פתרון בגרות 481 קיץ 2024

סעיף א

5 קמ”ש

סעיף ב

8:10

נתון כי אודי ורונן יוצאים באותה השעה וכל אחד במהירות קבועה,

בנוסף המהירות של אודי גדולה ב-4 קמ”ש מהמהירות של רונן.

נמלא את הנתונים בטבלה:

אז הזמן של רונן:

והזמן של אודי:

נתון בנוסף שאודי הגיע 12 דקות אחרי רונן לבית הספר.

12 דקות = 0.2 שעות

0.2 + t _רונן = t _אודי

1.5 * (v + 4) + 0.2 * v(v + 4) = 4.5 * v

1.5 v + 6 + 0.2 v² + 0.8 v = 4.5 v

0.2 v² – 2.2 v + 6 = 0

v₁ = 6

v₂ = 5

נתון כי מהירותו של רונן נמוכה מ-6 קמ”ש, לכן התשובה היא 5 קמ”ש.

מצאנו את מהירות הרכיבה של רונן, והיא 5 קמ”ש.

נתון כעת כי אודי ורונן יצאו בשעה 7:50, ושרונן הגיע לבית הספר 2 דקות לפני תחילת הלימודים.

מצאנו כבר שהזמן שלוקח לרונן להגיע לבית הספר הוא:

נציב את המהירות שלו שמצאנו בסעיף הקודם – 5 קמ”ש:

0.3 = t _רונן

0.3 שעות = 18 דקות.

רונן יצא ב- 7:50 אז הוא הגיע 18 דקות לאחר מכן, בשעה 8:08.

רונן הגיע לבית הספר 2 דקות לפני תחילת הלימודים , לכן הלימודים מתחילים בשעה 8:10.

במעגל החוסם משולש ישר זווית:

יתר המשולש הוא קוטר המעגל החוסם.

בנוסף, זווית בין רדיוס למשיק בנקודת ההשקה היא 90°.

סעיף א

C ( 5, 12 )

A ( 0, -3 )

סעיף ב

D ( – 4, 0)

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

BC לא משיק

סעיף ה

46.875

נתון המשולש ABC:

נמצא את הנקודה C מחיתוך הישרים:

3x – 3 = 0.5x + 9.5

2.5x = 12.5

x = 5

נציב באחת המשוואות למצוא את y:

y_c = 3 * 5 – 3 = 12

מצאנו את שיעורי הנקודה C:

C ( 5, 12 )

נמצא את הנקודה A מהחיתוך של הישר AC עם ציר ה-y:

החיתוך עם y הוא b במשוואת הישר, ומהסתכלות במשוואה של AC נראה שהחיתוך הוא 3-.

מצאנו את שיעורי הנקודה A:

A ( 0, -3 )

נתון: CD = 15

נמצא את שיעורי הנקודה D.

היא נמצאת על ציר האיקס בצד השלילי שלו, לכן שיעור ה-y שלה הוא 0 ושיעור האיקס יהיה שלילי.

נציב בנוסחה למרחק בין נקודות:

BC² = (x_C – x_D)² + (y_C – y_D)²

15² = ( 5 – X_D )² + (12 – 0)²

225 = ( 5 – X_D )² + 144

( 5 – X_D )² = 81

5 – X_D1 = – 9

X_D1 = 14

אפשרות זו נפסלת כי שיעור האיקס של D יהיה שלילי-

5 – X_D2 = + 9

X_D2 = – 4

מצאנו את שיעורי הנקודה D:

D ( – 4, 0)

נוכיח כי המשולש ADC ישר זווית, בכך שנראה שהשיפועים AD⊥CD.

השיפוע של AD:

השיפוע של CD:

מצאנו את שני השיפועים, נכפול ביניהם כדי לבדוק אם הם מאונכים:

המכפלה ביניהם היא 1- , לכן הם מאונכים (AD⊥CD).

אז זווית CDA∠ היא ישרה והמשולש ADC ישר זווית.

נתון: הנקודה M היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ADC .

נבדוק אם BC משיק למעגל הזה.

הוכחנו בסעיף הקודם שמשולש ADC ישר זווית, לכן היתר שלו (AC) הוא קוטר המעגל.

אז הנקודה M היא מרכז הקטע AC.

אם BC משיק למעגל, הוא משיק בנקודה C שהיא החיתוך בין הישר למעגל.

משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

נבדוק אם BC ו-MC מאונכים.

השיפוע של BC נתון לנו ממשוואת הישר שלו-

m_BC = 0.5

נמצא את הנקודה M, אמצע הקטע AC:

מצאנו את שיעורי הנקודה M:

M ( 2.5, 4.5 )

השיפוע של MC:

נבדוק אם MC⊥BC :

m_MC * m_BC = 3 * 0.5 = 1.5

m_MC * m_BC ≠ – 1

הרדיוס לא מאונך לישר בנקודת החיתוך בין המעגל והישר, לכן BC אינה משיקה למעגל.

נתון: הקטע BM מקביל לציר האיקס-

נסיק מכך כי ל-B יש את אותו שיעור ה-y כמו לנקודה M.

נמצא את שיעור האיקס של הנקודה B, מהצבה במשוואת הישר של BC:

y_B = 0.5 * x_B + 9.5

4.5 = 0.5 * x_B + 9.5

– 5 = 0.5 * x_B

 x_B = – 10

אז שיעורי הנקודה B:

B ( – 10, 4.5 )

נמצא את שטח המשולש BMC.

אורך הקטע BM:

BM = 2.5 – (- 10) = 12.5

הגובה h של המשולש (מסומן בשרטוט) הוא הפרש ערכי ה-y של M ו-C:

h = y_c – y_M = 12 – 4.5 = 7.5

נמצא את שטח המשולש BMC:

S_BMC = 0.5 * h * BM =

= 0.5 * 12.5 * 7.5 =

= 46.875

מצאנו את שטח המשולש BMC, והוא 48.875.

סעיף א1

0.8

סעיף א2

0.07

סעיף ב

0.9

סעיף ג

365

יש בשאלה 2 קריטריונים לדירות- פונות לפארק/ פונות לכביש, ומשופצות/ לא משופצות.

נשתמש בטבלה להצגת הנתונים.

ההסתברות שדירה פונה לכיוון הפארק היא 0.75.

יש פי 4 דירות משופצות מאשר לא משופצות-

היחס בין לא משופץ למשופץ הוא 1:4, לכן ההסתברות לבחור דירה לא משופצת היא 1/5 (0.2)

נציג את הנתונים עד כה בטבלה:

אז ההסתברות לבחור דירה משופצת היא-

P = 1 – 0.2 = 0.8

מצאנו את ההסתברות לכך שדירה משופצת – 0.8.

נתון כי 28% מהדירות הפונות לכביש הן משופצות.

נמצא את ההסתברות לדירה הפונה לכביש וגם משופצת באמצעות הסתברות מותנית:

מצאנו את ההסתברות לבחור דירה שגם משופצת וגם פונה לכביש, והיא 0.07 .

נמצא מה ההסתברות לבחור דירה מבין הלא משופצות שפונה לכיוון הכביש.

הטבלה המעודכנת שלנו:

ההסתברות לדירה לא משופצת שגם פונה לכביש היא:

P = 0.25 – 0.07 = 0.18

מבקשים ממנו למצוא הסתברות מותנית- דירה הפונה לכביש בתנאי שהיא לא משופצת:

נציב את הידוע לנו:

מצאנו את ההסתברות לבחור דירה מבין הלא משופצות שפונה לכיוון הכביש, והיא 0.9 .

נתון כעת כי 35 דירות במתחם גם פונות לכיוון הכביש וגם משופצות.
נמצא את כמות הדירות במתחם:

X – הדירות במתחם

P( פונה לכביש ומשופצת) * X = כמות הדירות הפונות לכביש ומשופצות

0.07 * X = 35

X = 500

אז יש 500 דירות במתחם.

נמצא את ההסתברות לבחור דירה הפונה לפארק וגם משופצת מהטבלה:

P = 0.8 – 0.07 = 0.73

אז כמות הדירות האלה:

0.73 * 500 = 365

365 דירות במתחם משופצות ופונות לכיוון הפארק.

קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע המקבילה.

במשולשים דומים , יחס הדמיון בריבוע שווה ליחס שטחי המשולשים בהתאמה.

סעיף א,ב

הוכחה

סעיף ג

8 / 3

סעיף ד1

12

סעיף ד2

30.75

נתון המשולש ABD החסום במעגל שמרכזו O:

מש”ל א’

* ניתן גם להשתמש במשפט: שני משיקים היוצאים מאותה הנקודה שווים זה לזה.

מש”ל ב’

	טענה	נימוק
15		(11) במשולשים דומים , יחס הדמיון בריבוע שווה ליחס שטחי המשולשים בהתאמה
16		נתון
17		(15) (16) כלל המעבר
18		(17) חישוב, שורש
19		(14) (18) הצבה
20		(19) חישוב

מש”ל ג’

מש”ל ד’1

	טענה	נימוק
26		(16) סידור משוואה
27	SCBD = 6.75	(25) (26) חישוב
28	DB = 6	(14) (21) חישוב
29	SABD = 0.5 * DB * AD	(2) + שטח משולש
30	SABD = 24	(22) (28) (29) חישוב
31	SABCD = SABD +SCBD	סכום שטחים במרובע ABCD
32	SABCD = 30.75	(27) (30) (31) חישוב

מש”ל ד’2

סעיף א

∠ACB = 22.52°

סעיף ב

BC = 8.19

סעיף ג

∠DBC = 117.45°

סעיף ד

R = 6.036

נתון: BC = 2AB,

∠BAC = 50°

נמצא את הזווית-

∠ACB = α

נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ABC:

נגדיר AB = x:

∠ACB = α = 22.52°

מצאנו את הזווית שביקשו.

נתון כעת ששטח המשולש ABC הוא 16.

נמצא את CB באמצעות הנוסחה הטריגונומטרית לשטח משולש.

כדי להשתמש בנוסחה לשטח צריך את הזווית בין הצלעות:

∠ABC = β

β = 180° – 50° – 22.52° =

= 107.48°

כעת נשתמש בנוסחה לשטח משולש:

S_ABC = 16

0.5 * AB * BC * sinβ = 16

0.5 * x * 2x * sin(107.48°) = 16

x² * 0.954 = 16

x² = 16.77

x = 4.095

מצאנו את x, אז הצלע BC:

BC = 2x

BC = 8.19

נתון: DC = 14.

נמצא את הזווית:

∠DBC = γ

באמצעות משפט הקוסינוסים.

נתון BC = DB.

DC² = DB² + BC² – 2* DB * BC * cosγ

14² = (8.19)² + (8.19)² – 2* (8.19)² *cosγ

14² = 2(8.19)² (1 – cosγ)

1.461 = 1 – cosγ

cosγ = – 0.461

γ = 117.45°

∠DBC = 117.45°

נתון: E אמצע קטע BC.

נמצא את רדיוס המעגל החוסם את משולש DBE:

את הרדיוס החוסם נמצא באמצעות משפט הסינוסים, כדי להשתמש בו נצטרך למצוא את האורך DE.

נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ADE החדש:

DE² = BE² + DB² – 2 * BE * DB * cosγ

DE² = x² + (2x)² – 4x²  * (- 0.461)

DE² = 114.765

DE = 10.7

מצאנו את הצלע החסרה, אז נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ADE ונמצא את הרדיוס:

2R = 12.0575

R = 6.03

סעיף א1

x ≠ ± 3

סעיף א2

y =6

x = ± 3

סעיף ב

max (0, 4)

סעיף ג

(0, 4)

(± √6, 0)

סעיף ד

סעיף ה

גרף 4

סעיף ו1

לא נכון

סעיף ו2

נכון

נתונה הפונקציה:

נמצא את תחום ההגדרה:

x² – 9 ≠ 0

x² ≠ 9

x ≠ ± 3

נמצא את האסימפטוטות של הפונקציה.

נקודות אי-ההגדרה שמצאנו בסעיף הקודם לא מאפסות מונה,

לכן אסימפטוטות אנכיות:

x = ± 3

נחפש אסימפטוטה אופקית:

איקס בריבוע בכל הפעמים שהוא מופיע בפונקציה, לכן הגבול באינסוף ומינוס אינסוף אותו דבר.

= 2 + 4 = 6

אז האסימפטוטה האופקית:

y =6

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

נקודת הקיצון-

f ‘ (x) = 0

– 36x = 0

x = 0

המכנה חיובי לכל x בתחום, לכן הסימן משתנה לפי המונה.

f ‘ (- 4) = 0.852 = (+)

f ‘ (- 1) = 0.36 = (+)

f ‘ (1) = – 0.5625 = (-)

f ‘ (4) = – 5.76 = (-)

f (0) = 4

מצאנו את נקודת הקיצון של הפונקציה:

max (0, 4)

מצאנו את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y:

(0, 4)

נמצא את החיתוך עם ציר x:

f (x) = 0

2x² = – 4x² + 36

6x² = 36

x² = 6

x = ± √6

נקודות החיתוך:

(0, 4)

(± √6, 0)

מצאנו עד כה:

ת.ה.-

x ≠ ± 3

אסימפטוטות-

y =6

x = ± 3

קיצון-

max (0, 4)

חיתוך-

(0, 4)

(± √6, 0)

תחומי עלייה וירידה נסיק מהטבלה בסעיף ב’ –

עלייה:

x < -3

-3 < x < 0

ירידה:

x > 3

0 < x < 3

נשרטט את גרף הפונקציה:

נמצא איזה גרף מתאים לנגזרת.

מצאנו נקודת חיתוך עם ציר האיקס של הנגזרת (נקודות הקיצון של הפונקציה) בנקודה x = 0.

מהתבוננות בגרפים זה פוסל את גרף 2 ו-3.

בנוסף מצאנו את תחומי החיוביות והשליליות של הנגזרת (עלייה וירידה של הפונקציה)-

חיובית:

x < -3

-3 < x < 0

שלילית:

x > 3

0 < x < 3

לכן גרף 1 נפסל גם כן.

אז הגרף המתאים לנגזרת הפונקציה הוא גרף 4.

“בכל נקודה בתחום x > 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f (x) הוא חיובי.”

מצאנו שהפונקציה יורדת בתחום זה, לכן שיפוע המשיק בתחום זה שלילי.

ההיגד לא נכון.

“בכל נקודה בתחום x < – 3 שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f (x) הוא חיובי.”

מצאנו שהפונקציה עולה בתחום זה, לכן שיפוע המשיק בתחום זה חיובי.

ההיגד נכון.

סעיף א

b = 0.5

סעיף ב

2.5 ≥ x

סעיף ג

(0 , √5)

סעיף ד

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

סעיף ה

סעיף ו

X_max = – 10

נתונה הפונקציה:

b פרמטר חיובי.

נתון שהפונקציה חותכת את ציר האיקס בנקודה (0, 10-).

נציב ונמצא את b:

f (-10) = 0

√25 = 10b

5 = 10b

b = 0.5

אז הפונקציה היא:

תחום ההגדרה שלה לפי השורש:

5 – 2x ≥ 0

5 ≥ 2x

2.5 ≥ x

נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y:

f (0) = √5

(0 , √5)

נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה:

f ‘ (x) = 0

4 = 5 – 2x

2x = 1

x = 0.5

מצאנו נקודה חשודה לקיצון פנימי אחת, ובנוסף יהיה לנו קיצון בקצה תחום ההגדרה.

f ‘ (0) = 0.052 = (+)

f ‘ (1) = -0.077 = (-)

f (0.5) = 2.25

f (2.5) = 1.25

מצאנו את נקודות הקיצון:

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

נסכם את מה שמצאנו על הפונקציה:

תחום הגדרה-

2.5 ≥ x

חיתוך צירים-

(-10, 0)

(0 , √5)

קיצון-

max (0.5, 2.25)

min (2.5, 1.25)

נשרטט את גרף הפונקציה:

נתונה פונקציה g(x) המקיימת:

g ‘ (x) = – f (x)

נמצא את שיעור האיקס של נקודת הקיצון הפנימית של g(x) וסוגה.

נקודת הקיצון:

שיעור האיקס של נקודת הקיצון הפנימית של g(x) הוא שיעור נקודת החיתוך של f (x) עם ציר האיקס.

g ‘ (x) = – f (x) = 0

f (x) = 0

x = -10

בנקודה זו הפונקציה f (x) מחליפה סימן משלילית לחיובית.

לכן הפונקציה ( f (x) – ) ההפוכה תחליף סימן מחיובית לשלילית.

הנגזרת g ‘ (x) מחליפה בקיצון מחיוביות לשליליות, לכן g (x) מחליפה בין עלייה לירידה.

זו נקודת מקסימום.

X_max = – 10

סעיף א

סעיף ב

t = 4

סעיף ג

22.42

נתונה הפונקציה:

ונקודות A, B, ו-C:

נסמן X של B ב-t,

t > 0.

אז שיעור ה-y של B:

מצאנו את הנקודה B:

נתון גם שהישר BC מקביל לציר ה-X, לכן יש ל-B ו-C את אותו שיעור ה-y.

הפונקציה זוגית:

לכן שיעור ה-x של C יהיה מינוס השיעור של B:

מצאנו את שתי הנקודות הנדרשות.

נמצא את t עבורו השטח של משולש ABC מינימלי.

ABC משולש שווה שוקיים (AB=AC), המרחק בין A לישר BC הוא הגובה והמרחק בין B ל-C הוא הבסיס.

הגובה:

והבסיס:

BC = t – (- t) = 2t

נגדיר את הפונקציה של השטח, כתלות ב-t:

נגזור כדי למצוא את ערך t המינימלי:

t² = 16

t = – 4

נפסל כי נתון t > 0, אז-

t = 4

נוודא שאכן מינימלי:

S ‘ (3) = -2.33 = (-)

S ‘ (5) = 1.08 = (+)

מצאנו t עבורו השטח מינימלי, והוא 4.

נמצא את היקף המשולש עבור t = 4:

נציב את t בשיעורי הנקודות-

A (0, – 2)

B (4, 4)

C (- 4, 4)

הצלע BC:

BC = 2t = 8

נמצא את AC/AB (שווים כפי שהסברנו בסעיף ב):

AB² = (X_B – X_A )² + (Y_B – Y_A )²

AB² = 4² + 6²

AB² = 52

AB = √52

אז היקף המשולש:

P_ABC = 8 + √52 + √52 = 22.42

מצאנו את היקף המשולש, והוא 22.42.