חישוב שטחים גיאומטריה אנליטית שאלון 382

בכמעט כל שאלת בגרות ברמת 4 יחידות אתם נדרשים לחשב שטח.
לרוב זה שטח משולש, אבל לפעמים אלו גם שטחים של מרובעים.

בדף זה נלמד לחשב שטח של 3 צורות:

1. שטח משולש.
2. שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים (דלתון או ריבוע).
3. שטח המרובע הנוצר על ידי הנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל ומרכז המעגל.

סרטונים מסכמים

 

חישוב שטח משולש

בשאלות הללו יתנו לכם 2 נקודות הנמצאות על אחד הצירים או על ישר המקביל לצירים.
ונקודה שלישית כלשהי.
אתם תצטרכו לחשב את שטח המשולש.

הסבר לחישוב שטח משולש

נלמד לחשב שטח משולש בשלבים הבאים:

1. כיצד מחשבים אורך של ישר הנוצר משתי נקודות שיש להם ערך x או ערך y שווה.
2. חישוב אורך צלע המשולש.
3. חישוב אורך גובה המשולש.

1.כיצד מחשבים אורך של ישר הנוצר משתי נקודות שיש להם ערך x או ערך y שווה.

בקצרה נאמר כי כאשר יש שתי נקודות שיש להם ערך אחד זהה אז המרחק בניהן הוא הפרש המספרים שאינם זהים בשתי הנקודות.

אם הנקודות הן:
(A (-2, 0
(B (3,0
אז האורך של הישר AB הוא:
AB = 3 – (-2) = 5
(שרטוט הנקודות למטה).

ואם הנקודות הן:
(E (-3, 2
(F (-3,5
אז האורך של הישר EF הוא:
EF = 5 – 2 = 3

כמו כן אם לשתי נקודות יש ערך אחד זהה אז הישר העובר בניהן הוא ישר מקבילי לצירים.

 

שטח משולש שווה לאורך צלע כפול גובה חלקי 2.

 

לכן על מנת לחשב שטח משולש עלינו לדעת לחשב:

1. אורך של צלע.
2. גובה אל הצלע.

 

2.חישוב אורך צלע

בשאלות שנלמד לפתור אחת מצלעות המשולש תהיה על אחד מהצירים או במקביל לאחד מהצירים, וזו הצלע שנחשב את אורכה.

דוגמאות לצלעות מקבילות לציר ה x.

נקודות היוצרות צלעות המקבילות לציר ה x הן בעלי ערך y שווה.

לכן נחשב את אורך הישר על ידי חיסור ערכי ה x של הנקודות.

אורך AB:

6 – 2 = 4

אורך CD:

1 – (-4) = 5

 

דוגמאות לצלעות המקבילות לציר ה y

נקודות המקבילות לציר ה y הן בעלות ערך x זהה.

לכן נחשב את אורכן על ידי חיסור ערכי ה y שלהן.

אורך AB:

3 – (-1) = 4

אורך CD:

2 – 0 = 2

 

 

3.חישוב אורך הגובה

בסעיף הקודם למדנו לחשב אורך של צלע הנמצאת על הצירים או מקבילה לצירים.

בחלק זה נלמד לחשב את האורך של הגובה אל הצלע שמקבילה לצירים או נמצאת על הצירים.

התכונה של גובה לצלע כזו היא שהגובה בעצמו הוא מקביל לצירים.

לדוגמה.
חשבו את אורך הגובה CD.

פתרון
יש שתי דרכים לחשב את אורך הגובה CD.

דרך ראשונה: נמצא את הנקודה D.

דרך זו עדיפה, כי הנימוק שלה פשוט יותר ומתאים למשולשים שהצלע שלהם נמצאת על אחד מהצירים או מקבילים לאחד מהצירים.

1.ערך ה x של הנקודה D

הישר CD מקביל לציר ה y, (כי הישר CD מאונך לציר ה x).

לכן לישר CD ערך x קבוע לכל אורכו.
לכן ערך ה x בנקודה D הוא 4.

2.ערך ה y של הנקודה D
כל הנקודות על הישר AB עם ערך ה y הוא 0.

לכן ערך ה y של הנקודה D הוא 0.

מצאנו:
(D(4,0

3.נחשב את האורך CD
(D(4,0
(C(4,2

לשתי הנקודות יש אותו ערך x.
לכן אורך הישר CD הוא:

2 – 0 = 2

דרך שנייה לחישוב CD: נבנה מלבן

מהנקודה C נעביר אנך אל ציר ה y.
נקבל מרובע שבו 3 זוויות שהם 90 מעלות.
לכן מרובע זה הוא מלבן.

במלבן צלעות נגדיות שוות.
לכן:

CD = EF = 2

הערה
אנו יודעים כי EF = 2 כי אנחנו יכולים לזהות את הנקודות
(E(0,2
(F(0,0

דוגמאות לחישוב שטחי משולשים

תרגיל 1 (2 נקודות על אחד הצירים)
חשבו את שטח המשולש שאורך שלושת קודקודיו הוא:
(A (1,0),   B(4,0),  C(6,3

פתרון
אורך הצלע AB הוא 3 = 1 – 4.

עכשיו עלינו לחשב את הגובה היוצא מהקודקוד C.
הגובה הוא בעצם ערך ה y של הנקודה C.
כלומר 3.

ולמה אורך הגובה הוא ערך ה y של הנקודה c?
כי כאשר נוריד את הגובה נראה שהנקודה D שאליה הוא מגיע היא בעלת אותו ערך X כמו הנקודה C.
לכן המרחק CD נמצא על ציר ה y בלבד.
(למי שההסבר לא מובן, אני מנסה להסביר את זה טוב יותר בוידאו).

שטח משולש
BC = 3. אורך הגובה הוא 3.
לכן שטח המשולש הוא:
4.5 = 2 : ( 3 * 3)
תשובה: שטח המשולש 4.5 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2 (2 נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים)
חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם:
(A (-2, 5),  B(1,1),   C(-2, -1

פתרון
אורך הצלע AC הוא:
6 = (1-) – 5

אורך הגובה הוא:
3 = (2-) – 1

שטח המשולש הוא:
9 = 2 : (3 * 6)
תשובה: שטח משולש ABC הוא 9 יחידות ריבועיות.

בעזרת חישוב מרחק של נקודה מהצירים.

בעזרת חישוב מרחק של נקודה מישר המקביל לצירים.

תרגילים: חישוב מהיר של שטח המשולשים הבאים

שטח המשולשים הבאים יחושב בקצרה, ללא נימוקים.

משולש 1

משולש 2

משולש 3

משולש 4

פתרונות

משולש 1
S = (4 * 2) / 2 = 4

משולש 2
S = (5 * 4) / 2 = 10

משולש 3
S = (2 * 6) / 2 = 6

משולש 4
S = (4 * 4) / 2 = 8

 

שטח דלתון מעוין וריבוע על פי ערכי הקודקודים הידועים