בדף זה פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות חורף 2024 שאלון 481 מועד א.
שאלה 1 בעיית תנועה
כאשר אנו פוגשים את המילה “אמצע” אנו חייבים להתייחס אליה כחצי ממשהו.
לכן הדרך עד C היא 6 קילומטר.
לכן השרטוט נראה כך:
כאשר אנו באים למלא טבלה:
- יש כאן 3 תנועות לכן יש כאן 3 שורות.
- יש לנו מידע על הקשר בין המהירויות לכן נגדיר את אחת המהירויות כמשתנה.
הטור של הדרך ידוע:
| מהירות | זמן | דרך | |
| איתמר | 12 | ||
| ניר הלוך | 12 | ||
| ניר חזור | 6 |
- לאחר מיכן כאשר נבנה משוואה נשים לב שהזמנים לא שווים ונוסיף לזמן של מי שהליכתו הייתה קצרה (קטנה) יותר.
יש לנו כאן 3 תנועות לכן בטבלה יהיו 3 שורות.
נגדיר v המהירות של איתמר
ולכן המהירות של ניר בדרך ליישוב B היא v + 2
ומהירותו בדרך חזרה מן היישוב B היא v
| מהירות | זמן | דרך | |
| איתמר | v | 12/v | 12 |
| ניר הלוך | v + 2 | 12/(v + 2) | 12 |
| ניר חזור | v | 6/v | 6 |
את המשוואה נבנה על פי המשפט
“איתמר הגיע אל היישוב B חצי שעה לפני שהגיע ניר אל היישוב C “
זמן ההליכה הכולל של איתמר קטן יותר ב 0.5.
לכן נוסיף חצי שעה לזמן של איתמר:
נתון שהמהירות של איתמר קטנה מ 5 קמ”ש ולכן מהירותו היא 4 קמ”ש.
“מצאו באיזו שעה הגיע ניר ליישוב B”.
מדובר על הזמן שנמצא בשורה הראשונה של ניר בטבלה.
נציב v = 4 בזמן של ניר בהלוך על מנת לחשב באיזה שעה הוא הגיע ליישוב B.
הוא התחיל ללכת בשעה 8:00 ולכן אם הלך שעתיים אז הגיע בשעה 10:00 ליישוב B.
t – הזמן בשעות מהיציאה ועד הפגישה.
בהלוך ניר הלך שעתיים
בחזור ניר הלך t – 2, כלומר הזמן הכולל פחות שעתיים שהוא כבר הלך בהלוך.
| מהירות | זמן | דרך | |
| איתמר | 4 | t | 4t |
| ניר הלוך | 6 | 2 | 12 |
| ניר חזור | 4 | t – 2 | 4(t – 2) |
הדרך שאיתמר הלך עד המפגש ב-C ועוד הדרך שניר הלך בחזור עד המפגש ב-C יהיה שווה לסך כל הדרך כלומר ל 12:
הם החלו ללכת בשעה 8:00 ולכן אם הם הלכו שעתיים וחצי אז הם נפגשו בשעה 10:30.
סעיף א
נתייחס למילה “אמצע” כמראה לנו שהנקודה C נמצאת במרחק 6 קילומטר מ A,B.
סך הכל יש כאן 3 תנועות לכן בטבלה 3 שורות.
נגדיר את המהירות כמשתנה ונחשב את טור הזמן.
לאחר מיכן כתוב “איתמר הגיע אל היישוב B חצי שעה לפני שהגיע ניר אל היישוב C “
לכן הזמן של איתמר קטן ב 0.5 והמשוואה היא:
סעיף ב
נפתר על ידי הצבה v = 4 בזמן של ניר בדרך הלוך.
סעיף ג
נשרטט את התנועה החדשה ונבין שבסך הכל עד הפגישה הם הלכו 24 קילומטר.
כדי לתאר את התנועה של איתמר נגדיר
t זמן התנועה בשעות עד הפגישה.
נזכור כי מצאנו בסעיף הקודם כי ניר הלך 2 שעות בדרך הלוך.
לכן הטבלה נראית כך:
ומכוון שסכום הדרכים הוא 24.
והסכום של השורה הראשונה והשלישית הוא 12, המשוואה היא:
שאלה 2 גיאומטריה אנליטית
סעיף א 1
M (4 , 5)
סעיף א 2
(x – 4)2 + (y – 5)2 = 25
סעיף א 3
B (0 , 2)
סעיף ב
סעיף ג
לא
ערך ה x בנקודה M הוא כמו ערך ה x בנקודה A.
לכן ניתן להגדיר את M כ:
M(4,y)
המרחק MA שווה לרדיוס שגודלו y.
וגם MD שווה לרדיוס.
לכן נבנה את המשוואה:
שיעור ה-x של הנקודה B הוא 0 משום שהיא נמצאת על ציר ה-y.
ידוע שהרדיוס הוא 5 ולכן BM = 5.
נציב בנוסחת דיסטנס B (0 , y) ו – M (4 , 5) ונשווה ל-5 על מנת למצוא את ערך ה-y של B:
y = 8 מתאים לנקודה D כי היא גבוהה יותר.
B (0 , 2)
נסמן C (x , y), ידוע ש-BC הוא קוטר ולכן נציב B (0 , 2) , M (4 , 5) בנוסחה לאמצע קטע על מנת למצוא את הנקודה C:
רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה ולכן:
נציב נוסחה למציאת משוואת ישר על מנת למצוא את משוואת EF:
הזווית EOF היא 90 מעלות ולכן EF הוא קוטר המעגל החוסם את משולש EOF.
(על פי המשפט: זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר).
על מנת שהנקודה C תהיה מרכז המעגל החוסם את המשולש EFO היא צריכה להיות אמצע הקטע EF.
הנקודה F נמצאת על ציר ה-y ולכן ה-x של F הוא 0.
נמצא את ה-x של E על ידי הצבת x = 0 בנוסחה של הישר EF.
7 הוא ערך ה x של מרכז המעגל.
ה-x של הנקודה C הוא 8 ולא 7 ולכן C היא לא אמצע הקטע EF ולכן היא לא מרכז המעגל החוסם.
שאלה 3 הסתברות
סעיף א
סעיף ב 1
סעיף ב 2
סעיף ג
נבנה דיאגרמת עץ:
ההסתברות המבוקשת היא של ענף 2:
תשובה: 17/40.
חישוב בעזרת הסתברות משלימה
האפשרות לקלוע פעם אחת לפחות היא המשלימה להחטיא 2 פעמים.
חישוב בדרך נוספת
ההסתברות המבוקשת היא סכום הענפים 2,3,4.
שאלה 4 גיאומטריה
| טענה | נימוק | |
| 1) | AG = AC | נתון |
| 2) | BC קוטר | נתון |
| 3) | ∠BAC = 90° | זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה |
| 4) | ΔBGC מש”ש | אם במשולש הגובה והתיכון מתלכדים אז הוא מש”ש |
| 5) | BG = GC | במש”ש השוקיים שוות |
סעיפים 1 – 5 מסעיף א’
| טענה | נימוק | |
| 1) | AG = AC | נתון |
| 2) | BC קוטר | נתון |
| 3) | ∠BAC = 90° | זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה |
| 4) | ΔBGC מש”ש | אם במשולש הגובה והתיכון מתלכדים אז הוא מש”ש |
| 5) | BG = GC | במש”ש השוקיים שוות |
| 6) | ∠ACE = α | סימון |
| 7) | ∠C = 90° | הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה |
| 8) | ∠ACB = 90° – α | חיסור זוויות |
| 9) | ∠BGC = ∠ACB = 90° – α | זוויות הבסיס במש”ש שוות |
| 10) | ∠GAB = 90° | זוויות צמודות |
| 11) | ∠ABG = ∠ECA = α | סכום זוויות במשולש 180º + כלל המעבר |
סעיפים 1 – 11 מסעיפים א ו-ב
| טענה | נימוק | |
| 1) | AG = AC | נתון |
| 2) | BC קוטר | נתון |
| 3) | ∠BAC = 90° | זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה |
| 4) | ΔBGC מש”ש | אם במשולש הגובה והתיכון מתלכדים אז הוא מש”ש |
| 5) | BG = GC | במש”ש השוקיים שוות |
| 6) | ∠ACE = α | סימון |
| 7) | ∠C = 90° | הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה |
| 8) | ∠ACB = 90° – α | חיסור זוויות |
| 9) | ∠BGC = ∠ACB = 90° – α | זוויות הבסיס במש”ש שוות |
| 10) | ∠GAB = 90° | זוויות צמודות |
| 11) | ∠ABG = ∠ECA = α | סכום זוויות במשולש 180º + כלל המעבר |
| 12) | ∠EAC = 90° | זוויות קודקודיות |
| 13) | ΔACE ∼ ΔABG | לפי משפט דמיון ז.ז |
לפי יחס הדמיון של המשולשים הדומים ACE ו-ABG מהסעיף הקודם:
שאלה 5 טריגונומטריה במישור
על פי משפט הסינוסים במשולש ABC.
(זוויות צמודות) ∠ACD = 180º – 60º = 120º
נתון: CD = 18
משפט הקוסינוסים במשולש ACD:
משפט הסינוסים במשולש ACD:
(סכום זוויות במשולש 180) ∠ADB = 180º – 20.4º – 120º = 39.6º
(זוויות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו) ∠FBC = ∠CAD = 20.4º
(סכום זוויות במשולש 180) ∠BFD = 180º – 39.6º – 20.4º = 120º
משפט הסינוסים במשולש BFD:
שאלה 6 פונקציית מנה
סעיף א
x = 0 – max
סעיף ב
עלייה: x < 0 ו-x ≠ – 4
ירידה: x > 0 ו-x ≠ 4
סעיף ג
הביטוי השלישי
סעיף ד
(0 , 1) (√8 , 0) (-√8 , 0)
סעיף ה
סעיף ו
1/3
נזהה למה שואף השבר הבא כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.
לכן לפונקציות 1,3 יש אסימפטוטה y = 2.
פונקציה 1 מוגדרת לכל x לכן נפסלת.
לפונקציה 3 תחום הגדרה כמבוקש, לכן היא הפונקציה.
נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים על ידי הצבת x=0 ו-y=0:
(0 , 1)
השטח המבוקש מסומן באדום.
מכוון שהשטח נמצא מתחת לציר ה x נוסיף סימן מינוס.
שאלה 7 פונקציית שורש
סעיף א
x ≤ 5
סעיף ב
(0 , 0) (0 , 5)
סעיף ג
(0 , 0) min
(2√min (4 , 16
(0 , 5) min
סעיף ד
סעיף ה
c = 2.63
נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים על ידי הצבת x=0 ו-y=0:
על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:
שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0:
הנקודות החשודות לקיצון הן: x = 0 , x = 4 , x = 5
| x = 5 | 4.5 | x = 4 | 2 | x = 0 | 1- | x |
| min | ↓ | max | ↑ | min | ↓ | f (x) |
| – | + | – | f ‘ (x) |
נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:
f ‘ (-1) = -25
f ‘ (2) = 20
f ‘ (4.5) = -11.25
נציב x = 4 בפונקציה המקורית בעזרת המחשבון על מנת למצוא את ערך ה-y:
2√f (4) = 16
(0 , 0) min
(2√min (4 , 16
(0 , 5) min
שאלה 8 בעיית קיצון
נסמן את ה-x של הנקודה A בתור t , t יהיה קטן מ-0 כי הוא ברביע 2.
נציב את ה t בפונקציה על מנת לקבל את ערך ה-y של הנקודה A.
ונבנה פונקציה שמייצגת את היקף המלבן ולאחר מכן נגזור אותה ונשווה ל-0:
שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0:
הנקודה החשודה לקיצון היא t = -2
| 1- | t = – 2 | 3- | t |
| ↑ | min | ↓ | P |
| + | – | ‘P |
נציב בעזרת המחשבון בנגזרת:
14- = (3-) ‘P
10 = (1-) ‘P
נציב t = -2 בעזרת המחשבון בפונקציה המקורית על מנת למצוא את ערך ה-y של A:
5 = (P (-2
(min A (-2 , 5