בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 481 חורף 2020

סעיף א

מחיר כרטיס ילד- 0.5x

מחיר כרטיס סטודנט- 0.75x

סעיף ב1

מחיר כרטיס מבוגר הוא 52 ש”ח

סעיף ב2

ביום שני ביקרו במוזיאון 200% יותר אנשים מאשר ביום ראשון.

80% מתוך x הם 0.8x.

1.מחיר כניסה של ילד
ידוע כי מחיר כרטיס של מבוגר גדול פי 2 ממחיר כרטיס של ילד.
לכן מחיר כניסה של ילד הוא 50% ממחיר של מבוגר:

0.5 * x = 0.5x

מחיר כניסה של ילד הוא 0.5x.

2.מחיר כניסה של סטודנט

ידוע כי מחירו של כרטיס סטודנט נמוך ב-25% ממחירו של כרטיס מבוגר, לכן :

0.75 * x = 0.75x

מחיר כניסה של סטודנט הוא 0.75x.

תשובה סופית:

מחיר כרטיס ילד- 0.5x

מחיר כרטיס סטודנט- 0.75x

צריך לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים.
משוואה אחת מבוססת על היום הראשון ומשוואה שנייה על היום השני.

משתנה ראשון הוא x – מחיר בשקלים של כרטיס מבוגר.

a – מספר המבוגרים שנכנסו ביום הראשון הוא המשתנה השני.

בניית שתי משוואות עם שני נעלמים

נגדיר

a – מס’ המבוגרים שביקרו במוזיאון ביום הראשון

נתון כי סך ההכנסות באותו יום היה 1560, לכן נבנה משוואה:

ax = 1560

עבור היום השני

נתון כי ביום השני ביקרו 16 ילדים יותר ממבוגרים ביום הראשון ו2 סטודנטים פחות מכמות הילדים באותו יום, לכן:

a + 16 כמות הילדים שביקרו במוזיאון ביום השני.

a + 16 – 2 = a + 14
כמות הסטודנטים שביקרו במוזיאון ביום השני:

נתון כי סך ההכנסות באותו יום היה 2912, לכן נבנה משוואה:

0.5x(a + 16) + 0.75x(a + 14) = 2912

0.5ax + 8x + 0.75ax + 10.5x = 2912

2.פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
יש לנו מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים:

ax = 1560

0.5ax + 8x + 0.75ax + 10.5x = 2912

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:

0.5 * 1560 + 8x + 0.75 * 1560 + 10.5x = 2912

780 + 8x + 1170 +10.5x = 2912

1950 + 18.5x = 2912   / – 1950

18.5x = 962   / : 18.5

x = 52

תשובה סופית:

מחיר כרטיס מבוגר הוא 52 ש”ח

ההבדל בין 100% ל 600% הוא 500%.

נזכור כי בסעיף הקודם הגדרנו:
a מספר המבוגרים
a + 16 מספר הילדים
a + 14 מספר הסטודנטים.

1.מספר המבוגרים שביקרו ביום הראשון
נציב את ערך x שמצאנו במשוואה הראשונה ונמצא את a (מספר המבוגרים שנכנסו ביום הראשון).

ax = 1560

52a = 1560   / : 52

a = 30
30 מבוגרים נכנסו ביום הראשון.

נמצא את כמות הילדים והסטודנטים שביקרו ביום השני:

כמות הילדים
a + 16 = 30 + 16 = 46

כמות הסטודנטים
a + 14 = 30 + 14 = 44

סך המבקרים ביום ראשון: 30

סך המבקרים ביום שני 90 = 46 + 44

נמצא כמה אחוז מהווה כמות המבקרים ביום השני מתוך כמות המבקרים ביום הראשון:

100% ביקרו ביום הראשון
300% ביקרו ביום השני.

לכן ביום שני ביקרו במוזיאון 200% יותר אנשים מאשר ביום ראשון.

סעיף א

A(4 , 5)

B(0 , -3)

C(0 , 5)

סעיף ב

E(-3 , 1)

סעיף ג

(x – 2)² + (y – 1)² = 20

סעיף ד

הנקודה מחוץ למעגל.

מציאת נקודה C

ידוע כי נקודה C היא על הישר y = 5, לכן ערך y של הנקודה הוא 5.
ידוע כי הנקודה על ציר y, לכן ערך x שלה הוא 0.

הנקודה C(0 , 5)

מציאת נקודה B

ידוע כי הנקודה היא החיתוך בין הישר y = 2x – 3 וציר y (לכן ערך x שלה הוא 0).
נציב x = 0 במשוואת הישר למציאת ערך y:

y = 2x – 3
y = 2 * 0 – 3 = -3

הנקודה B(0 , -3)

מציאת נקודה A

הנקודה A היא החיתוך בין שני הישרים הנתונים,

y = 2x – 3
y = 5

לכן נשווה ביניהם וכך נמצא את ערך x של הנקודה.

2x – 3 = 5  / + 3

2x = 8  / :2

x = 4

הנקודה היא על הישר y = 5, לכן ערך y שלה הוא 5.

הנקודה A(4 , 5)

תשובה סופית:

A(4 , 5)

B(0 , -3)

C(0 , 5)

נגדיר את הנקודה E(x , 1) ונציב במשוואת מרחק בין שתי נקודות.
בדרך זו נקבל משוואה עם נעלם אחד.

1.הגדרת הנקודה E ובניית משוואה

נסמן את נקודה E:

E(x , 1)
למציאת ערך x של הנקודה E נציב את המרחק הנתון ואת נקודות E ו-C בנוסחת מרחק בין נקודות:

25 = x² + 4² =
25 = x² + 16  / – 16

x² = 9  / – 9

x² – 9 = 0

(x + 3) (x – 3) = 0

x₁ = 3 , x₂ = -3

נתון כי הנקודה ברביע השני, לכן ערך x שלה הוא שלילי.

לכן הנקודה E(-3 , 1)

אם תוכיחו ש AB הוא קוטר תוכלו למצוא את משוואת המעגל.

דרך הפתרון
נוכיח ש AB הוא קוטר ואז נוכל בקלות יחסית למצוא את משוואת המעגל.

1.הוכחה ש AB הוא קוטר

1. הישר AC היא y = 5.
2. לכן הזווית C = 90.
3. זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר המעגל.
4. לכן AB קוטר המעגל.

2.נמצא את מרכז המעגל

מכוון שAB הוא קוטר מרכז המעגל יהיה נקודת האמצע בין הנקודות A ו-B:

A(4 , 5)
B(0 , -3)
נציב את הנקודות הללו בנוסחת אמצע קטע:

x_mid = 0.5(x_A + x_B)
x_mid = 0.5(4 + 0)
= 0.5 * 4 = 2

y_mid = 0.5(y_A + y_B) =
y_mid =0.5(5 + (-3))
= 0.5 * 2 = 1

לכן מרכז המעגל הוא: (1 , 2)M

נמצא את אורך הרדיוס:

יש הרבה דרכים למציאת אורך הרדיוס:

1. מציאת המרחק בין A או B או C ומרכז המעגל
2. מציאת אורך הקוטר AB וחלוקה ב-2
3. מציאת אורך AB בעזרת משפט פיתגורס במשולש ABC וחלוקה ב-2.

אנו נראה פה את הדרך הראשונה:
אורך הרדיוס שווה למרחק נקודה הנמצאת על המעגל (M) ממרכז המעגל (A).
(1 , 2)M
A(4 , 5)

R² = (4 – 2)² + (5 – 1)²

R² = 2² + 4²
= 4 + 16 = 20

נרכז את הנתונים שאספנו:
מרכז המעגל הוא: (1 , 2)
R² = 20

(x – x₁)² + (y – y₁)² = R²

(x – 2)² + (y – 1)² = 20

צריך להציב את הנקודה במשוואת המעגל.

נציב את הנקודה E(-3 , 1) במשוואת המעגל.

אם יצא 20, הנקודה על המעגל. אם יצא ערך קטן מ-20, הנקודה בתוך המעגל. אם יצא ערך גדול מ-20, הנקודה מחוץ למעגל

כזכור מסעיף ב: הנקודה E(-3 , 1)

(x – 2)² + (y – 1)² = 20
(-3 – 2)² + (1 – 1)² =
(-5)² = 25

התוצאה גדולה מ- 20, לכן הנקודה מחוץ למעגל. סקיצה:

סעיף א1

ההסתברות שנבחרה בת היא 0.6.

סעיף א2

ההסתברות לבחור בת שיצאה לטיול היא 0.5

סעיף ב

ההסתברות הדרושה היא 0.625

סעיף ג

ההסתברות לשלוש הצלחות מתוך חמישה נסיונות היא 0.1323.

1.מילוי הנתונים הבסיסיים
נתחיל במילוי טבלת הסתברויות. נמלא את הנתונים הידועים לנו:

נתון כי 80% מהתלמידים יצאו לטיול.
לכן ההסתברות לתלמיד שיצא לטיול היא 0.8.

לכן 0.2 זו ההסתברות לתלמיד שלא יצא לטיול.

כך נראית הטבלה עכשיו.

2.בניית משוואה והמשך מילוי הטבלה

יש שני נתונים נוספים המתייחסים לכמות הבנים / בנות.

0.75  מהבנים בשכבה יצאו לטיול.
5/6 מהבנות בשכבה יצאו לטיול.

וזה רמז לכך שעלינו לבחור משתנה שמגדיר את כמות הבנים / בנות.

נגדיר:

x ההסתברות שנבחרה בת

לכן ההסתברות שנבחר בן היא:

1 – x

הטבלה עכשיו נראית כך:

נתון כי 0.75 מהבנים ו- 5/6 מהבנות יצאו לטיול, לכן נשלים את הטבלה:

מתוך עמודת “יצאו לטיול” נבנה את המשוואה הבאה:

4.5(1 – x) + 5x = 4.8

4.5 – 4.5x + 5x = 4.8  / – 4.5

0.5x = 0.3  / * 2

x = 0.6

ההסתברות שנבחרה בת היא 0.6.

הסבר נוסף למשוואה:

x ההסתברות שנבחרה בת

1 – x
זו ההסתברות שנבחר בן

נשלים את הטבלה בהתאם לערך x שמצאנו

כעת נשלים את שורת הבנים ושורת הבנות לפי סכום שורה בטבלה:

לפי הטבלה- ההסתברות לבחור בת שיצאה לטיול היא 0.5

הסעיף הוא הסתברות מותנית. שואלים על ההסתברות לבת אם ידוע שנבחר תלמיד שיצא לטיול(בן או בת). נציב בנוסחת הסתברות מותנית:

ההסתברות הדרושה היא 0.625

לסעיף זה נשתמש בנוסחת ברנולי.

נגדיר הצלחה בתור בחירה של בן שיצא לטיול. דורשים מאיתנו 3 הצלחות מ-5 נסיונות

נחשב את המקדם הבינומי:

ההסתברות לשלוש הצלחות מתוך חמישה נסיונות היא:

P = 10 * 0.3³ * (1 – 0.3)² = 0.1323

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

הוכחה

סעיף ב1

הוכחה

סעיף ב2

יחס השטחים בין המשולשים ΔACB ו- ΔMCD הוא 4.

סעיף ג

BC = 6.4

מיתר העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר.

נתחיל עם מציאת גודל הזווית ABC

נמשיך עם מציאת גודל הזווית MDC

שרטוט הפתרון:

שתי הזוויות נשענות על קוטר ולכן גודלן 90 מעלות.

ניתן לחפש זווית משותפת למשולשים.

או להוכיח בעזרת הסעיף הקודם שיש שני ישרים מקבילים.

הערה:
ניתן להוכיח דמיון גם על ידי הוכחה כי AB || DM

שרטוט הפתרון

ידוע כי M היא אמצע CA.
לכן מנת להוכיח שזה קטע אמצעים צריך להוכיח אחד משני הדברים:

1. AB || DM
2. או D היא אמצע BC.

שרטוט הפתרון

CM = MA (רדיוסים)
AB || DM
ולכן DM קטע אמצעים.

