא את SA תוך שימוש במשולש SAO
Sin 68.198=15: SA
SA=15 : Sin 68.198 = 16.155
SA=SB – זו פירמידה ישרה.
הזוויות המבוקשת היא SBA=b . נחשב אותה על פי משפט הקוסינוסים במשולש SBA
SA²=SB² + AB² – 2*SB*AB*COS b

תשובה: זווית הבסיס של פאה צדדית היא 73.620 מעלות (יתכן שיצא לכם מספר מעט שונה בגלל עיגולים לאורך הדרך).

סעיף א

a=1

סעיף ב

x= ₶/6 – על פי הגרף זו נקודת מקסימום.
x= 5₶/6 – על פי הגרף זו נקודת מינימום.

סעיף ג

3 משיקים המקבילים לציר X.

f(x)=acos x + 0.5sin 2x +1
נקודת המפגש של הישר והפונקציה היא x= -0.5₶
ערך ה y של הפונקציה והישר בנקודה זו הוא:
f((-0.5₶)=acos (-0.5 ₶)+ 0.5sin (-₶) +1 = 1
נקודת המפגש היא ( -0.5₶, 1)
נחשב את השטח שיוצרת הפונקציה:

שטח המשולש שנוצר על ידי הישר עם ציר ה x הוא:
S=(0.5₶ * 1):2=0.25₶
נחסר את השטחים ונשווה אותם לנתון:
a-0.5+0.5₶- 0.25₶=0.25₶ + 0.5
a=1
תשובה: a=1.

f(x)= cos x + 0.5sin 2x +1
F'(x) =-sin x + cos 2x= 1- 2sin²x –sinx=0
2sin²x+sin x-1=0
נציב sin x=t.
2t²+t-1=0
t= 0.5 או t=-1.
Sin x =0.5

בתחום ההגדרה הפתרונות הם:

Sin x = -1
x=-0.5₶ + 360k
בתחום ההגדרה הפתרון הוא x=-0.5₶.
אך אנו רואים שאין נקודת קיצון כאשר X שלילי (אלא נקודת פיתול).
x= ₶/6 – על פי הגרף זו נקודת מקסימום.
x= 5₶/6 – על פי הגרף זו נקודת מינימום.

לפונקציה 3 נקודות בהם השיפוע הוא 0 לכן יש לה 3 משיקים המקבילים לציר X.

סעיף א

c=1

סעיף ב

x≠1

סעיף ג

min (2,1)

סעיף ד

0.5e-1

השאלה כוללת גם פרמטר וקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת.

סעיף א

על פי גרף הנגזרת ניתן לראות כי כאשר x=2 הנגזרת שווה ל 0. נציב זאת:

תשובה: c=1.

הפונקציה מוגדרת כאשר x≠1 – כי אז המכנה שונה מ 0.

אנו יודעים כי נקודת הקיצון מתקבלת כאשר x=2.
בגרף אנו רואים כי הנגזרת יורדת בתחום

ועולה לאחר מיכן. לכן זו נקודת מינימום.
נמצא את ערך ה y כאשר x=2.

נקודת הקיצון היא מינימום ב (2,1).

f(3)- f(2) = 0.5e-1
(וזו התשובה).

סעיף א

x>0

סעיף ב

(e,-1) min

סעיף ג

(e²,0), (1,0)

סעיף ד

סעיף ה

x>e²

סעיף ו

x=1 max
x=e² min

F(x) = (lnx)² – 2ln x

תחום ההגדרה הוא x>0.

נשווה את הנגזרת ל 0.
יש לנו שני מכפלה של שני ביטויים שעל מנת שהמכפלה תהיה שווה ל 0 לפחות אחד מהביטויים צריך להיות שווה ל 0.

Ln x -1=0
Ln x =1
x=e
(f'(x) =(2/x) *(lnx-1
הביטוי

חיובי בכול תחום ההגדרה. לכן מה שקובע את סימן הנגזרת הוא הביטוי ln x -1.
כאשר x>e הביטוי והנגזרת חיוביים.
כאשר

הביטוי והנגזרת שליליים.
לכן x=e זו נקודת מינימום.

נמצא את ערך הפונקציה בנקודה x = e.
F(e) = (ln e)² – 2ln e= 1²-2= -1
תשובה: e,-1 מינימום.

נציב f (x) = 0.
lnx)² – 2ln x=0)
ln x(ln (x) -2)=0
lnx = 0
x=1
או
ln (x)-2=0
ln x=2
x=e²
(e²,0), (1,0) – חיתוך עם ציר ה X.

סקיצה של הפונקציה

אנו צריכים שגרף הפונקציה יהיה חיובי וגם הפונקציה תעלה. זה קורה כאשר x>e².

נקודות הקיצון מתקבלות כאשר f(x) חותכת את ציר ה x.
כאשר x=1 הפונקציה עוברת מחיוביות לשליליות לכן זו נקודת מקסימום.
כאשר x=e² הפונקציה עוברת משליליות לחיוביות ולכן זו נקודת מינימום.