בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 481 חורף 2021

הרעיון של הפתרון:

• אנו לא יודעים את שתי המהירויות ולכן נגדיר אותן כשני משתנים.
• משוואה ראשונה תהיה שסכום הדרכים שהם עברו עד הפגישה הוא 54 קילומטר.
• משוואה שנייה תהיה שהזמנים שהם נסעו לאחר הפגישה שווים.

טיפ לבניית המשוואה השנייה:

ראו בשרטוט זה כי הדרך שהילה עוברת לאחר הפגישה שווה למרחק שדנה עוברת לאחר הפגישה.
ולהפך.

לדוגמה, הילה עוברת את BC לפני הפגישה וזו בדיוק הדרך שדנה עוברת לאחר הפגישה.

יש את המהירות והזמן עד הפגישה, לכן ניתן למצוא את המיקום המדויק של הפגישה ולחשב יחס.

סעיף א

המרחק שעברה דנה מרגע הפגישה ועד שהגיעה לעיר ב’ הינו 18_ק”מ = v.

המרחק שעברה הילה מרגע הפגישה ועד שהגיע לעיר א’ הינו

 54 – v = 54 – 18 = _ק”מ36

סעיף ב

1 / 2

הרעיון של הפתרון:

• אנו לא יודעים את שתי המהירויות ולכן נגדיר אותן כשני משתנים.
• משוואה ראשונה תהיה שסכום הדרכים שהם עברו עד הפגישה הוא 54 קילומטר.
• משוואה שנייה תהיה שהזמנים שהם נסעו לאחר הפגישה שווים.

הערה
ניתן לפתור את התרגיל גם באמצעות משתנה אחד ונראה זאת בסוף השאלה.

1.בחירת משתנה
אנו לא יודעים את המהירויות ולכן נגדיר.

v₁ – המהירות בקמ”ש של הילה
v₂ המהירות בקמ”ש של דנה.

2.בניית טבלה עד הפגישה

עד הפגישה שתיהן רכבו 1 שעה.
לכן הטבלה נראית כך:

ביחד הם עברו את המרחק כולו שהוא 54 קילומטרים.

v₁ + v₂ = 54
v₁ = 54 – v₂

כמו כן אם נרצה לשרטט את התנועה היא נראית כך:

3.תאור התנועה לאחר הפגישה

בבעיות שבהם יש המשך לאחר הפגישה הרעיון הוא כזה:

המרחק שעברה הילה לפני הפגישה הוא המרחק שעברה דנה לאחר הפגישה.
BC – הוא המרחק שהילה עברה לפני הפגישה וזה בדיוק הקטע שעברה דנה לאחר הפגישה.

לכן הטבלה לאחר הפגישה תראה כך:

נשלים את הזמן הרכיבה של דנה והילה.

אומרים ששתיהן הגיעו לידיהם באותו זמן.
לכן זמן הרכיבה של שתיהן לאחר הפגישה שווה והמשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף 2v₁v₂

2v₂ ²= 2v₁² + v₁v₂

קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים:

2v₂ ²= 2v₁² + v₁v₂
v₁ = 54 – v₂

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:

2v₂ ² = 2(54 – v₂ )² + (54 – v₂ )v₂

2v₂² =

המרחק שעברה דנה מרגע הפגישה ועד שהגיעה לעיר ב’ הינו 18_ק”מ = v.

המרחק שעברה הילה מרגע הפגישה ועד שהגיע לעיר א’ הינו

 54 – v = 54 – 18 = _ק”מ36

לכן היחס הינו

v / (54 – v) = 18 / 36 = 1 / 2

ניתן לפתור את תרגיל זה באמצעות נעלם אחד.

v המהירות של דנה.
מכוון שדנה נסעה 1 שעות עד הפגישה היא עברה מרחק של v.

לכן להילה נשאר לאחר הפגישה לעבור מרחק של
54 - v

ומכוון שהילה עברה בשעה אחת את מרחק זה אז
54 - v
זו גם המהירות.

