פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות 481 קיץ 2023

סעיף א

המרחק בין הבית של דני ובין הבית של אריאל הוא 24 ק”מ

סעיף ב

הם נפגשו בשעה 10:00

סעיף ג

דני צעד ביום שני במהירות של 7.2 קמ”ש.

סעיף ד

עברה שעה ורבע מהרגע שבו דניאל ואריאל יצאו עד שהמרחק ביניהם היה 5 ק”מ.

1.נבחר משתנה אחד – ובאמצעותו נגדיר את המרחק שכל אחד מיהם עבר.

2.מכוון שהם נפגשו באמצע הדרך – זה אומר שהם עברו מרחקים שווים.

נשווה בין הדרכים:

8t = 6 (t + 0.5)

8t = 6t + 3

2: / 2t = 3

t = 1.5

נציב באחת מהדרכים את ה t שמצאנו:

8 • 1.5 = 12

מדובר בחצי הדרך ולכן נכפיל ב-2:

2 • 12 = 24

המרחק בין הבית של דני לבית של דניאל הוא 24 ק”מ.

דרך שנייה: להגדיר את הדרך שכל אחד מיהם עבר כמשתנה

בעיניי זו דרך המובילה למשוואה קצת יותר קשה.

אבל אציג אותה כאן למקרה שבחרתם בה.

נבנה משוואה לפי עמודת הזמן, על מנת להשוות את הזמנים נוסיף חצי שעה לאריאל מכיוון שהוא היה חצי שעה פחות בדרך

לכן הדרך היא 2 • 12 = 24 ק”מ

המרחק בין הבית של דני ובין הבית של אריאל הוא 24 ק”מ

בסעיף הקודם מצאנו את x, נציב אותו באחד מהזמנים מהטבלה

12 / 6 = 2

מצאנו שדני הלך שעתיים ולכן הם נפגשו בשעה 10:00.

אנו יכולים לחשב את זמן ההליכה של אריאל.

מכך להבין את זמן ההליכה של דני.

ומכך לחשב את המהירות של דני.

נמצא את הזמן שאריאל צעד:

24 : 8 = 3

לכן הזמן שדני צעד:

 3 + 0.33 = 3.33

והמהירות של דני היא:

24 : 0.33 = 7.2

דני צעד ביום שני במהירות של 7.2 קמ”ש.

5 קילומטר לפני שנפגשו זה אומר שהם הלכו 19 קילומטר.

נגדיר את המרחק שכל אחד מיהם עבר בנפרד וסכום המרחקים הוא 19.

7.2t + 8t = 24 – 5

15.2t = 19

t = 1.25

עברה שעה ורבע מהרגע שבו דניאל ואריאל יצאו עד שהמרחק ביניהם היה 5 ק”מ.

סעיף א 1

y = 2x + 7

סעיף א 2

B (0 , 7)

סעיף ב

BD = 8√5

סעיף ג

D (-8 ,-9)

סעיף ד

(x + 7)² + (y – 3)² = 20

עלינו להסתמך על התכונה של הדלתון שהיא:

האלכסונים מאונכים והאלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.

כדי למצוא את משוואת BD אנו צריכים:

1. שיפוע
2. נקודה.

את השיפוע נסיק מכך ש AC מאונך ל BD.

והנקודה תהיה הנקודה E.

בדלתון האלכסון הראשי חוצה את המשני ולכן AE = EC מכאן ניתן להגיד שE אמצע קטע ולכן נחשב לפי הנוסחאות לאמצע קטע:

מציאת הנקודה E

מציאת השיפוע של BD

נחשב את השיפוע של AC לפי הנקודות A ו-C

האלכסונים בדלתון מאונכים זה לזה ולכן נחשב את שיפוע האלכסון BD לפי מכפלת שיפועים שווה ל1- :

m_AC • m_BD = -1

-0.5 • m_BD = -1 / :-0.5

m_BD = 2

נציב את השיפוע והנקודה שמצאנו בנוסחא למציאת משוואת ישר:

y – y₁ = m (x-x₁)

y – 1 = 2 (x – (-3))

y = 2x + 7

משוואת האלכסון BD היא y = 2x + 7

הקודקוד B נמצא על ציר ה-y ולכן נציב x = 0 במשוואת הישר BD על מנת למצוא את ערך ה-y:

הקודקוד B נמצא על ציר ה-y ולכן נציב x = 0 במשוואת הישר BD על מנת למצוא את ערך ה-y:

y = 2 • 0 + 7

y = 7

B (0 , 7)

שטח דלתון מחשבים על פי מכפלת אלכסונים חלקי 2.

