בדף זה פתרון בגרות 482 חורף 2024.
את החומר ניתן ללמוד ב:
סדרות
כמות המחשבים שיוצרה בכל שבוע גדלה במספר קבוע לכן כמויות הייצור הן סדרה חשבונית.
נזהה את האיברים בסדרה.
כמות המחשבים שנמכרו היא סדרה הנדסית כי נתון שבכל חודש כמות המחשבים שנמכרו הייתה גדולה פי מספר קבוע מכמות המחשבים שנמכרו בחודש שלפניו.
נזהה את איברי הסדרה.
טריגונומטריה במרחב
זה סעיף שלרוב דורש היכרות מוקדמת וקשה לחשוב על דרך הפתרון שלו ללא הכנה מראש.
1.מבקשים למצוא את SO – ולרוב זה אומר שצריך למצוא משולש ישר זווית ש SO הוא צלע בו.
2.המשולש שהכי הגיוני ליצור זה את משולש SOM.
3.נזהה את התכונה המיוחדת של SO.
גובה פירמידה מלבנית מגיע אל נקודת מפגש אלכסוני המלבן.
אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.
לכן AO = OC
גם BSC הוא משולש שווה שוקיים (כי זו פירמידה ישרה) ולכן BM = MC.
OM יוצא מאמצע AC ומגיע לאמצע CB ולכן OM הוא קטע אמצעים ושווה למחצית AB.
OM =0.5AB = 6.
משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית SOM:
הגובה SO הוא 3√6 יח’
הזווית בין הישר PM לבין המישור ABCD היא הזווית בין הישר להיטל על המישור וההיטל הוא OM.
נסתכל על המשולש POM.
הזווית בין הישר PM לבין המישור ABCD היא הזווית בין הישר להיטל על המישור וההיטל הוא OM.
נתון שהנקודה P היא אמצע גובה הפירמידה SO ולכן 3√PO = SP = 3.
נמצא את הזווית על ידי tan במשולש ישר זווית POM:
זווית PMO היא 40.89°.
1.יש נתון חדש “נתון כי הזווית שבין המקצוע הצדדי SC לבין הבסיס ABCD היא 52 “
אז נשרטט את הנתון בשרטוט.
2.שואלים על נפח הפירמידה.
מה חסר לנו כדי לחשב את נפח הפירמידה?
BC שיאפשר לחשב את הבסיס.
הסדר שבו נמצא את הנתונים בסעיף זה יהיה:
OC ⇒ AC ⇒ BC
כדי לחשב את נפח הפירמידה אנו צריכים את:
הגובה – ידוע לנו (SO).
שטח המלבן – אנו יודעים צלע אחת AB.
ועלינו למצוא דרך לחשב אורך הצלע השנייה.
עלינו למצוא את BC.
כדי למצוא את BC נשים לב שנתנו לנו נתון חדש:
“נתון כי הזווית שבין המקצוע הצדדי SC לבין הבסיס ABCD היא 52 “
הסדר שבו נמצא את הנתונים בסעיף זה יהיה:
OC ⇒ AC ⇒ BC
על מנת לחשב את נפח הפירמידה PABCD נצטרך לחשב קודם את שטח המלבן ABCD.
נמצא את OC על ידי tan במשולש ישר זווית SOC:
צלע OC היא 8.12 יח’
זווית B היא זווית ישרה משום שבמלבן כל הזוויות ישרות.
נמצא את BC על ידי משפט פיתגורס במשולש ישר זווית ABC:
נחשב את שטח המלבן ABCD:
נחשב את נפח הפירמידה PABCD:
שטח הפירמידה הוא 227.39 יחידות נפח.
בקובייה כל הצלעות שוות, נסמן את צלע הקובייה בa ולכן נפח הקובייה יהיה a3.
נבנה משוואה:
ולכן צלע הריבוע היא 6.1 יח’
טריגונומטרית
f(x) = cos(2x) + 6sin(x) + a
בתחום:
0 ≤ x ≤ 2π
הישר y = 6 נמצא מעל הפונקציה.
כך נראה השטח המבוקש:
נסמן את השטח המדובר בגרף:
נפתור את האינטגרל לפי פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה:
השטח הוא 1.85 יח”ר.
מעריכית
f(x) לעומת f ‘ (x) היא שכאשר ל f(x) יש קיצון
הגרף של f ‘ (x) צריך לשנות סימן
(לעבור מחיוביות לשליליות ולהיפך).
התבוננו בגרף ובדקו על פי כלל זה מי היא הנגזרת.
גרף 1 מתאר את פונקציית הנגזרת.
כי כאשר לגרף 2 אנו רואים את גרף 1 חותך את ציר האיקס כלומר השיפוע משנה סימן וכך מתנהג גרף הנגזרת.
בנוסף, כאשר גרף 2 עולה, גרף 1 חיובי ולהיפך.
נשים לב שגרף הפונקציה נתון לנו ושאמרו “לקבוע את סוגן בעזרת גרף”.
נגזור את הפונקציה על מנת למצוא את נקודות הקיצון:
f(x) = (x – 4)2•ex – 3:
f ‘ (x) = 2(x – 4)•ex – 3 + (x – 4)2•ex – 3
נשווה את הנגזרת ל-0:
0 = 2(x-4)•ex-3 + (x-4)2•ex-3
נוציא גורם משותף:
ex-3(x-4)(2+x-4) = 0
ex-3(x-4)(x-2) = 0
נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:
ex-3 = 0
אין פתרון
x-4 = 0
x = 4
x-2 = 0
x = 2
מצאנו שתי נקודות חשודות כקיצון ובגרף יש שתי נקודות קיצון.
לכן שתי הנקודות החשודות הן קיצון.
בגרף נראה כי x = 2 היא מקסימום ואילו x = 4 היא מינימום.
נציב בפונקציה המקורית את שיעורי ה-x על מנת למצוא את שיעורי ה-y:
f(2) = (2-4)2 • e2-3
1-f (2) = 4e
(2,4e-1)
f (4) = 0 – מצאנו בסעיף הקודם
(4,0)
נקודות הקיצון הן:
(2,4e-1) max
(4,0) min
השטח המבוקש הוא השטח שנוצא על ידי שתי נקודות החיתוך שהם גם נקודות הקיצון של הפונקציה f(x).
נחשב את השטח המוגבל על ידי הנגזרת וציר ה-x באמצעות אינטגרל:
השטח המוגבל הוא 4e-1.
כאשר אנחנו מכפילים פונקציה במינוס אנחנו הופכים אותה.
ולכן g(x) = – f ‘ (x) תראה כמו f ‘ (x) רק הפוכה.
והשטח המבוקש הוא השטח המסומן.
סעיף א
התכונה העיקרית שבעזרתה מבדילים בין גרפים של f(x) לעומת f ‘ (x) היא שכאשר ל f(x) יש קיצון הגרף של f ‘ (x) צריך לשנות סימן (לעבור מחיוביות לשליליות ולהיפך).
ולכן הגרף השחור הוא הנגזרת של הגרף האדום.
סעיף ב
f(x) = (x – 4)2•ex – 3:
הפונקציה הזו מוגדרת לכל x.
כדי למצוא חיתוך עם הצירים.
נציב y = 0
0 = (x-4)2•ex-3
ונקבל שני גורמים שצריך להשוות ל 0.
נציב x = 0
f(0) = (0-4)2 • e0-3
3-f(0) = 16e
כדי למצוא קיצון
f(x) = (x – 4)2•ex – 3
נגזור על פי נגזרת מכפלה.
הערה זו אומנם פונקציה מורכבת אבל הנגזרת הפנימית שווה ל 1 ולכן זו נגזרת מכפלה רגילה.
f ‘ (x) = 2(x-4)•ex-3 + (x-4)2•ex-3
נשווה את הנגזרת ל-0:
0 = 2(x-4)•ex-3 + (x-4)2•ex-3
בפונקציה מעריכית מכוון שהנגזרת היא גם הפונקציה בנגזרת מכפלה וגם בנגזרת מנה נוצר מכנה משותף.
ex-3(x-4)(2+x-4) = 0
ועל מנת לפתור נשווה את כל אחד מהגורמים ל 0.
סעיף ג
מבקשים מאיתנו:
ועלינו לזכור שכאשר זה אינטגרל מסוים (בטווח מסוים) הפתרון הוא:
סעיף ד
g(x) = – f(x)
אלו שתי פונקציות סימטריות ביחס לציר ה x ולכן אם השטח המוגבל של אחת הפונקציות הוא t.
אז השטח בין שתי הפונקציות הוא 2t.
לוגריתמית
הפונקציה היא שבר.
שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.
המונה הוא:
3x² = 0
x = 0
אבל x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה לכן הפונקציה לא חותכת את ציר האיקס.
x = e-0.5
מאפס את המכנה.
אבל הוא לא מאפס את המונה.
לכן x = e-0.5 הוא אסימפטוטה אנכית.
x = 0
עבור ערך זה המונה שואף ל 0
ואילו המכנה ל מינוס אינסוף.
לכן הפונקציה כולה שואפת למספר 0 וזו לא אסימפטוטה.
(זו נקודת חור, (0,0) אבל אין חובה שתכתבו זאת בבחינה)
הערה
בניסוח השאלה הקלו קצת וכתבו לנו “מצאו את משוואת האסימפטוטה” בלשון יחיד.
נגזור את הפונקציה:
נשווה את הנגזרת ל-0:
שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.
0 = 12xln(x)
נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:
12x = 0
x = 0
לא בתחום הגדרה.
ln(x) = 0
x = e0
x = 1
הנקודה החשודה לקיצון היא x = 1:
כמו כן נקודת אי ההגדרה היא x = e-0.5
| 2 | x = 1 | 0.8 | x = e-0.5 | 0.5 | x = 0 | x |
| ↑ | min | ↓ | — | ↓ | — | f (x) |
| + | 0 | – | — | – | — | f ‘ (x) |
נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:
f ‘ (0.5) = -27.87
f ‘ (0.8) = -6.987
f ‘ (2) = 2.92
נציב x = 1 בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y:
נקודת הקיצון היא:
(1,3) min