פתרון בגרות 482 קיץ 2023

a_n = 4n – 6

נציב n = 1.

נתון:

a_n = 4n – 6

נציב n = 1.

a₁ = 4•1 – 6

a₁ = -2

כדי להוכיח שסדרה חשבונית נוכיח:

a_n – a_n-1 

שווה למספר

על מנת להוכיח שהסדרה היא חשבונית נראה כי בין כל שני אברים סמוכים בסדרה יש הפרש קבוע:

נתון:

a_n = 4n – 6

נמצא את האיבר שלפניו:

a_{n – 1} = 4(n-1) – 6

a_n-1 = 4n – 4 – 6

a_n-1 = 4n – 10

נחסר בניהם:

a_n – a_n-1 =

4n – 6 – (4n – 10) =

4n – 6 – 4n + 10 = a_n – a_n-1

4 = a_n – a_n-1 

מצאנו כי בין כל שני איברים סמוכים בסדרה יש הפרש קבוע שהוא 4 כלומר d = 4.

מבקשים שנביע את הסכום לכן נציב בנוסחת סכום.

a₁ = -2

n = k

d = 4

נציב בנוסחא למציאת סכום סדרה חשבונית:

סכום k האיברים הראשונים הוא S_k = 2k² – 4k

אפשרות ראשונה:

מצאנו כי כאשר n = k הסכום הוא:

S_k = 2k² – 4k

על מנת למצוא את הסכום עבור 2k נציב 2k בכל מקום שרשום k.

S_2k= 2*(2k)² – 4* 2k

S_2k = 2 * 4k² – 8k

S_2k = 8k² – 8k

אפשרות שנייה:

להציב:

n = 2k

בנוסחת הסכום ולחשב מחדש:

a₁ = -2

d = 4

נציב בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:

סכום 2k האיברים בסדרה הוא S_2k = 8k² – 8k

כדי לחשב את הסכום של K האיברים האחרונים יש 3 אפשרויות.

1.לחשב סכום של סדרה שהאיבר שנמצא k + 1 הוא האיבר הראשון שלה.

2.לחשב שני סכומים ולחסר בניהם.

הסכום המבוקש הוא:  S_2k – S_k

3.או להסתכל בסעיפים הקודמים ולראות אם עשינו בהם משהו שעוזר לנו לבחור בין שתי האפשרויות הראשונות.

נסמן S ‘ _k סכום k האיברים האחרונים.

נקשר בין הסעיף הקודם לסעיף הנוכחי ונסיק:

S ‘ _k = S_2k – S_k

נציב ונחשב:

S_2k – S_k = 8k² – 8k – (2k² – 4k)

S_2k – S_k = 8k² – 8k – 2k² + 4k

S_2k – S_k = 6k² – 4k

סכום k האיברים האחרונים הוא: 6k² – 4k

נתון סכום k האיברים האחרונים הוא 7,210

נבנה משוואה:

6k² – 4k = 7,210

6k² – 4k – 7,210 = 0

נפתור בעזרת מחשבון ונמצא:

k = 35  או   k=  -34.33

k חיובי ושלם ולכן k = 35 הוא הפתרון היחיד.

פירמידה משולשת ישרה – היא פירמידה עם מקצועות שווים.

כלומר הפאות הן משולשים שווה שוקיים.

וזווית הבסיס של פאה היא זווית הבסיס של משולש שווה שוקיים.

על מנת למצוא את אורך צלע בסיס הפירמידה נעשה cos במשולש ישר זווית ABD:

לכן צלע בסיס הפירמידה 9.33

על מנת לחשב את האורך של מקצוע צדדי של הפירמידה נוריד גובה לבסיס AB במשולש ABS.

משולש ABS הוא שווה שוקיים וכך נוכל לבצע חישוב.

הפעולה הזו היא ידע מקדים שאתם צריכים להגיע איתו לבחינה.

על מנת לחשב את האורך של מקצוע צדדי של הפירמידה נוריד גובה לבסיס AB במשולש ABS.

המשולש ABS הוא משולש שווה שוקיים משום שבפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדים שווים.

לכן הגובה SF לבסיס הוא גם תיכון.

נעשה cos במשולש ישר זווית SFA:

(אפשרות אחרת היא פיתגורס).

ולכן אורך מקצוע צדדי של הפירמידה הוא 7.26

בשרטוט המקורי זה היה נראה כך:

על מנת לחשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה נוריד את גובה הפירמידה SO ונחבר לקודקוד A

וכך תיווצר הזווית ביניהם SAO ואותה נרצה לחשב.

כפי שאנו רואים בשרטוט במשולש SOA אליו שייכת הזווית אנו יודעים רק את SA = 7.26.

ולכן עלינו לחשב צלע נוספת על מנת למצוא את הזווית.

ויש שתי דרכים לעשות זאת:

1. מכוון ש OA הוא רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC ואנו יודעים את צלע המשולש AB = 9.33.

אנו יכולים להציב במשפט הסינוסים ולמצוא את AO = R ולאחר מיכן את הזווית המבוקשת.

2.להמשיך את AO עד שיגיע ל BC ואז לחשב את אורכו.

לאחר מיכן לחשב את AO בהיסמך על כך שהנקודה O היא נקודת מפגש התיכונים של משולש ABC.

על מנת לחשב את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה נוריד את גובה הפירמידה SO ונחבר לקודקוד A.

וכך תיווצר הזווית ביניהם SAO ואותה נרצה לחשב.

על מנת לחשב את הזווית נמצא את AO.

בפירמידה ישרה הגובה SO מגיע אל מרכז המעגל החוסם את המשולש.

לכן AO = R הוא רדיוס המעגל החוסם.

ABC הוא משולש שווה צלעות ולכן זוויותיו 60 מעלות.

נחשב את AO = R בעזרת משפט הסינוסים.

2R = 2AO = BC / sin 60

2AO = 9.33 / 0.866

AO = 5.39

נחשב cos במשולש ישר זווית SOA:

הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס היא 42.07°.

דרך פתרון שנייה: שימוש בנקודת מפגש התיכונים

נסתכל על בסיס הפירמידה משולש שווה הצלעות ABC:

נוריד גובה AE לBC, הגובה יעבור דרך O משום שבמשולש שווה צלעות הגבהים, התיכון וחוצי הזוויות נפגשים בנקודה אחת

שהיא מרכז המעגל החוסם והחסום ולשם מגיע גם גובה הפירמידה.

מכאן ניתן להסיק ש AE הוא גם תיכון ולכן EB = 9.33:2 = 4.665

ידוע כי מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס של 2 ל3 כך שהחלק הקרוב לקודקוד הוא האורך יותר.

ולכן נסתכל על משולש ישר הזווית ABE ונמצא את התיכון והגובה AE באמצעות משפט פיתגורס:

AE² = 4.655² + 9.33²

AE² = 9.33² – 4.665²

AE² = 65.287 / √

AE = 8.08

AE = -8.08 – נפסל כי AE חיובי.

כעת נכפול את AE ב0.667 (בגלל יחס של 2 ל3) על מנת למצוא את AO:

A0 = 0.667AE

AO = 0.667 • 8.08

AO = 5.39

נחשב cos במשולש ישר זווית SOA:

הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס היא 42.07°.

במשולש האדום יש לנו שתי צלעות ולכן בעזרת פיתגורס ניתן לחשב את הגובה.

על מנת למצוא את גובה הפירמידה נחשב בעזרת משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית SOA:

SO² + 5.39² = 7.26²

SO² = 7.26² – 5.39²

SO = 23.65 /√

SO = 4.86

SO =  – 4.86 – נפסל כי SO חיובי

גובה הפירמידה הוא 4.86.

נחשב את שטח בסיס הפירמידה:

S_ABC = 0.5 * 9.33 * 9.33 = 37.69

שטח הפירמידה:

שטח הפירמידה הוא 61.06

אם קודם לכן חישבנו את אורך התיכון AE אז ניתן לחשב את שטח הבסיס כך:

הנגזרת היא:

f ‘ (x) = sin(2x) – cos(x)

נשווה את הנגזרת ל-0 על מנת למצוא את נקודות הקיצון:

0 = sin(2x) – cos(x)

נשתמש בזהות (sin(2x) = 2sin(x)cos(x:

2sin(x)cos(x) – cos(x) = 0

cos(x)[2sin(x) – 1] = 0

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

cos(x) = 0

x = 0.5π + 2πk

x = -0.5π + 2πk

x = 0.5π

לפי התחום הגדרה

2sin(x) – 1 = 0

2sin(x) = 1 / :2

sin(x) = 0.5

x = 0.1667π + 2πk

x = 0.833π + 2πk

x = 0.1666π

x = 0.833π

לפי התחום הגדרה

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = 0, 0.1666π, 0.833π, 0.5π, π

נציב בנגזרת באמצעות המחשבון:

f ‘ (0.1π) = -0.36

f ‘ (0.4π) = 0.28

f ‘ (0.7π) = -0.36

f ‘ (0.9π) = 0.36

שיעורי ה-x של נקודות הקיצון וסוגן הן:

x = 0 מקסימום

x = 0.1667π מינימום

x = 0.5π מקסימום

x = 0.833π מינימום

x = π מקסימום

בשאלה אומרים:

“כל אחת מנקודות המינימום של הפונקציה f(x) נמצאת על ציר ה x

מצאו את f(x)”

אז:

1.מכוון שביקשו את f(x) עלינו לחשב אינטגרל.

2.כאשר מחשב אינטגרל מקבלים פרמטר c.

∫f ‘ (x) dx = f(x) + c

וזה שאנו יודעים את ערך ה y של נקודות המינימום יאפשר לנו למצוא את c.

דבר זה נקרא גם “מציאת פונקציה קדומה“.

נתון שכל אחת מנקודות המינימום נמצא על ציר ה-x ולכן הנקודות הן:

min (0.833π,0) , min (0.1666π,0)

נבצע אינטגרל על מנת למצוא את הפונקציה הקדומה, את f (x):

∫ sin(2x) – cos(x) dx

f (x) = -0.5cos(2x) – sin(x) + c

נציב את אחת מנקודות המינימום על מנת למצוא את c:

0 = -0.5cos(2 • 0.833π) – sin(0.833π) + c

0 = -0.25 – 0.5 + c

c = 0.75

ולכן הפונקציה היא:

f (x) = -0.5cos(2x) – sin(x) + 0.75

נציב את שיעורי ה-x של נקודות המקסימום שמצאנו בסעיף א’ בפונקציה f (x) שמצאנו בסעיף הקודם.

נציב x = 0 בפונקציה.

f (0) = -0.5cos(2•0) – sin(0) + 0.75

f (0) = -0.5 – 0 + 0.75

f (0) = 0.25

ולכן הנקודה היא:

 (0 , 0.25)

נציב x = 0.5π:

f (0.5π) = -0.5cos(2•0.5π) – sin(0.5π) + 0.75

f (0.5π) = 0.5 – 1 + 0.75

f (0.5π) = 0.25

ולכן הנקודה היא:

  (0.5π ,  0.25)

נציב x = π:

f (π) = -0.5cos(2•π) – sin(π) + 0.75

f (π) = -0.5 – 0 + 0.75

f (π) = 0.25

ולכן הנקודה היא:

(π , 0.25)

שיעור ה-y של כל נקודות המקסימום הוא 0.25.

נקודות הקיצון הן:

מקסימום

(0 , 0.25)

(0.5π ,  0.25)

(π , 0.25)

מינימום

(0.833π,0)

(0.1666π,0)

על פי זה נשרטט.

זה המשולש.

את הגובה אנו יודעים.

את הבסיס ניתן לחשב.

גובה המשולש הוא 0.25, ערך הy של המקסימום.

בסיס המשולש הוא האורך בין נקודות המינימום:

 0.833π – 0.166π = 0.667π

לכן שטח המשולש הוא:

(0.25 • 0.667π) • 0.5 = 0.0833π

נציב x = 0 בפונקציה f (x) = e^x • (e^x – 6)² על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-y:

f (0) = e⁰ • (e⁰ – 6)²

f (0) = 1 • (1 – 6)²

f (0) = 25

נקודת החיתוך עם ציר ה-y:

(0 , 25)

נציב y = 0 בפונקציה f (x) = e^x • (e^x – 6)² על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

0 = e^x • (e^x – 6)²

נשווה את כל אחד מהגורמים ל 0:

e^x  = 0

אין פתרון

(e^x – 6)² = 0 / √

e^x – 6 = 0

e^x = 6

נפעיל ln על שני האגפים:

lne^x = ln6

x = ln6

נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

(ln6 ,0)

נפתח סוגריים בפונקציה לפי נוסחת כפל מקוצר ²(a – b):

f (x) = e^x • (e^x – 6)²

f (x) = e^x • (e^2x – 12e^x + 36)

f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x

לאחר פתיחת הסוגריים קיבלנו פונקציה קלה יותר לגזירה:

f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x

נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0 על מנת למצוא את נקודות הקיצון:

f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x

f ‘ (x) = 3e^3x – 24e^2x + 36e^x

3e^x (e^2x – 8e^x + 12) = 0

e^x = 0

אין פתרון

אפשרות שנייה

e^2x – 8e^x + 12 = 0

נפתור משוואה ריבועית בעזרת מחשבון:

e^x = 6  או  e^x = 2

ולכן:

e^x – 6 = 0

e^x = 6

נפעיל ln על שני האגפים:

lne^x = ln6

x = ln6

3e^x – 6 = 0

 3e^x = 6 / :3

e^x = 2

נפעיל ln על שני האגפים:

lne^x = ln2

x = ln2

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = ln2, ln6

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (0) = 15

f ‘ (1) = -19.22

f ‘ (2) = 165.94

נציב את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון בפונקציה על מנת למצוא את שיעורי ה-y:

נציב x = ln2:

f (ln2) = e^ln2 • (e^ln2 – 6)²

f (ln2) = 2 • (2 – 6)²

f (ln2) = 32

max (ln2 , 32)

נציב x = ln6:

f (ln6) = e^ln6 • (e^ln6 – 6)²

f (ln6) = 6 • (6 – 6)²

f (ln6) = 0

min (ln6 , 0)

נקודות הקיצון הן:

max (ln2 , 32) , min (ln6 , 0)

הערה:

אם היינו גוזרים את הפונקציה המקורית זה היה נראה כך:

f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x

f ‘ (x) = e^x • (e^x – 6)² + e^x • 2 • (e^x – 6) • e^x

0 = e^x • (e^x – 6)² + e^x • 2 • (e^x – 6) • e^x

0 = e^x • (e^x – 6)² + 2e^2x • (e^x – 6)

נוציא גורמים משותפים:

  0 = e^x • (e^x – 6) (e^x – 6 + 2e^x)

  0 = e^x • (e^x – 6) (3e^x – 6)

נקודות הקיצון הם:

max (ln2 , 32) , min (ln6 , 0)

חיתוך עם הצירים:

(ln6 ,0)

(0 , 25)

נשווה בין הפונקציה g (x) = e^3x לבין הפונקציה f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x על מנת למצוא את נקודת החיתוך ביניהן:

e^3x – 12e^2x + 36e^x = e^3x

נשווה בין הפונקציה g (x) = e^3x לבין הפונקציה f (x) = e^3x – 12e^2x + 36e^x על מנת למצוא את נקודת החיתוך ביניהן:

e^3x – 12e^2x + 36e^x = e^3x

12e^2x + 36e^x  = 0-

נוציא גורמים משותפים:

12e^x • (-e^x + 3) = 0

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

12e^x = 0

אין פתרון

e^x + 3 = 0-

-e^x = -3 / :-1

e^x = 3

נפעיל ln על שני האגפים:

lne^x = ln3

x = ln3

נציב x = ln3 באחת מהפונקציות על מנת למצוא את ערך ה-y:

g (ln3) = e^{3 • ln3}

g (ln3) = 27

נקודת החיתוך בין הפונקציות היא:

(ln3 , 27)

נשתמש בידע שנו על הגרף של:

e^x

ובנקודת החיתוך בין הפונקציות כדי לשרטט את הגרף.

על מנת למצוא את השטח הכלוא בין הפונקציות ובין ציר ה-y נחשב אינטגרל לפי פונקציה עליונה פחות פונקציה תחתונה:

השטח המוגבל על ידי הפונקציות וציר ה-x הוא 24.

הערה

אלו שרוצים יכולים להוציא מספרים גורם משותף לפני חישוב האינטגרל

(כמובן שאסור להוציא משתנה כגורם משותף).

h (x) = -2x³ + 6x²

נציב y=0 בפונקציה על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-x:

0 = 2x³ + 6x²–

נוציא גורמים משותפים:

2x² (-x + 3) = 0

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

2x² = 0 / :2

x² = 0 / √

x = 0

(0 , 0)

-x + 3 = 0

x = 3

(0 , 3)

נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן:

(0 , 0) , (0 , 3)

תחומי חיוביות:

x ≠ 0 -ו x < 3

תחומי שליליות:

x > 3

f (x) = ln(-2x³ + 6x²)

תחום ההגדרה של הפונקציה זה תוכן הln גדול מ-0:

 -2x³ + 6x²  > 0

בסעיף הקודם מצאנו את תחום החיוביות של הפונקציה h(x) = -2x³ + 6x²  וזה הפתרון לאי השוויון ולכן תחום ההגדרה יהיה:

x ≠ 0 -ו x < 3

האסימפטוטות המאונכות לציר ה-x הן:

x = 0 , x = 3

אשר תוכן הln שואף ל-0 אז הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ולכן אלה איסמפטוטות אנכיות.

f (x) = ln(-2x³ + 6x²)

נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה של נגזרת מורכבת:

f (x) = ln(-2x³ + 6x²)

נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה של נגזרת מורכבת:

שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0 ולכן נשווה רק את מונה הנגזרת ל-0:

-6x² + 12x = 0

נוציא גורם משותף:

6x (-x + 2) = 0

נשווה כל אחד מהגורמים ל-0:

6x = 0 / :6

x = 0

נפסל בגלל תחום ההגדרה

-x + 2 = 0

x = 2

ה-x החשוד לקיצון הוא: x = 2:

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (1) = 1.5

f ‘ (2.5) = -1.2

נציב x = 2 בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת הקיצון:

f (2) = ln(-2 • 2³ + 6 • 2²)

f (2) = ln8

נקודת הקיצון היא:

max (2 , ln8)

ההזזה הזו :

h(x) = – f(x)

גורמת לכך שהפונקציה h(x) תקבל ערכי y הפוכים בסימן עבור אותו ערך x.

למשל כך:

ואילו ההזזה הזו:

h(x) = – f(x) + 4

גם מעלה את הפונקציה h(x) 4 יחידות למעלה.

נתונה הפונקציה g (x) = -f(x) + 4

המשמעות של ההזזה הזו היא שהופכים את סימן ערך ה y של f(x) ואז מוסיפים (מעלים) 4 יחידות לערך ה y.

לכן נקודת הקיצון תהיה מינימום ונכפיל את שיעור ה y שלה במינוס ולאחר מכן נוסיף 4:

y = -ln8 + 4

ולכן שיעור נקודת הקיצון של הפונקציה g (x):

 min (2 , – ln8 + 4)