נתון ששטח הדלתון ABCD הוא 80, שטח דלתון מחשבים על פי מכפלת אלכסונים חלקי 2.

לכן נמצא קודם את אורך האלכסון AC ולאחר מכן נבנה משוואה.

נפתור בשני שלבים:

1. נגדיר את הנקודה D בעזרת נעלם אחד (והתכונה שהיא נמצאת על הישר BD).
2. נציב את הנתונים בנוסחת המרחק בין B ל D.

נגדיר את D

הנקודה D נמצאת על המשוואה y = 2x + 7, נסמן את ה-x של D ב-x ולכן הy שווה ל2x + 7

D (x , 2x + 7)

נציב את הנתונים של B,D בנוסחת מרחק

חישבנו ש 5√BD = 8 ולכן נמצא את D על ידי הצבה בנוסחת דיסטנס:

x₁ = 8 נפסל כי הנקודה D נמצאת ברביע שלישי.

לכן נציב x₂ =  -8 במשוואה y = 2x + 7

y = 2 • -8 + 7

y = -9

D (-8 , -9)

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

הישר AE מאונך למשיק BD בנקודה E.

לכן E היא נקודת ההשקה ו- E נמצאת על המעגל.

נסיק את האורך של AE (הרדיוס) מאורכו של AC שמצאנו קודם לכן.

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

הישר AE מאונך למשיק BD בנקודה E.

לכן E היא נקודת ההשקה ו- E נמצאת על המעגל.

בסעיף הקודם מצאנו:

5√AC = 4

AC הוא הקוטר ולכן אורך הרדיוס AE הוא חצי ממנו:

5√AE = 2

נציב את אורך הרדיוס ונקודת מרכז המעגל במשוואת המעגל.

משוואת המעגל היא:

(x – (-7))² + (y – 3)² = (2√5)²

(x + 7)² + (y – 3)² = 20

סעיף א

0.55 = (צמחוני ∩ מקלות אכילה) P

סעיף ב 1

0.85 = (מקלות אכילה ∪ צמחוני) P

סעיף ב 2

סעיף ג

השאלה מתאימה לטבלה כי היא מדברת על שתי חלוקות ברורות:

צמחוניים או טבעוניים.

מקלות אכילה או סכין.

המשפט “ההסתברות שתושב בכפר הוא צמחוני גדולה ב 0.2 מן ההסתברות שתושב הוא טבעוני”.

מאפשר למצוא את ההסתברות לצמחוני או טבעוני.

המשפט “25% מתושבי הכפר שאוכלים באמצעות סכין ומזלג הם צמחונים”

מאפשר למצוא את אחד המלבנים הפנימיים של הטבלה.

נגדיר:

t  ההסתברות לטבעוני:

לכן ההסתברות לצמחוני:

t + 0.2

סכום ההסתברויות הוא 1.

t + t + 0.2 = 1

2t = 0.8 / :2

t = 0.4

נציב את כל הנתונים שאספנו בטבלה:

נחשב את ההסברות המבוקשת בעזרת טבלה:

 = (צמחוני ∩ מקלות אכילה) P

0.6 – 0.05 = 0.55

כך נראית השלמת הטבלה:

זהו בטבלה את הקבוצה היחידה מתוך ה 4 שלא מתאימה לטבלה וחסרו אותה מהשלם על מנת לקבל את את הקבוצה המבוקשת.

או

מצאו את הקבוצות שכן מתאימות למשפט.

המשפט הוא:

“צמחוני או שהוא אוכל באמצעות מקלות אכילה”

הקבוצה היחידה בטבלה שאינה מתאימה היא טבעוניים שאוכלים עם סכין ומזלג.

נחסר אותה:

1 – 0.15 = 0.85

תשובה: 0.85 היא ההסתברות לצמחוני או מקלות אכילה.

זו המשוואה שעלינו לבנות.

מצד ימין אנו יודעים את המספרים.

נציב אותם ונמצא את מה שמצד שמאל.

0.55 זו ההסתברות לצמחוני שאוכל בעזרת מקלות אכילה.

לכן ההסתברות המבוקשת היא 0.55 מתוך 0.85.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

נחשב כמה צמחוניים שאוכלים עם מקלות אכילה יש.

נתון שיש סך הכל 60 תושבים, מתוכם 0.55 הם צמחונים שאוכלים באמצעות מקלות אכילה.

נחשב כמה תושבים כאלה יש:

60 • 0.55 = 33 תושבים

בבחירה הראשונה יש 33 מתוך 60.

בבחירה השנייה יש 32 מתוך 60.

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

סעיף ג 1

CB = 12

סעיף ג 2 

2√R = 8

נחפש זוויות קודקודיות שוות וזוויות ישרות במלבן.

היחס המבוקש הוא בין צלעות מתאימות – כלומר זה יחס הדמיון.

יחס הדמיון שווה לשורש יחס השטחים.

היחס המבוקש הוא בין צלעות מתאימות – כלומר זה יחס הדמיון.

יחס הדמיון שווה לשורש יחס השטחים ולכן:

בעזרת יחס הדמיון ניתן למצוא את AD.

ΔAFD ∼ ΔBFE

AD = CB = 12 – במלבן צלעות נגדיות שוות

זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.

זווית C היא היקפית בת 90 מעלות ולכן DE הוא קוטר.

ניתן לחשב את DE בעזרת פיתגורס ואז לחלק ב 2 כדי למצוא את הרדיוס.

במלבן כל הזוויות ישרות – ∠C = 90º

זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר ולכן DE קוטר

ולכן אם נמצא את DE ונחלק אותו ב2 נמצא את הרדיוס

נתון שטח המלבן ABCD הוא 192

ולכן:

AD • DC = 192

12 • DC = 192 / :12

DC = 16

DE = BE + BC = 4 + 12 + 16

משפט פיתגורס במשולש EDC:

DC² + EC² = DE²

  16² + 16² = DE²

 512 = DE² / √

DE = 16√2

16√2 / 2 = 8√2

הרדיוס הוא 2√8

סעיף א 

AB = 17.18

סעיף ב

AC = 14.52

סעיף ג

∠ADC = 65.16º

סעיף ד

 ∠CAD = 45.29º

סעיף ה

BC = 26.44

נציב את הזווית הידועה בנוסחה הטריגונומטרית לשטח משולש.

נגדיר AB = BC = x

AB = 17.18

ניתן לחשב את AC בעזרת הנתונים מהסעיף הקודם ומשפט הקוסינוסים.

משפט הקוסינוסים במשולש ABC:

AC² = 17.18² + 17.18² – 2 • 17.18 • 17.18 • cos50º

AC² = 210.86 / √

AC = 14.52   או  AC = -14.52

התשובה השלילית נפסלת ולכן AC = 14.52

כאשר נתון לנו רדיוס המעגל החוסם זה רמז להצבה במשפט הסינוסים.

משפט הסינוסים במשולש ADC:

נתון כי במשולש ADC כל הזוויות חדות ולכן הפתרון היחיד הוא:

∠ADC = 65.16

בעזרת משפט הסינוסים.

 ∠CAD = 180º – 69.55º – 65.16º = 45.29º

נסתכל על משולש BDA ונשתמש במשפט הקוסינוסים.

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות וסכום זוויות במשולש 180  -∠BAC = (180º – 50º) / 2

∠BAC =  65º

∠BAD = 45.29º + 65º = 110.29º

BC² = 15² + 17.18² – 2 • 17.18 • 15 • cos110.29º

√ / BC² = 698.88

BC = 26.44  או  BC = -26.44

התשובה השלילית נפסלת כי צלע היא גודל חיובי ולכן: BC = 26.44

סעיף א

x ≠ 0

סעיף ב

( -1.59 , 0)

סעיף ג

min (2 , 3)

סעיף ד

גרף 3

סעיף ה

3.5

תחום ההגדרה:

x ≠ 0

נציב y = 0 בפונקציה על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

אנו יכולים להכפיל ב x² כי הוא שונה מ 0 בתחום ההגדרה.

נקודת החיתוך עם ציר ה-x:

(-1.59 , 0)

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-1) = 9

f ‘ (1) = -7

f ‘ (3) = 57

נציב את ערך ה-x של נקודת הקיצון בפונקציה המקורית על מנת למצוא את ערך ה-y:

נקודת הקיצון:

min (2 , 3)

גרף 3 מתאר את הפונקציה.

לפונקציה יש נקודת קיצון אחד מסוג מינימום ברביע 1 ובנוסף לפי הטבלה מהסעיף הקודם כאשר x < 0 הפונקציה עולה.

נשתמש בנוסחה:

השטח המוגבל הוא 3.5

אפשרות אחרת לחישוב האינטגרל היא שימוש בנוסחה:

סעיף א

b = 9

סעיף ב

x ≥ -4.5

סעיף ג 1

min ( – 2.5 , – 2.25)

max ( – 4.5 , – 1.25)

נציב את הנקודה במשוואת הפונקציה:

(8,0)

בתחום הגדרה הביטוי שבתוך השורש צריך להיות גדול או שווה ל 0:

 2x + 9 ≥ 0

2x ≥ -9

x ≥ -4.5

תחום הגדרה של המכנה שהכפלנו בו:
0 ≠ 2x + 9

2x ≠ -9

x ≠ -4.5

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-4) = -1

f ‘ (-2) = 0.236

נציב את ערכי ה-x בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y:

min ( – 2.5 , – 2.25)

max ( – 4.5 , – 1.25)

נקודות הקיצון הן:

min ( – 2.5 , – 2.25)

max ( – 4.5 , – 1.25)

נציב x = 0 על מנת למצוא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y:

(0 , – 2)

 min ( – 2.5 , – 2.25) max ( – 4.5 , – 1.25)  (0 , 2)

גרף 4 הוא גרף הנגזרת.

נקודת המינימום של הפונקציה היא נקודת החיתוך של הנגזרת עם ציר ה-x והיא נמצאת בתחום x < 0 ולכן ניתן לפסול את גרפים 1 ו-3.

כאשר הפונקציה עולה הנגזרת חיובית ולהיפך, הפונקציה יורדת ואז עולה ולכן הנגזרת שלילית ואז חיובית ולכן גרף 4 יתאים.

סעיף א

סעיף ב

x = 4

סעיף ג

לא ייתכן

הזוויות A, B, D, E הן ישרות כי נתון BE גובה וטרפז ABCD הוא ישר זווית

מכאן ניתן להגיד שABED הוא מלבן – מרובע עם שלוש זוויות ישרות הוא מלבן.

נסמן AB = DE = EC = x משום שבמלבן הצלעות הנגדיות שוות ונתון שE אמצע DC.

מכוון שנתון לנו שטח טרפז אז נציב בנוסחת שטח טרפז.

BE = AD – במלבן הצלעות הנגדיות שוות

נחשב את BC לפי משפט פיתגורס:

נבנה פונקציה המתארת את הסכום המבוקש:

נגזור את הפונקציה ונראה מתי היא שווה 0:

x = 4 היא הנקודה החשודה כמינימום.

נבדוק בעזרת טבלה.

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (3) = -1050

f ‘ (5) = 3690

ולכן עבור x=4 סכום ריבועי השוקיים של הטרפז הוא מינימלי.

אם נציב את ה-x שמצאנו בסעיף הקודם נקבל שסכום ריבועי השוקיים של הטרפז הוא 32 ומדובר בסכום מינימלי ולכן 30 לא ייתכן.