במשולשים דומים יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדימיון.

מצאנו בסעיף קודם כי MC = AM = 0.5AC

MC ו- AC הן צלעות מתאימות במשולשים הדומים ΔACB ו- ΔMCD.

נשתמש במשפט כי יחס השטחים שווה ליחס הדמיון בריבוע ונציב:

לכן יחס השטחים בין המשולשים ΔACB ו- ΔMCD הוא 4.
(שטח משולש ΔACB  גדול פי 4).

דרך ראשונה

1. נמצא את האורך של DC בעזרת משפט פיתגורס.
2. נשתמש בסעיף הקודם שבו מצאנו ש MD הוא קטע אמצעים.

ניתן לפתור בשתי דרכים:

דרך ראשונה

1. נמצא את האורך של DC בעזרת משפט פיתגורס.
2. נשתמש בסעיף הקודם שבו מצאנו ש MD הוא קטע אמצעים.

לכן נשתמש במשפט פיתגורס במשולש ΔMDC:

MD² + DC² = MC²  / – MD²

DC² = MC² – MD² = 4² – 2.4² = 10.24

DC = 3.2

בסעיף ב 1 מצאנו כי MD הוא קטע אמצעים במשולש AB, לכן:

DC = 0.5BC  / * 2

BC = 2DC = 2 * 3.2 = 6.4

דרך פתרון שנייה לסעיף ג

לפתרון יש שני שלבים:

• נמצא את הצלעות CB,CA בעזרת דמיון משולשים
• נמצא את BC בעזרת משפט פיתגורס.

הדרך המלאה לפתרון זה לא מופיעה כאן.

סעיף א

∠ACD = 128.68º

סעיף ב

S_ΔABD = 26.23

סעיף ג

אורך הצלע EB הוא 1.4

הסתכלו על משולש ACD ובדקו באיזה משפט ניתן להשתמש.

כדי למצוא את זווית ACD נשתמש במשפט הקוסינוסים על ΔACD:

AD² = AC² + CD² – 2 * AC * CD * cos∠ACD

10² = 7² + 4² – 2 * 7 * 4 * cos∠ACD

100 = 49 + 16 – 56cos∠ACD

100 = 65 – 56cos∠ACD  / – 65

35 = -56cos∠ACD  / : (-56)

cos∠ACD = -5 / 8

∠ACD = 128.68º

דרך הפתרון

• המשמעות של הנתון AB = BC היא שאנו יכולים למצוא את כל הזוויות במשולש ABC.
• בנוסף אנו יודעים שתי צלעות במשולש זה. לכן ניתן להשתמש במשפט הסינוסים במשולש למציאת צלע נוספת.
• לאחר מיכן נוכל למצוא את שטח המשולש.

1.נמצא את הזוויות במשולש ACB

∠ABC = 180 – 51.32 – 51.32 = 77.36

2.נמצא את הצלע BC

למציאת הצלע BC נשתמש במשפט הסינוסים:

לכן:

AB = BC = 5.6

BD = 5.6 + 4 = 9.6

3.מציאת שטח המשולש

כעת נמצא את שטח המשולש בעזרת נוסחת שטח משולש:

S_ΔABD = 0.5 * AB * BD * sin∠ABC =

0.5 * 5.6 * 9.6 * sin77.36 = 26.23

כאשר מבקשים מאיתנו יחס בין שטחים נחפש כמה שיותר דברים משותפים בין שני המשולשים שאנו צריכים לחשב את היחס שלהם.
במקרה זה ניתן למצוא צלע שווה בין המשולשים וסינוס של זווית שווה בין המשולשים.
כמו כן נשתמש בזהות:

sin(180 – x) = sinx

דרך הפתרון

כאשר מבקשים מאיתנו יחס בין שטחים נחפש כמה שיותר דברים משותפים בין שני המשולשים שאנו צריכים לחשב את היחס שלהם.
במקרה זה ניתן למצוא צלע שווה בין המשולשים וסינוס של זווית שווה בין המשולשים.
כמו כן נשתמש בזהות:

sin(180 – x) = sinx

פתרון

שני שטחי המשולשים הם:

S_ABD = 0.5BD * AB * sin x

S_DBE = 0.5BD * BE * sin (180 – x)

אנו רואים ש BD מופיע בשני השטחים לכן מצמצם כאשר מחלקים את השטחים.

בנוסף :
sin(180 – x) = sinx
ולכן גם חלק זה מצטמצם.

נותרנו עם זה שהיחס בין השטחים הוא היחס AB / BE.

EB = 0.25AB

נציב AB = 5.6

EB = 0.25AB

EB = 0.25 * 5.6 = 1.4

תשובה: אורך הצלע EB הוא 1.4

סעיף א1

x ≠ 0

סעיף א2

נק’ מינימום (9 , 1-)

סעיף א3

(0 , 0.79)

סעיף א4

סעיף ב1

c = -9

סעיף ב2

סעיף ג

גודל השטח הנדרש הוא 8 יחידות.

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא שמכנה השבר לא יתאפס.
לכן תחום ההגדרה x ≠ 0

1.מציאת ערך ה x של הקיצון

למציאת נק’ הקיצון ואת סוגן נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס.

בשביל הנוחות נכתוב את הפונקציה עם חזקה שלילית וללא שבר.

f (x) = 3x^-2 – 6x

f ‘ (x) = -2 * 3x^-3 – 6 = -6x^-3 – 6 = 0   / + 6

-6x^-3 = 6  / : (-6)

x^-3 = -1  / ()³

x = -1

חשודה לקיצון: x = -1

2.זיהוי סוג הקיצון

נשים לב כי תחום ההגדרה הוא x ≠ 0 , לכן כדי לבדוק אם הנקודה היא קיצון יש לבדוק את התחום

-1 < x < 0

נציב ערך x מתאים לכל תחום:

עבור התחום x < -1
f ‘ (-2) = -6 * (-2)^-3 – 6 = -5.25 < 0

עבור התחום
-1< x < 0

f ‘ (-0.5) = -6 * (-0.5)^-3 -6 = 42 > 0

הטבלה נראית כך:

3.מציאת ערך y של הקיצון

נציב בפונקציה למציאת ערך y של הנקודה:

f(-1) = 3 * (-1)^-2 -6 * (-1) = 3 + 6 = 9

לכן נק’ הקיצון של הפונקציה היא:

נק’ מינימום (9 , 1-)

למציאת נק’ החיתוך של הפונקציה עם ציר x נשווה את הפונקציה לאפס:

(שימו לב שהשבר נכתב כחזקה שלילית).

f(x) = 3x^-2 – 6x = 0  / + 6x

3x^-2 = 6x  / * x²

3 = 6x³  / : 6

x³ = 0.5

x = 0.79
(הערה: מכוון שזו הייתה חזקה אי זוגית יש לנו פתרון יחיד).

נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 0.79)

אין נק’ חיתוך עם ציר y כי x ≠ 0

נאסוף את הנתונים הידועים לנו עד כה:

ת”ה x ≠ 0

נק’ מינימום (9 , 1-)

נק’ חיתוך עם ציר x היא (0 , 0.79)

אין נק’ חיתוך עם ציר y כי x ≠ 0

נשים לב כי אין לנו מידע על עליית/ירידת הפונקציה בתחום x > 0 , לכן נציב בנגזרת x = 1

f ‘ (x) = -6x^-3 – 6

f ‘ (1) = -6 * 1^-3 – 6 = -12

הנגזרת שלילית, לכן הפונקציה יורדת בתחום x > 0.

כעת אפשר להשלים את סקיצת הפונקציה:

1. צריך להוכיח שלפונקציות f(x), g(x) יש נקודות עבור אותו x.
2. צריך לבנות משוואה  g(x) = f(x) + c = 0
   עבור ערך ה x של נקודת הקיצון ולמצוא את c.

נזכור כי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) היא (9, 1-).

1.מציאת ערך ה x של הקיצון של g(x).

g(x) = f(x) + k

נגזור את g(x):

g ‘ (x) = f ‘ (x) + 0

לכן תחומי העלייה וירידה וכן ערכי x של נק’ הקיצון יהיו זהים בין שתי הפונקציות.
לכן ערך x של נק’ הקיצון של g(x)  הוא 1-.

2.ערך ה y ובניית משוואה

ידוע כי נקודת הקיצון של g(x) היא על ציר ה-x, לכן ערך y שלה הוא 0.
כלומר:
g (-1) = 0

g(-1) = f(-1) + c = 0

נציב f(-1) = 9.

f(-1) + c = 0
9 + c = 0  / – 9

c = -9

כפי שכתבנו בסעיף קודם, התנהגות הפונקציה זהה בפרט להזזה של 9 יחידות כלפי מטה על ציר y (עד שנק’ הקיצון על ציר x), לכן סקיצת הפונקציה היא:

השטח המבוקש הוא השטח הירוק:

ידוע מסעיף קודם כי נקודת החיתוך של g(x) עם ציר x היא נקודת הקיצון ב- x = -1, לכן השטח הוא:

= -3 * (-1)^-1 -3 * (-1)² -9 * (-1) – [-3 * (-3)^-1 – 3 * (-3)² -9 * (-3)] =

= 3 -3 +9 – (1 – 27 + 27) = 8

גודל השטח הנדרש הוא 8 יחידות.

סעיף א

ל- g(x) יש שתי נקודות קיצון.

ל-h(x) יש נקודת קיצון אחת.

סעיף ב

מקסימום: (7 , 2)

מינימום: (3 , 0) , (3 , 2.5)

סעיף ג

סעיף ד

גרף הנגזרת הוא גרף 1

סעיף ה

4 יחידות

לפונקציה יש קיצון כאשר גרף הנגזרת חותך את ציר ה x.

אנו נראה נק’ קיצון בפונקציה בנקודה בה גרף הנגזרת חותך את ציר x ומחליף סימן.

בגרף הנגזרת g ‘ (x)
יש שתי נקודות חיתוך עם ציר x בהן הנגזרת מחליפה סימן,
לכן ל- g(x) יש שתי נקודות קיצון.

בגרף הנגזרת h ‘ (x)
יש נקודת חיתוך אחת עם ציר x בה הנגזרת מחליפה סימן,
לכן ל-h(x) יש נקודת קיצון אחת.

1.מציאת נקודות חשודות כקיצון

כדי למצוא את נק’ הקיצון אנו נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס.

2x(5 – 2x) – x² = 0

10x – 4x – x² = 0

10x – 5x² = 0

-5x(-2 + x) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 2

אלו שתי חשודות לקיצון.

2.נמצא את סוג הקיצון על ידי טבלה

כעת נבדוק את תחומי העלייה והירידה. יש לשים לב כי תחום ההגדרה כולל את הקצה, לכן זו גם נק’ קיצון מקומית ויש לבדוק את סוגה.

נציב x עבור כל תחום בנגזרת כדי לבדוק שליליות/חיוביות:

עבור התחום x < 0

עבור התחום
0 < x < 2

עבור התחום
2 < x < 2.5

כעת נציב את ערכי x שמצאנו שהם נק’ קיצון בפונקציה למציאת ערך ה-y של הנקודה.

עבור x = 0

עבור x = 2

עבור x = 2.5

נק’ הקיצון של הפונקציה:

מקסימום: (7 , 2)

מינימום: (3 , 0) , (3 , 2.5)

נאסוף את המידע הידוע לנו על הפונקציה עד כה:

נק’ הקיצון של הפונקציה:

מקסימום: (7 , 2)

מינימום: (3 , 0) , (3 , 2.5)

לכן סקיצה של הפונקציה תיראה כך:

אנו רואים כי ל-f(x) יש שתי נק’ קיצון פנימיות. בסעיף א מצאתי כי גרף 1 הוא זה בעל שתי נקודות קיצון פנימיות, לכן גרף הנגזרת הוא גרף 1.

הגרף מופיע בסעיף א. השטח הדרוש בסעיף זה הוא השטח הירוק:

לחישוב גודל השטח נבצע אינטגרל מסוים על הנגזרת.

מסעיף ב אנו יודעים כי הנגזרת מתאפסת עבור x = 0 ו- x = 2, לכן גבולות האינטגרל הם 0 ו-2.

כמו כן מצאנו כי:

f(0) = 3
f(2) = 7

= f(2) – f(0) = 7 – 3 = 4

את ערכי f(2) ו- f(0) חישבנו בסעיף ב לצורך מציאת נק’ הקיצון.

לכן השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף הנגזרת לציר x הוא 4 יחידות.

סעיף א

(0 , 4)

סעיף ב

הסבר

סעיף ג

עבור x = 4 / 3 שטח הטרפז OABC הוא מקסימלי.

למציאת נק’ החיתוך השנייה עם ציר x נשווה את הפונקציה ל-0.

-x² + 4x = 0

-x(x – 4) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 4

ראשית הצירים היא נקודת החיתוך הנתונה, לכן נקודה C היא (0 , 4)

הישר AB יהיה מקביל לציר x אם לנקודות A ו-B יהיה את אותו ערך y.

נתון כי ערך y של נק’ A הוא:

f(x) = -x² + 4x

נתון כי ערך ה-x של נקודה B הוא:

4 – x

נציב את ערך ה-x של B בפונקציה למציאת ערך ה-y של הנקודה.

= f(4 – x) = -(4 – x)² + 4(4 – x) =
-(16 – 8x + x²) + 16 – 4x

= -16 + 8x – x² + 16 -4x =
-x² + 4x = f(x)

לנקודות A ו-B יש אותו ערך y, לכן הישר AB מקביל לציר x.

1.חישוב המרכיבים של נוסחת שטח טרפז
נוסחת שטח טרפז:

S = 0.5h * (AB + CO)

אורך CO:

ידוע לנו כי O היא ראשית הצירים ונקודה C היא (0 , 4)

הישר הוא על ציר x, לכן אורכו הוא:

x_c – x_o = 4 – 0 = 4

אורך AB:

ידוע לנו כי:

x_A = x , x_B = 4 – x

בנוסף, ידוע לנו שהישר AB מקביל לציר x, לכן אורכו של הישר הוא:

x_B – x_A = 4 – x – x = 4 – 2x

אורך h:

מכיוון שהצלע OC היא על ציר x, אורך הגובה הוא ערך y של הנקודות A ו-B.

מצאתי בסעיף ב שערך זה הוא

-x² + 4x

2.מציאת פונקציה המתארת את שטח הטרפז
נציב את כל הנתונים שמצאנו בסעיף זה בנוסחת שטח טרפז:

= S = 0.5h * (AB + CO) =
0.5 * (-x² + 4x) * (4 – 2x + 4)

= 0.5 * (-x² + 4x) * (8 – 2x)
= 0.5 * (-8x² + 2x³ + 32x – 8x²)
= x³ – 8x² + 16x

נגדיר:

g(x) = x³ – 8x² + 16x

3.מציאת ערך מקסימלי לשטח הטרפז
מבקשים את ערך x עבורו שטח הטרפז הוא מקסימלי, לכן צריך לחפש את נק’ המקסימום של g(x).

נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס.

g ‘ (x) = 3x² – 16x + 16 = 0

חשודות לקיצון:

x₁ = 4 / 3 , x₂ = 4

4.נבדוק אם הנקודות החשודות כקיצון הם מקסימום

נציב בערך הנגזרת x עבור כל אחד מהתחומים כדי לבדוק חיוביות/שליליות וכתוצאה מכך עלייה/ירידה של הפונקציה

g ‘ (x) = 3x² – 16x + 16

g ‘ (0) = 3 * 0² – 16 * 0 + 16 = 16 > 0

g ‘ (2) = 3 * 2² – 16 * 2 + 16 = -4 < 0

g ‘ (5) = 3 * 5² – 16 * 5 + 16 = 11 > 0

נשלים את הטבלה בהתאם:

עבור x = 4 / 3 הפונקציה מקבלת מקסימום.

לכן עבור x = 4 / 3 שטח הטרפז OABC הוא מקסימלי.