לכן הטבלה תראה כך:

בניית משוואה:

נתון כי דנה והילה מגיעות לעיר א' ו- ב' בהתאמה באותו הזמן.

נחבר את הזמנים של כל אחת מהן בכל אחד משלבי הדרך ונשווה:

1 * v(54 - v) + (54 - v)² = 2.5 * v(54 - v) + v²

54v - v² + 2916 -108v + v² = 135v - 2.5v² + v²

1.5v² -189v +2916 = 0

v₁ = (189 + 135) / 3 = 108

v₂ = (189 - 135) / 3 = 18

108 = v נפסל מכיוון שתחום ההגדרה של v הינו:

0 < v < 54

לכן מהירות הרכיבה של הילה הינו 18 קמ"ש, ומהירותה של דנה 36 קמ"ש.

מה שחסר זה הרדיוס, והרדיוס הוא המרחק שבין נקודה שעל המעגל ומרכז המעגל.
כלומר הרדיוס הוא המרחק שבין הנקודות M ל A.

• המשיק עובר דרך הנקודה A.
• המשיק מאונך לרדיוס MA, לכן ניתן למצוא את שיפוע המשיק. (המשיק והרדיוס מאונכים על פי המשפט: משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה).

לכן ניתן למצוא את שיפוע המשיק ונקודה דרכה הוא עובר.

נתון לנו ערך ה Y של הנקודה.
נציב אותו במשוואת המעגל ונקבל את ערך ה x של הנקודה.

AB הוא קוטר במעגל אם אורכו שווה לפעמיים הרדיוס (כאשר ידוע לנו  r = √13).

• המשולש BAC הוא משולש ישר זווית ואנו יכולים לחשב את שטחו לאחר  שנדע את אורכי ניצביו.
• את הניצב AB אנו יודעים, לאחר שנמצא את C נוכל גם לחשב את אורך הניצב AC.
• E היא מרכז המעגל ולכן AE הוא תיכון המחלק את שטח המשולש BAC לשני שטחים שווים.

כלומר השטח המבוקש שווה לחצי משטח משולש BAC

סעיף א

(x – 3)² + (y – 5)² = 13

סעיף ב

סעיף ג1

B(5,2)

סעיף ג2

כן

סעיף ד

S_AEC = 19.5 יחידות ריבועיות.

דרך הפתרון

מה שחסר זה הרדיוס, והרדיוס הוא המרחק שבין נקודה שעל המעגל ומרכז המעגל.
כלומר הרדיוס הוא המרחק שבין הנקודות M ל A.

פתרון

נרשום את משוואת המעגל:

(x – x_M)² + (y – y_M)² = R²

(x – 3)² + (y – 5)² = R²

נתון כי הנקודה  (8 ,1) = A נמצאת על המעגל, לכן נציב אותה במשוואת המעגל ונמצא כך את R:

(1 – 3)² + (8 – 5)² = R²

4 + 9 = R²

13 = R²

לכן משוואת המעגל היא:

(x – 3)² + (y – 5)² = 13

דרך הפתרון

• המשיק עובר דרך הנקודה A.
• המשיק מאונך לרדיוס MA, לכן ניתן למצוא את שיפוע המשיק. (המשיק והרדיוס מאונכים על פי המשפט: משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה).

פתרון

ננסה למצוא את שיפוע המשיק:

נעביר את הרדיוס AM, לפי משפט קטע ממרכז המעגל לנקודת ההשקה מאונך למשיק, כלומר מתקיים AO ⊥ AM

נמצא את השיפוע של הרדיוס AM:

ניעזר בעובדה כי השיפועים של שני ישרים המאונכים זה לזה מקיימים:

m_AM * m_OA = -1

-1.5 * m_OA = -1

m_OA = 2/3

מצאנו את שיפוע המשיק, ונתונים לנו שיעורי הנקודה A, נשתמש בנוסחה למשוואת הישר:

y – y_A = m_AO(x – x_A)

נתון לנו ערך ה Y של הנקודה.
נציב אותו במשוואת המעגל ונקבל את ערך ה x של הנקודה.

נסמן:

B  (x_B, 2)

נציב y = 2 במשוואת המעגל ונמצא את ערך ה x.

(x – 3)² + (y – 5)² = 13

(x_B – 3)² + (2 – 5)² = 13

(x_B – 3)² + 9 = 13

(x_B – 3)²  = 4

x_B – 3 = -2      או       x_B – 3 = 2

x_B = 1      או            x_B = 5

נתון כי שיעור ה- x של הנקודה B גדול מ-3 לכן x_B = 1 נפסל.

תשובה:  B(5,2)

AB הוא קוטר במעגל אם אורכו שווה לפעמיים הרדיוס (כאשר ידוע לנו  r = √13).

נחשב את המרחק בין הנקודות A ל B:
A(1,8)
(2 ,5)B

נשתמש בנוסחה למרחק בין 2 נקודות:

קיבלנו כי המרחק בין הנקודות AB שווה לפעמיים הרדיוס, ועל כן AB הוא קוטר במעגל.

דרך הפתרון

• המשולש BAC הוא משולש ישר זווית ואנו יכולים לחשב את שטחו לאחר  שנדע את אורכי ניצביו.
• את הניצב AB אנו יודעים, לאחר שנמצא את C נוכל גם לחשב את אורך הניצב AC.
• E היא מרכז המעגל ולכן AE הוא תיכון המחלק את שטח המשולש BAC לשני שטחים שווים.

פתרון

1.נוכיח כי המשולש ABC הוא משולש ישר זווית

AM הוא רדיוס ולכן מאונך למשיק AC.
לכן ABC הוא משולש ישר זווית ושטחו:

S_abc = 0.5AB * AC

בסעיף הקודם מצאנו כי אורך AB הוא:
AB = 2√13

אנו צריכים למצוא עכשיו את AC.

2.נמצא את הנקודה C

נתון כי BC מקביל לציר ה- x, לכן שיעור ה- y של הנקודה C שווה לשיעור ה- y של הנקודה (2 ,5)B

C_y = 2

אנו יודעים כי הנקודה C נמצאת על המשיק AC, לכן מקיימת את משוואת המשיק:

נכפיל ב 3:

6 = 2x + 22
2x = -16
x = -8

 C (-8, 2)

3.נמצא את אורך הקטע AC:

A(1,8)
C (-8, 2)

נמצא את שטח המשולש ABC:

S_ABC = (AB * BC) / 2 =
(3√13 * 2√13) / 2 = 39

4.חישוב שטח המשולש AEC

E היא אמצע הקוטר ולכן מרכז הקטע AB.

למשולשים AEB, AEC יש גובה משותף (AF) ואותו אורך בסיס (CE = BE).
לכן השטח שלהם שווה.

כלומר השטח של כל אחד מיהם הוא חצי מהשטח משולש ABC שהוא 39 יחידות ריבועיות.

נחשב את השטח של AEC.

S_AEC = S_ABC / 2 = 39 / 2 = 19.5

תשובה: S_AEC = 19.5 יחידות ריבועיות.

• ניתן להגדיר את ההסתברות להיכשל וההסתברות להצליח בעזרת משתנה יחיד.
• מכוון שאלו הסתברויות משלימות סכומם הוא 1.

יש שתי דרכים בהם מנחם ייגש לשני מבחנים לכל היותר.
עליכם לזהות את שתי הדרכים הללו, לחשב את ההסתברויות הללו הנפרד ולחבר בניהן.

זו שאלה בהסתברות מותנית.

בסעיף זה נשתמש בשתי הסתברויות שכבר חישבנו.

סעיף א

ההסתברות שמנחם יעבור את מבחן הנהיגה הינו 0.2.

סעיף ב1

0.36

סעיף ב2

ההסתברות שמנחם ניגש למבחן השני, אם ידוע שהוא ניגש לשני מבחנים לכל היותר היא 4/9.

דרך הפתרון

• ניתן להגדיר את ההסתברות להיכשל וההסתברות להצליח בעזרת משתנה יחיד.
• מכוון שאלו הסתברויות משלימות סכומם הוא 1.

פתרון

נגדיר את ההסתברות:

x ההסתברות שמנחם יעבור.
4x ההסתברות שלא יעבור.

סכום ההסתברויות לעבור ולא לעבור הוא 1.
לכן:

x + 4x = 1
5x = 1
x = 0.2

תשובה: ההסתברות שמנחם יעבור את מבחן הנהיגה הינו 0.2.

יש שתי דרכים בהם מנחם יגש לשני מבחנים לכל היותר:

1.מנחם יעבור את המבחן הראשון.
0.2 זו ההסתברות שחישבנו בסעיף א.

2.מנחם יכשל בראשון ויעבור בשני

p = 0.8 * 0.2 = 0.16

ההסתברות המבוקשת היא סכום ההסתברויות

P = 0.2 + 0.16 = 0.36

תשובה: 0.36

זו שאלת הסתברות מותנית.

בסעיף הקודם מצאנו:

0.36 ההסתברות שניגש לשני מבחנים לכל היותר.
0.16  ההסתברות לעבור בשני.

ההסתברות המבוקשת היא:

כלומר, ההסתברות שמנחם ניגש למבחן השני, אם ידוע שהוא ניגש לשני מבחנים לכל היותר היא 4/9.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

4.5

מיחס הדמיון נקבל:

EB² = AB * CB

סעיף א

∠ADC =50.93

סעיף ב

AD = 2.87

סעיף ג

PB = 13.92

הרעיון של הפתרון
כאשר במשולש יודעים זווית ויחס בין צלעות ניתן בעזרת משפא הסינוסים למצוא את הזוויות האחרות.

נתחיל במציאת  הזווית A בעזרת משפט הסינוסים:

נציב את הנתון:
AD = 0.33AC

sin ∠ADC = 3 * sin15 = 0.77

למשוואה זו שני פתרונות המבוססים על הזהות
sin a = sin (180 – a)

∠ADC₁ =50.93

∠ADC₂ = 129.06

נתון כי הזווית ADC היא זווית חדה, לכן התשובה הסופית היא:

∠ADC =50.93

הרעיון של הפתרון

• זה שנתנו לנו את שטח המשולש כנתון נוסף זה מרמז שעלינו להשתמש בנוסחת שטח משולש.
• זה שמצאנו בסעיף הקודם זווית זה מרמז שנשתמש בנוסחה הטריגונומטרית של שטח משולש.
• לאחר שנמצא את CD נוכל למצוא את AD במשולש ACD בעזרת משפט הסינוסים או הקוסינוסים.

1.תחילה נמצא את הזוית CDB

מסכום זוויות צמודות 180º נסיק:

∠ADC + ∠CDB = 180º

∠CDB = 180 – 50.93 = 129.07

2. נשתמש בנוסחת שטח משולש למציאת אורך הצלע CD.

נשתמש בנוסחה הטריגונומטרית לחישוב שטח משולש CDB.

S_ΔCDB = 0.5 * CD * DB * sin ∠CDB

נציב: S_CDB = 40,  CD = DB

40 = 0.5 * CD² * sin 129.07

40 = 0.5 * 0.77 * CD²

CD² = 103.04

CD = 10.15

3.למציאת אורך הקטע AD נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ΔACD

(ניתן להשתמש גם במשפט הסינוסים במשולש זה על מנת לפתור את הסעיף).

על פי משפט הקוסינוסים:

AC² = AD² + CD² – 2AD * CD * cosADC

נשתמש בהצבות הבאות:

AC = 3AD

CD = 10.15

∠ADC = 50.93

הצבה במשפט הקוסינוסים:

(3AD)² =  AD² + 10.15² – 2 * 10.15 * AD * cos 50.93

9AD² = AD² + 103.0225 – 12.8AD    / –  AD² – 103.0225 + 12.8AD

8AD² + 12.8AD – 103.0225 = 0

נשתמש בנוסחת השורשים למציאת הפתרון:

AD הוא צלע והגודל חייב להיות חיובי, לכן התשובה היא: AD = 2.87

הרעיון של הפתרון
במשולש PDB יש לנו מספיק נתונים על מנת לבצע כל חישוב שנרצה.

מסעיף ב ידוע לנו:

CD = DB = 10.15

לכן לפי הנתון כי P היא אמצע הקטע CD מתקיים:

PD = 0.5 * 10.15 = 5.075

בנוסף, ידוע לנו כי

∠CDB = 129.07

לכן נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש PDB:

PB² = PD² + DB² – 2 * PD * DB * cos∠CDB

PB² = 5.075² + 10.15² – 2 * 5.075 * 10.15 * cos129.07 = 193.71

PB = 13.92

סעיף א1

x ≠ 3 , x ≠ 1

סעיף א2

b = 2

סעיף ב1

אסימפטוטות אנכיות: x₁ = 3 , x₂ = 1

סעיף ב2

נק’ חיתוך עם ציר y היא (0 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 0)

סעיף ב3

מקסימום- (6- , 1.5)

מינימום- (0 , 0)

סעיף ג

למציאת תחום ההגדרה נבדוק מתי המכנה מתאפס:

x² – 4x + 3 = 0

(x – 3) ( x – 1) = 0

x₁ = 3 , x₂ = 1

לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

x ≠ 3 , x ≠ 1

אם האסימפטוטה היא y = 2 זה אומר שערך ה y של הפונקציה שואף ל 2 כאשר x שואף לאינסוף.

לכן נוכל לכתוב:

כאשר x שואף לאינסוף 4x + 3 זניח ביחס ל x².

תשובה: b = 2.

הצבת הערך b שמצאנו:

מציאת אסימפטוטה אנכית

בסעיף א’ מצאנו כי ערכי x המאפסים את המכנה הם:

x₁ = 3 , x₂ = 1

נציב את ערכים אלה במונה ונבדוק אם הם מאפסים את המכנה:

2 * 1² = 2

2 * 3² = 18

שני הערכים אינם מאפסים את המונה, לכן הם מהווים אסימפטוטה אנכית (ולא חור).

תשובה סופית:

אסימפטוטות אנכיות: x₁ = 3 , x₂ = 1

מציאת חיתוך עם ציר y.

נציב x = 0 בפונקציה

לכן נק’ חיתוך עם ציר y היא (0 , 0)

חיתוך עם ציר x.

נציב y = 0.

שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.

2x² = 0

x = 0

לכן נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 0)

תשובה סופית:

נק’ חיתוך עם ציר y היא (0 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 0)

למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה נגזור אותה ונשווה לאפס. הנגזרת היא נגזרת מנה.

נזכיר כי הנוסחה לנגזרת מנה היא:

גזירה:

שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה 0.
לכן:

-4x(2x – 3) = 0

אפשרות ראשנה:

-4x = 0

x = 0

אפשרות שנייה:

2x – 3 = 0   / + 3

2x = 3  / : 2

x = 1.5

לכן נקודות חשודות לקיצון הן:

x = 0 , x = 1.5

בגלל שהנגזרת לא מוגדרת בנקודות בהן הפונקציה לא מוגדרת, למציאת תחומי עלייה וירידה יש לפצל את התחומים גם בנקודות אי ההגדרה:
x = 3 , x = 1

מכיוון שאין x > 3 עבורו הנגזרת מתאפסת, למציאת נקודות הקיצון אין סיבה לבדוק בתחום בו x > 3

נשים לב כי אי אפשר להציב x₁ = 3 , x₂ = 1 בטבלה מכיוון שהפונקציה לא מוגדרת בנקודות אלו.

