בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 481 חורף 2018

סעיף א

הסוחר קנה 120 מוצרים.

סעיף ב

במכירה זו התקבלו 3,000 שקלים.

עבור הקנייה
נגדיר:
x  מספר המוצרים שקנה הסוחר.
לכן המחיר שבו נקנה כל מוצר הוא:

מכאן עליכם לבנות טבלה הכוללת 3 שורות לשלושת מצבי המכירה.

עליכם לחשב כמה התקבל בכל שלב של המכירה.
וסכום השלבים הוא 7520 שקלים.

נושא השאלה: בעיית מכירה עם טבלה.

1.עבור הקנייה
נגדיר:
x  מספר המוצרים שקנה הסוחר.
לכן המחיר שבו נקנה כל מוצר הוא:

2.עבור המכירה
נחשב את הסכום שקיבל הסוחר בכל אחד משלבי המכירה.
0.1x מהמוצרים נמכרו במחיר 40 שקלים. לכן הסכום שהתקבל עבורם הוא:
0.1x * 40 = 4x

כל מוצר שנמכר ברווח של 60% נמכר במחיר של:

מספר המוצרים שנמכר במחיר הזה הוא:
x – 0.1x – 20 = 0.9x -20

לכן המוכר קיבל על המוצרים הללו:

עבור כל המוצרים הסוחר קיבל 7520.

אם היינו רוצים לארגן את הנתונים בטבלה זה היה כך:

באפור רשומים נתוני השאלה.
באדום תוצאה של חישוב.
השורה האחרונה היא כולה חישוב ונובעת מהשורות הקודמות.

	מחיר פריט	מספר פרטים	סך הכל
קנייה	6000/x	x	6000
מכירה ב 40	40	0.1x	4x
השארה במחסן	0	20	0
מכירה ברווח 60%		x – 0.1x – 20

3.בניית משוואה

המשוואה אומרת שהסכום שהתקבל בכל שלבי המכירה שווה ל 7520.

נצמצם x באחד האיברים ונקבל:

נכפיל במכנה המשותף x ונקבל:
4x² + 8640x – 192,000 = 7520  / -7520
4x² +1120x -192,000 = 0   / : 4
x² + 280x – 48,000 = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x₁ = 120,  x₂ = -400

x הוא מספר המוצרים שהסוחר קנה, ולכן רק התשובה החיובית מתאימה לנתונים.
תשובה: הסוחר קנה 120 מוצרים.

אם מחיר מוצר גדול ב 200% ממחיר מוצר אחר אז מחירו 300% של המוצר האחר (כך 200% הם ההפרש).

המחיר שבו המוכר קנה מוצר אחד הוא:
50 = 120 : 6000

רווח של 200% זה אומר המחיר החדש הוא 300% מהמחיר המקורי.
150 = 3 * 50
מחיר המכירה הוא 150 שקלים.

נמכרו 20 מוצרים.
3000 = 20 * 150
תשובה: במכירה זו התקבלו 3,000 שקלים.

סעיף א

נקודה B היא (3 , 0)

נקודה D היא (0 , 9)

נקודה C היא: (0 , 4)

סעיף ב

שטח הדלתון הוא 45 יחידות שטח.

סעיף ג1

שטח המשולש הוא 9 יחידות שטח.

סעיף ג2

שטח המחומש הוא 36 יחידות שטח.

דרך הפתרון: נמצא את שיעורי הקודקודים B ו-D, ונמצא נקודה שנמצאת במרחק זהה משניהם ונמצאת על ציר ה-x (לכן y = 0)

מציאת B ו-D:

ידוע ש-B ו-D הן נק’ החיתוך של הישר הנתון עם הצירים.

למציאת שיעור y של B נציב במשוואת הישר x = 0:

y = -0 / 3 + 3 = 3

לכן נקודה B היא (3 , 0)

למציאת שיעור x של D נשווה את משוואת הישר ל-0:

-x + 9 = 0  / + x

x = 9

לכן נקודה D היא (0 , 9)

מציאת נקודה C

ידוע כי נקודה C היא על ציר ה-x , לכן y = 0.

נגדיר משתנה: x – שיעור ה-x של נקודה C

נמצא את המרחק של C מנקודה B ומנקודה D, ונשווה ביניהן.

המרחק מנקודה B:

המרחק מנקודה D:

נשווה בין המרחקים:

(9 – x)² = x² + 9

81 – 18x + x² = x² + 9  / – x² – 9

72 – 18x = 0

18(4 – x) = 0

x = 4

לכן נק’ C היא: (0 , 4)

תשובה סופית:

נקודה B היא (3 , 0)

נקודה D היא (0 , 9)

נקודה C היא: (0 , 4)

שטח דלתון הוא מחצית מכפלת האלכסונים.

כל הקודקודים ידועים לנו, לכן נחשב את אורכי האלכסונים בעזרת נוסחת מרחק בין נקודות ונציב בנוסחת השטח:

S_ABCD = 0.5 * √90 * √90 = 0.5 * 90 = 45

שטח הדלתון הוא 45 יחידות שטח.

שטח משולש:

S_ΔAEF = 0.5 * EF * h

אורך EF ידוע לנו, חסר לנו רק אורך הגובה.

מכיוון ש-EF מקביל לציר x, הגובה אליו מאונך לציר x.

לכן אורכו הוא:

h = y_A – y_EF = 9 – 5.4 = 3.6

נציב בנוסחת השטח:

S_ΔAEF = 0.5 * EF * h = 0.5 * 5 * 3.6 = 9

שטח המשולש הוא 9 יחידות שטח.

המחומש הוא השטח המשלים של המשולש EAF לדלתון ABCD, לכן שטחו הוא:

S = S_ABCD – S_ΔAEF = 45 – 9 = 36

שטח המחומש הוא 36 יחידות שטח.

סעיף א1

P = 1/6

סעיף א2

P = 0.11

סעיף ב1

P = 5/6

סעיף ב2

ההסתברות ששירה תזכה בפרס היא 12 / 5.

האפשרויות שיצא מספר שגדול מ-2 הן: 3,4,5,6(4 אפשרויות), לכן ההסתברות שיצא מספר גדול מ-2 היא 6 / 4.

ההסתברות שיצא פלי היא 0.5.

לכן ההסתברות שיצא פלי פעמיים ושיתקבל מספר הגדול מ-2 בקובייה היא:

אנו יודעים מה ההסתברות ששירה תזכה בפרס במשחק. עלינו לבדוק מה ההסתברות שתזכה פעמיים בפרס מתוך 4 פעמים, לכן נשתמש בנוסחת ברנולי:

המקדם הבינומי:

ההסתברות לשתי הצלחות מתוך 4 היא:

נחשב מתי סכום ההטלות יהיה גדול או שווה ל-10, שזו ההסתברות המשלימה.

כדי שסכום ההטלות יהיה גדול או שווה ל-10 יש את האפשרויות הבאות:

ההסתברות לקבל מספר ספציפי בהטלה אחת היא 6 / 1.

לכן ההסתברות לקבל שני מספרים ספציפיים בשתי הטלות היא:

ישנם שישה אירועים אפשריים, לכן ההסתברות לקבל אחד מהם היא:

חישבנו את ההסתברות לקבל מספר גדול או שווה ל-10. דרשו מאיתנו את ההסתברות למספר קטן מ-10(חישבנו הסתברות משלימה), לכן נחסיר את המספר שיצא מ-1:

את הסתברות לכך שסכום המספרים יהיה קטן מ-10 חישבנו בסעיף הקודם.

ההסתברות לכך שיצא עץ היא 0.5.

נחשב את ההסתברות שיצא סכום מספרים קטן מ-10 וגם עץ(כפל הסתברויות):

ההסתברות ששירה תזכה בפרס היא 12 / 5.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

הוכחה

נסמן: R – רדיוס המעגל

הוכחתי בסעיף א שהמשולש ΔACB הוא ישר זווית(זווית היקפית הנשענת על הקוטר היא ישרה), לכן:

BC = cos∠ACB * AC = cos60 * 2R = 0.5 * 2R = R

סעיף א1

x ≠ 1.

סעיף א2

x = 1 היא אסימפטוטה אנכית.

y = a היא אסימפטוטה אופקית.

סעיף א3

נקודת הקיצון של הפונקציה היא : (x,y) = (1, a – 1-) , נקודת מינימום.

סעיף א4

עלייה:   
ירידה:      או   

סעיף ב

a = -3

סעיף ג1

נקודת החיתוך עם ציר y היא: (3- , 0)

סעיף ג2

סעיף ד

k = -3, k = -4.

 , כאשר a פרמטר.

תחום הגדרה:
עבור x = 1  המכנה מתאפס. חילוק באפס היא פעולה שאינה מוגדרת.
לכן עבור x = 1 הפונקציה אינה מוגדרת.
תחום ההגדרה: x ≠ 1.

אסימפטוטות:

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
עבור  x = 1 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 1 היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.
לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל :  a + 0/1 , כלומר ל: a.
(הפרמטר a אינו תלוי ב- x , לכן גם כאשר x שואף לאינסוף הוא יישאר)
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.
לכן  y = a היא אסימפטוטה אופקית.

נקודות קיצון:

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון של הפונקציה, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.

נחלק את המונה והמכנה ב – (1-x).
(מותר לעשות זאת  – כי אנו יודעים שהביטוי 1-x  שונה מ -0  עבור כל x בתחום ההגדרה)

נכנס איברים ונשווה ל – 0:

המכנה שונה מ-0 עבור כל x בתחום ההגדרה.
לכן המנה שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל – 0.
4x – 4 = 0-
4x = 4-
x = -1

לכן x = -1 היא נקודה חשודה לקיצון.
נבדוק האם היא נקודת קיצון לפי תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.

נפצל ל – 3 תחומים:
(חשוב לזכור כי מפצלים לתחומים גם לפי נקודת אי ההגדרה של הפונקציה)
1. 
2. 
3. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

לכן הנקודה x = -1 היא נקודת מינימום.

נמצא את שיעור ה- y שלה ע”י הצבת x = -1 בפונקציה:

תשובה: נקודת הקיצון של הפונקציה היא : (x,y) = (-1, a – 1) , נקודת מינימום.

תחומי עליה וירידה:

מצאנו בסעיף 3 את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

תשובה:
עלייה:   
ירידה:      או   

נתון שלפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה היא  y = -3.
מצאנו בסעיף א’ כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא y = a.
לכן בהכרח מתקיים a = -3.

1. נקודות חיתוך עם ציר y :
   על מנת למצוא אותן,  נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
   f (0) = 0/1 – 3
   f(0) = -3
   לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא: (3- , 0)

סקיצה:

ד. ניתן לראות מהשרטוט כי עבור k = -4 הישר יחתוך את הפונקציה בנק’ אחת בלבד (שהיא נקודת הקיצון).
עוד ניתן לראות כי גם עבור k = -3 תהיה רק נקודת חיתוך אחת.
זאת מכיוון ש y = -3 היא אסימפטוטה אופקית, ולכן הפונקציה לא תקבל ערך זה פרט לנקודת החיתוך שלה עם ציר y.

תשובה: k = -3, k = -4.

סעיף א1

סעיף א2

מקסימום: (0,7)
מינימום: (7,0) , (7,0-)

סעיף א3

סעיף ב1

אסימפטוטות אנכיות: x = ± 7

סעיף ב2

חיוביות:   
שליליות:   

סעיף ב3

סעיף ג

השטח הכלוא שווה ל – 3.39  יחידות ריבועיות.

חקירת הפונקציה:

תחום הגדרה:
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי.
כלומר:

נעביר אגף:
x² ≤ 49
משוואה זו מתקיימת עבור:

לכן זהו תחום ההגדרה.

נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון של הפונקציה, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.
נגזור לפי נגזרת מורכבת של שורש.

המנה שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
לכן x = 0 נקודה חשודה לקיצון.
**נשים לב כי המכנה מתאפס עבור x = ± 7 , ואז הנגזרת איה מוגדרת. לכן אלו גם נקודות חשודות לקיצון.

נבדוק האם הן נקודות קיצון לפי תחומי עלייה וירידה של הפונקציה.

נפצל ל – 2 תחומים:
1. 
2. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע”י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

(הנקודות x = ±7 הן נקודות קצה, ולכן ניתן לקבוע האם הן מינימום או מקסימום לפי התחום שלצידן)

תשובה:
מקסימום: (0,7)
מינימום: (7,0) , (7,0-)

סקיצה:

אסימפטוטות: (מאונכות לציר x)
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
עבור  x = ± 7 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן הישרים x = ± 7 הם אסימפטוטות אנכיות של נגזרת הפונקציה.

תחומי חיוביות ושליליות:
מצאנו בסעיף א’ את תחומי העלייה והירידה, שהם נובעים מתחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת.
לכן:
חיוביות:   
שליליות:   

סקיצה של הנגזרת:

חישוב השטח הכלוא:
זהו השטח שנדרש לחשב:

השטח מוגבל מלמעלה ע”י פונקציית הנגזרת, ומהצדדים ע”י הישרים x = -6, x = 0.
לכן השטח נתון ע”י האינטגרל:

אין צורך לפתור את האינטגרל, מכיוון שאנו יודעים שפונקציה זו היא הנגזרת של הפונקציה המקורית.
לכן אנו יודעים מהי הפונקציה הקדומה.
לכן מתקיים:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 3.39  יחידות ריבועיות.

סעיף א

אורך האלכסון BD עבורו אורך הצלע DF הוא מינימלי הוא: a/2.

סעיף ב

AB/BE = 1

BF הוא אלכסון בריבוע BEFG. לכן, הזווית GBF שווה ל – 45º.
BD הוא אלכסון בריבוע ABCD. לכן, הזווית CBD שווה ל – 45º.

לכן, מחיבור הזויות, הזווית DBF שווה ל – 90º.
לכן המשולש BDF  הוא משולש ישר זווית.

נשים לב כי זוהי בעיית קיצון.
אנו נדרשים למצוא את אורך האלכסון BD עבורו אורך הקטע DF מינימלי.
לכן אנו צריכים לבטא את DF כפונקציה של BD, ואז לגזור את הפונקציה כדי למצוא את נק’ המינימום שלה.

לכן נסמן – BD = x.
מהנתון: BD + BF = a , נסיק כי:  BF = a – x

המשולש BDF הוא משולש ישר זווית, ולכן נוכל להשתמש במשפט פיתגורס:
DF² = BD² + BF²
נציב את ערכי הצלעות שמצאנו לפי x:
DF² = x² + (a-x)²
DF² = x² + a² – 2ax + x²
DF² = 2x² – 2ax + a²
נוציא שורש: (לא נצטרך לחלק ל – ± מכיוון שאורך של צלע אינו יכול להיות שלילי)
(DF = √(2x² – 2ax + a²
כעת לשם הנוחות נסמן (DF = f(x – זוהי הפונקציה לה אנו רוצים למצוא נק’ מינימום.

כעת נגזור ונשווה ל – 0 על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון:

המנה שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
4x – 2a = 0
4x = 2a
x = a/2

זוהי נקודה חשודה לקיצון.
יש כעת לוודא כי היא אכן נקודת מינימום כנדרש בשאלה.
נוודא זאת ע”י טבלה:

לכן x = a/2 היא אכן נקודת מינימום של הפונקציה.
נזכור כי x מסמן את הצלע BD, והפונקציה מסמנת את הצלע DF.

תשובה לסעיף א’: אורך האלכסון BD עבורו אורך הצלע DF הוא מינימלי הוא: a/2.

BD = a/2
נתון כי : BD + BF = a
לכן : BD = BF = a/2.

כלומר, האלכסונים של שני הריבועים שווים.
מכך ניתן להסיק שהריבועים ABCD ו – BEFG זהים.
ולכן צלעות הריבועים הללו שוות.

תשובה לסעיף ב’: AB/BE = 1

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג1

הוכחה

סעיף ג2

היחס הוא 1:5

לפתרון הסעיף נסתכל על המשולשים ΔEBG , ΔBDC

1. נגדיר את אורך EC כ X ס”מ.
2. CB = 4CE = 4x
   EB = CB + CE = 5x
3. יחס צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה זה לזה לכן:
   

תשובה: היחס הוא 1:5.
הערה: במקום בדמיון משולשים היה ניתן להשתמש בהרחבה הראשונה של משפט תאלס: