פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות 481 חורף 2023

סעיף א

מהירות המשאית 64 קמ”ש

מהירות המכונית 84 קמ”ש

סעיף ב

48 ק”מ

נשרטט את התנועה:

המשאית עברה 128 קילומטר.

המכונית עברה:

105 + (105 – 42) = 105 + 63 = 168

נגדיר:

v המהירות של המשאית בקמ”ש.

לכן

v + 20 המהירות של המכונית בקמ”ש.

נשווה בין הזמנים:

מהירות המשאית 64 קמ”ש

מהירות המכונית 64 + 20 = 84 קמ”ש

נתון שהמכונית הגיעה ליישוב C ולכן הדרך שהיא עברה הוא 105 ק”מ

ולכן הזמן הוא:

105/84 = 1.25 שעות

המשאית והמכונית נסעו את אותו זמן ולכן הדרך היא:

64 • 1.25 = 80 ק”מ

ולכן המרחק הוא:

128 – 80 = 48

תשובה: 48 קילומטר.

סעיף א 1

M (12 , – 10)

סעיף א 2

(x – 12)² + (y + 10)² = 100

סעיף ב

C (4 , – 16) B (4 , – 4)

סעיף ג

K (- 8 , 0)

סעיף ד

(x + 8)² + y² = 144

סעיף ה 1

5√KM = 10

סעיף ה 2

לא

נתון שהמעגל משיק לנקודה (A (12 , 0 לכן AM הוא רדיוס. רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה ולכן AM הוא ישר המקביל לציר ה-y

ולכן ערך ה-x של A ו-M שווים.

בנוסף נתון R = 10 ולכן ערך ה-y של M הוא 10- (בגלל שהמרכז ברביע הרביעי).

M (12 , – 10)

נציב את המרכז (10- , 12) M ואת R = 10 במשוואת מעגל:

(x – a)² + (y – b)² = R²

(x – 12)² + (y + 10)² = 100

נתון שהמעגל חותך את הישר x = 4 בנקודות B ו-C ולכן ערך ה-x שלהן הוא 4.

על מנת למצוא את ערך ה-y נציב x = 4 במשוואת המעגל.

(4 – 12)² + (y + 10)² = 100

64 + y² + 20y + 100 = 100

y² + 20y + 64 = 0

(y + 16) (y + 4) = 0

y = – 16

y = – 4

C (4 , – 16) B (4 , – 4)

על מנת למצוא את הנקודה K נמצא תחילה את משוואת הישר KC ואז נחפש נקודת חיתוך עם ציר ה-x.

מציאת משוואת KC

נתון ש KC משיק למעגל בנקודה C ולכן MC מאונך לKC – רדיוס מאונך למשיק בנקודת השקה.

נמצא את השיפוע של MC.

M (12 , -10) C (4 , -16)

m_MC • m_KC = – 1

0.75 • m_KC = -1 /:0.75

m_KC = -1.33

נציב m_KC = -1.33 ו- C (4 , -16) בנוסחה למציאת משוואת ישר

y – (-16) = -1.33 (x – 4)

y = -1.33x – 10.67

נציב y = 0 על מנת למצוא את הנקודה K

0 = -1.33x – 10.67

1.33x = -10.67

x = – 8

K (- 8 , 0)

נתון שהמעגל משיק לישר x = 4 ומרכזו בנקודה K.

לכן הנקודה A שנמצאת על הישר ועל המעגל היא נקודת ההשקה.

המרחק בין K ל A הוא אורך הרדיוס.

R = 4 – (-8) = 12

 במשוואת המעגל K (- 8 , 0)-ו R = 12 נציב

(x – (-8))² + (y – 0)² = 144

(x + 8)² + y² = 144

נשתמש בנוסחת דיסטנס על מנת למצוא את KM

M (12 , – 10) K (- 8 , 0)

על מנת ששני מעגלים יהיו משיקים סכום הרדיוסים שלהם צריך להיות שווה למרחק בין המרכזים.

בסעיף הקודם מצאנו שהמרחק KM שהוא המרחק בין המרכזים הוא 5√10

והסכום רדיוסים הוא 10 + 12 = 22

22 ≠ 5√10

ולכן הם לא משיקים.

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

x = 9

סעיף ד

קטנה

בהוצאה הראשונה יש 36 מטבעות.

בהוצאה השנייה 35 מטבעות.

ההסתברות המבוקשת היא שיצאו

פעמיים שני שקלים.

או פעמיים חמישה שקלים.

או פעמיים 10 שקלים.

נחבר את ההסתברויות.

P (שניים זהים) =  

זו הסתברות מותנית.

ההסתברות לשניים זהים היא 13/35.

כדי שהסכום יהיה גבוה מ 5 צריך לקבל:

פעמיים 5:

או פעמיים 10:

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

לאחר ההוספה הסכום הכולל של המטבעות הוא 36 + x לכן המכנה השתנה.

מתוכם 12 מטבעות של 5 שקלים.

נבנה משוואה לפי ההסתברות החדשה להוציא פעמיים חמישה שקלים ללא החזרה = 1/15

תשובה: x = 9.

נחשב את ההסתברות החדשה להוציא שני מטבעות זהים ונבדוק האם היא קטנה מההסתברות הקודמת

ולכן ההסתברות קטנה.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

ED = 5

סעיף ה

AB = 20

סעיפים 1 – 4 מסעיף א

סעיפים 1 – 7 מסעיפים א ו-ב

נתון שטח המשולש ABC גדול פי 4 משטח המשולש ADE

הוכחנו בסעיף הקודם שהמשולשים ABC ו-ADE דומים

במשולשים דומים יחס הדמיון שווה לשורש יחס השטחים ולכן יחס הדמיון הוא

2 = 4√

נתון DE + BC = 15

נסמן BC = AD = x

ולכן DE = 15 – x

נבנה משוואה לפי יחס הדמיון:

ולכן

DE = 15 – 10 = 5

ΔABC ∼ Δ ADE

הצלע המתאימה ל AB היא AD.

AD = BC = 10
(צלעות בטרפז שווה שוקיים)

נבנה משוואה לפי יחס הדמיון:

סעיף א

AC = 6

סעיף ב

∠ABC = 41.76°

סעיף ג

BE = 7.36

סעיף ד

אורך צלע המעוין 3.94

נתון BC = 1.5AC

נסמן AC = x

לכן BC = 1.5x

נתון שטח המשולש ABC הוא 21

לכן נבנה משוואה לפי צלע כפול צלע כפול סינוס הזווית שביניהן חלקי 2 שווה לשטח על מנת למצוא את AC

בסעיף הקודם מצאנו את x ולכן:

BC = 1.5x = 1.5 • 6 = 9

על מנת למצוא את זווית ABC נחשב קודם את הצלע מולה AB כדי שיהיו לנו מספיק נתונים למשפט הסינוסים.

משפט הקוסינוסים במשולש ABC:

 AB² = AC² + BC² – 2•AC•BC•cos∠acb

AB² = 6² + 9² – 2•6•9•cos51º

AB² = 49.03 / √

AB = 7

משפט הסינוסים במשולש ABC:

האופציה השנייה נפסלת משום ש-AC<AB ומול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר,

לכן מול AC צריכה להיות זווית הקטנה מ-°51.

∠ABC = 41.76°

נתון BE חוצה זווית ולכן:

∠ABE = ∠EBC = 41.76º : 2 = 20.88º

נחשב את זווית BEC לפי סכום זוויות במשולש 180º:

 ∠BEC = 180º – 51º – 20.88º = 108.12º

משפט הסינוסים במשולש BEC:

על מנת לחשב את אורך צלע המעוין נחשב קודם את זווית BDE.

BD = DE

צלעות המעוין שוות ולכן משולש BDE שווה שוקיים

∠BDE = 180° – 41.76° = 138.24°

משפט הסינוסים במשולש BDE:

במעוין כל הצלעות שוות ולכן אורך צלע המעוין 3.94.

סעיף א

כל x

סעיף ב

max (2 , 1 + a)

min (- 2 , -1 + a)

סעיף ג

a = 1

סעיף ד

y = 1

סעיף ה

סעיף ו 1

גרף 3

סעיף ו 2

2.4

תחום הגדרה:

x² + 4 = 0

x² = -4

אין פתרון ולכן תחום ההגדרה הוא כל x.

נגזור את הפונקציה ונשווה ל-0:

שבר שווה ל-0 כאשר מונה השבר שווה ל-0:

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = 2, -2

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-3) = -20

f ‘ (0) = 16

f (3) = -20

נציב את ערך ה-x בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y:

max (2 , 1 + a)

min (- 2 , – 1 + a)

min (- 2 , – 1 + a)

נתון כי נקודת המינימום של הפונקציה נמצאת על ציר ה-x לכן ערך ה-y של הנקודה הוא 0

ולכן:

-1 + a = 0

a = 1

אסימפטוטה אנכית אין כי תחום ההגדרה הוא כל x.

אסימפטוטה אופקית:

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף מכנה השבר שואף לאינסוף מהר יותר (כי יש לו חזקה גדולה יותר).

ולכן השבר שואף ל 0.

לשבר מוסיפים 1 ולכן הפונקציה שואפת ל 1 (באינסוף ובמינוס אינסוף).

y = 1 אסימפטוטה אופקית.

max (2 , 1 + a)

min (- 2 , – 1 + a)

y = 1 אסימפטוטה אנופקית.

g(x) = 3f(x)

g ‘ (x) = 3f ‘ (x)

אנו רואים ש g ‘ (x) מתאפסת כאשר g ‘ (x) מתאפס ותחומי החיוביות / שליליות זהים.

לכן התשובה היא גרף 3.

משום שכאשר לפונקציה המקורית יש נקודות קיצון אז לנגזרת יש נקודות חיתוך עם ציר ה-x ולכן רק גרף 2 או 3 יתאימו.

בנוסף כאשר לפונקציה המקורית יש תחום עלייה לנגזרת יהיה תחום חיוביות ולהיפך ולכן רק גרף 3 יתאים.

סעיף א

x ≥ -5

סעיף ב

(0 , 0) , (0 , 5 -)

סעיף ג

min (- 5 , 0) , max (- 4 , 0) , min (0 , 0)

סעיף ד

סעיף ה

c = 12 או c = -20

4x + 20 ≥ 0

4x ≥ -20

x ≥ -5

חיתוך עם ציר x:

(0 , 0) , (0 , 5 -)

חיתוך עם ציר y:

(0 , 0)

שבר שווה ל-0 כאשר מונה השבר שווה ל-0:

x = -5 היא נקודת קצה שצריך לבדוק.

הנקודות החשודות לקיצון הן: x = 0 , x = – 4 , x = – 5:

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

f ‘ (-4.5) = 22.5

f ‘ (-3) = -30

f ‘ (1) = 50

נציב את ערך ה-x של נקודות הקיצון בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y:

f (-5) = 0

f (0) = 0

min (- 5 , 0) , max (- 4 , 0) , min (0 , 0)

min (- 5 , 0) , max (- 4 , 32) , min (0 , 0)

min (- 5 , 0) , max (- 4 , 32) , min (0 , 0)

הישר y = 12 ישיק לאחת מנקודות הקיצון משום ששיפועו 0 וגם שיפוע הפונקציה בנקודת הקיצון.

לכן צריך לעלות את הפונקציה 12 יחידות כדי שהוא ישיק לנקודות המינימום

min (- 5 , 0)  , min (0 , 0)

או להוריד אותה 20 יחידות כדי שישיק לנקודת המקסימום.

max (- 4 , 32)

ולכן:

c = 12 או c = -20

סעיף א

A (2 , 0)

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

הראנו בפתרון המלא.

הנקודה A היא נקודת החיתוך עם ציר ה-x ולכן נציב y = 0:

הנקודה B

נציב x = t בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y של B:

הנקודה C

נקודה C נמצאת על הישר x = 5 ולכן ערך ה-x שלה הוא 5.

הישר BC מקביל לציר ה-x ולכן לB ול-C יהיה את אותו ערך y.

שטח הטרפז שווה לסכום הבסיסים כפול הגובה חלקי 2.

שבר שווה ל-0 כאשר המונה שווה ל-0:

הנקודות החשודות לקיצון הן: t = -4, 4

נציב בנגזרת בעזרת המחשבון:

y ‘ (-5) = -18

y ‘ (-3) = 14

y ‘ (5) = -18

חיפשנו את נקודת המקסימום ולכן מדובר ב-t = 4

נציב ב-y של B:

נציב t = 4 שהוא ערך ה-t המקסימלי שמצאנו בסעיף הקודם בביטוי שמגדיר את שטח הטרפז.

ולכן השטח המקסימלי הוא 1.