נשלים את הטבלאות בהתאם:

נמצא את ערכי ה y של הקיצון

נציב כעת את ערכי x שמצאנו למציאת ערכי y

עבור x = 0

חישבנו בסעיף קודם:

f(0) = 0

עבור x = 1.5

תשובה סופית: נק’ הקיצון הן:

מקסימום- (6- , 1.5)

מינימום- (0 , 0)

נרכז נתונים מסעיפים קודמים:

נק’ חיתוך עם ציר y היא (0 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 0)

אסימפטוטה אופקית y = 2

אסימפטוטות אנכיות: x₁ = 3 , x₂ = 1

מקסימום- (6- , 1.5)

מינימום- (0 , 0)

בגלל שיש אסימפטוטה אנכית ב- x = 3 יש לבדוק עלייה/ירידה של הפונקציה בתחום x > 3.

הנגזרת שלילית, לכן הפונקציה יורדת בתחום x > 3.

סקיצה של הפונקציה:

סעיף א

AB²

סעיף ב1

t = √6

סעיף ב2

AB מינימלי עבור 6√ = t

הרעיון של הפתרון

• נשתמש בפונקציה f(x) = x / 6 על מנת לתאר את הנקודות A,B באמצעות t
• נציב את הנקודות A,B בנוסחת מרחק בין שתי נקודות.

פתרון

נשרטט את הישר המבוקש ואת הפונקציה:

1.נמצא את הנקודות A , B (בתלות ב-t):

שתי הנקודות נמצאות על הפונקציה f(x) = x / 6.
לכן ניתן להציב את ערך ה x של הנקודות בפונקציה ולמצוא את ערך ה y שלהם.

עבור הנקודה A.

נתון x = t.
נציב בפונקציה:

לכן:

עבור הנקודה B

נתון כי x = -t
נציב בפונקציה:

2.מציאת AB²

נציב את ערכי A,B בנוסחת מרחק בין שתי נקודות ונמצא את AB²

1.הגדרת פונקציה המתארת את AB²

נגדיר פונקציה חדשה, g(t), שהיא תהיה הגודל AB² ונמצא את המינימום שלה.

הערה
השתמשנו כאן בחוקי חזקות כדי לכתוב פונקציה  ללא מכנה.
ניתן גם להישאר עם המכנה ולגזור את הפונקציה כפונקציה רציונלית.

כמו כן נשים לב כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא t ≠ 0

2.גזירה והשוואה ל 0

g ‘ (t) = 8t – 2 * 144t^-3 = 8t – 288t^-3 = 0   / + 288t^-3

8t = 288t^-3   / : 8
t = 36t^-3   / * t³

t⁴ = 36   / – 36

בעזרת המחשבון נמצא:

t₁ = √6 

אבל עלינו לדעת שעבור חזקות זוגיות יש פתרון נוסף שהוא:

t₂ = -√6

3.נבדוק את סוג הקיצון עבור t₁ = √6 

קודם לכן מצאנו כי הנגזרת היא:
g ‘ (t) = 8t – 288t^-3

כך נראית הטבלה לפני המילוי.

נציב x = 1 בנגזרת

g ‘ (t) = 8t – 288t^-3

g ‘ (1) = 8 – 288 * 1^-3 = -280 < 0

√6 = 2.45

נציב t = 3 בנגזרת

g ‘ (3) = 8 * 3 – 288 * 3^-3 = 13.33 > 0

לכן הטבלה נראית כך:

תשובה: הגודל  AB² הוא מינימלי עבור:

t = √6

AB הוא גודל חיובי בהכרח(כי הוא אורך), לכן AB מינימלי כאשר AB² מינימלי.

תשובה: AB מינימלי עבור 6√ = t

סעיף א

תחום עלייה:

-2 < x < 0

תחום ירידה:

0 < x < 2

סעיף ב1

עבור f(x):

-2 ≤ x ≤ 2

עבור g(x):

x ≥ 2  , x ≤ 2

סעיף ב2

גרף 1- g(x)

גרף 2 – f(x)

סעיף ג1

עבור g (x):

נק’ חיתוך עם ציר x הן: (0 , 2-) , (0 , 2)

נק’ חיתוך עם ציר y: אין. x = 0 אינו נכלל בתחום ההגדרה.

עבור f (x):

נק’ החיתוך עם ציר x הן: (0 , 2) , (0 , 2-)

נק’  החיתוך עם ציר y היא: (2 , 0)

סעיף ג2

עבור g(x):

עובר f (x):

גרף 1:

גרף 2:

ידוע כי כאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת וכאשר היא חיובית הפונקציה עולה. נבדוק לגבי כל גרף.

גרף 1:

הנגזרת שלילית עבור x < -2

הנגזרת חיובית עבור x > 2

לכן תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שאת הנגזרת שלה הוא מתאר הם:

תחום עלייה : x > 2

תחום ירידה: x < -2

גרף 2:

הנגזרת חיובית עבור:

-2 < x < 0

הנגזרת שלילית עבור:

0 < x < 2

לכן תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שאת הנגזרת שלה הוא מתאר הם:

תחום עלייה:

-2 < x < 0

תחום ירידה:

0 < x < 2

נתחיל עם הפונקציה f(x):

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא שהביטוי בתוך השורש חייב להיות אי שלילי:

4 – x² ≥ 0   / + x²

4 ≥ x²   / √

-2 ≤ x ≤ 2

עבור g(x):

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא שהביטוי בתוך השורש חייב להיות אי שלילי:

x² – 4 ≥ 0  / + 4

x² ≥ 4

x ≥ 2  , x ≤ 2

תשובה סופית:

עבור f(x):

-2 ≤ x ≤ 2

עבור g(x):

x ≥ 2  , x ≤ 2

נשתמש בתחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות ונתאים את הפונקציה לגרף בעל תחום הגדרה זהה.

עבור f(x):

תחום ההגדרה:

-2 ≤ x ≤ 2

לכן הגרף המתאים הוא גרף 2(הנגזרת מוגדרת אך ורק בתחום זה)

עבור g(x):

תחום ההגדרה:

x ≥ 2  , x ≤ 2

לכן הגרף המתאים הוא גרף 1(הנגזרת מוגדרת אך ורק בתחום זה)

תשובה סופית:

גרף 1- g(x)

גרף 2 – f(x)

עבור g(x)

למציאת חיתוך עם ציר x נשווה את הפונקציה ל-0:

x² – 4 = 0

(x + 2) (x – 2) = 0

x₁ = 2 , x₂ = -2

נק’ חיתוך עם ציר x הן: (0 , 2-) , (0 , 2)

נק’ חיתוך עם ציר y: אין. x = 0 אינו נכלל בתחום ההגדרה.

עבור f(x)

למציאת חיתוך עם ציר x נשווה את הפונקציה ל-0:

4 – x² = 0

(2 + x)(2 – x) = 0

x₁ = -2 , x₂ = 2

לכן נק’ החיתוך עם ציר x הן: (0 , 2) , (0 , 2-)

למציאת חיתוך עם ציר y נציב x = 0:

לכן נק’  החיתוך עם ציר y היא: (2 , 0)

תשובה סופית:

נק’ החיתוך עם ציר x הן: (0 , 2) , (0 , 2-)

נק’  החיתוך עם ציר y היא: (2 , 0)

עבור g(x)

נרכז את הנתונים הידועים לנו עד כה:

תחום עלייה : x > 2

תחום ירידה: x < -2

תחום ההגדרה:

x ≥ 2  , x ≤ 2

נק’ חיתוך עם ציר x הן: (0 , 2-) , (0 , 2)

נק’ חיתוך עם ציר y: אין.

לכן סקיצת הפונקציה g(x) היא:

עבור f(x)

נרכז את הנתונים הידועים לנו(אחרי שהתאמנו גרף נגזרת לפונקציה):

תחום הגדרה:

-2 ≤ x ≤ 2

תחום עלייה:

-2 < x < 0

תחום ירידה:

0 < x < 2

נק’ החיתוך עם ציר x הן: (0 , 2) , (0 , 2-)

נק’  החיתוך עם ציר y היא: (2 , 0)

סקיצת הפונקציה f(x) היא: