בדף זה הצעה לפתרון בגרות שאלון 382 (לשעבר 803) חורף 2019.
את החומר ניתן ללמוד בדפים הבאים:
טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.
שאלה 1
סעיף א
נגדיר משתנים:
x – המחיר בו הסוחר קנה כל חולצה
y – כמות החולצות שהסוחר קנה
0.9x – מחיר החולצות הפגומות
1.2x – מחיר החולצות התקינות
הכנסה ממכירת חולצות פגומות:
5 * 0.9x = 4.5x
הכנסה ממכירת חולצות תקינות:
כמות החולצות התקינות: y – 5
ההכנסה ממכירת החולצות התקינות:
(y – 5) * 1.2x = 1.2xy – 5 * 1.2x = 1.2xy – 6x
בניית משוואות:
סך הכל הסוחר שילם על החולצות 2040 ש”ח, לכן נבנה משוואה:
xy = 2040
סך הכל המוכר מכר את כל החולצות ב- 2412 ש”ח, לכן נבנה משוואה:
4.5x + 1.2xy – 6x = 2412
יש לנו מערכת של שתי משוואות בשני משתנים:
xy = 2040
4.5x + 1.2xy – 6x = 2412
1.2xy – 1.5x = 2412
נציב xy = 2040 במשוואה השנייה:
1.2 * 2040 – 1.5x = 2412 / + 1.5x – 2412
36 = 1.5x / : 1.5
x = 24
תשובה: הסוחר שילם עבור כל חולצה 24 ש”ח
סעיף ב 1
ידוע לנו שעבור החולצות מהשנה הוא שילם 2040 ש”ח.
נבדוק כמה הוא שילם עבור החולצות משנה שעברה:
360 = 24 * 15
עבור החולצות משנה שעברה הוא שילם 360 ש”ח.
2400 = 360 + 2040
סה”כ עבור כל החולצות שהמוכר מכר הוא שילם 2400 ש”ח.
סעיף ב 2
ראשית נמצא את הרווח של הסוחר.
מהסעיף הקודם ידוע לנו כי הוא מכר את כל החולצות מהשנה במחיר כולל של 2412 ש”ח.
נבדוק בכמה כסף סה”כ הוא מכר את החולצות משנה שעברה:
מחיר קניית חולצה – 24 ש”ח
מחיר מכירת חולצה- 26.4 = 24 * 1.1
סה”כ הוא מכר 15 חולצות במחיר זה, לכן הכנסתו ממכירת החולצות משנה שעברה היא:
396 = 26.4 * 15
סה”כ הוא מכר את החולצות משנה שעברה במחיר כולל של 396 ש”ח.
סה”כ הכנסות המוכר: 2808 = 396 + 2412
סה”כ הכנסות המוכר היו 2808 ש”ח.
רווח הוא הכנסה פחות הוצאה. ידוע לנו שעבור כל החולצות הסוחר שילם 2400 ש”ח.
לכן הרווח של הסוחר הוא:
408 = 2400 – 2808
כעת נחשב כמה אחוז הרווח מהווה מהמחיר הכולל שהוא שילם:
אחוז הרווח של הסוחר היה 17%
שאלה 2
סעיף א
נתונות לנו שתי נקודות, נשתמש בהן למציאת משוואת הישר:
A(9 , 24) , B(1 , 0)
מציאת שיפוע הישר:
משוואת הישר החלקית:
y = 3x + b
כדי למצוא את הפרמטר b יש להציב את אחת הנקודות במשוואה. נציב את הנקודה B, אך אפשר להציב גם את A:
0 = 3 * 1 + b
0 = 3 + b / – 3
b = -3
משוואת הישר AB:
y = 3x – 3
סעיף ב
D היא נקודת החיתוך של OE ו-AB, לכן למציאת ערך x של הנקודה נשווה את משוואות הישרים OE ו-AB.
משוואת ישר AB(מצאנו בסעיף הקודם): y = 3x – 3
משוואת ישר OE נתונה: y = 2x
3x – 3 = 2x / -2x + 3
x = 3
כעת למציאת ערך y של הנקודה נציב x = 3 באחת ממשוואות הישר.
בפתרון זה נציב במשוואת OE, אך אפשר להציב גם ב-AB.
y = 2x = 2 * 3 = 6
לכן נקודה D היא D(3 , 6)
סעיף ג 1
הנקודה C נמצא על ציר x, לכן yC = 0
נקודה A נתונה והיא A(9 , 24)
נתון כי E היא נקודת אמצע קטע, לכן נמצא את שיעור y של הנקודה בעזרת נוסחת אמצע קטע:
yE = 0.5(yA + yC)
yE = 0.5(24 + 0) = 12
שיעור y של הנקודה הוא 12.
סעיף ג 2
במשוואת הישר OE נציב y = 12, שזה ערך ה-y של E שמצאנו בסעיף הקודם:
משוואת הישר OE היא: y = 2x
12 = 2x / : 2
x = 6
שיעור x של הנקודה E הוא 6.
הנקודה E היא E(6 , 12)
סעיף ד 1
בסעיף ב מצאנו כי נקודה D היא D(3 , 6)
נמצא כעת את נקודה C.
ידוע לנו כי E היא מרכז הקטע AC, לכן נציב את שיעורי x של הנקודות E ו-C בנוסחת מרכז קטע:
הנקודות A ו-E הן: E(6 , 12) , A(9 , 24)
xE = 0.5(xA + xC)
6 = 0.5(9 + xC) / : 0.5
12 = 9 + xC / – 9
xC = 3
xC = xD , לכן הישר CD מקביל לציר y.
סעיף ד 2
מציאת אורך DC:
DC מקביל לציר y, לכן אורכו הוא הפרש ערכי y של שתי הנקודות:
DC = yD – yC = 6 – 0 = 6
מציאת אורך BC:
BC נמצא על ציר x , לכן אורכו הוא הפרש עכשיו x של שתי הנקודות:
BC = xC – xB = 3 – 1 = 2
מציאת אורך BD:
למציאת אורך BD נשתמש בנוסחת מרחק בין שתי נקודות:
חישוב היקף המשולש:
= PΔBCD = DC + BC + BD
14.325 = 6.325 + 2 + 6 =
היקף המשולש הוא 14.325 יחידות.
שאלה 3
סעיף א
A ו-B הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר x.
לכן למציאת נקודות A ו-B נציב y = 0 במשוואת המעגל:
(x – 4)² + (y – 3)² = 10
(x – 4)² + (0 – 3)² = 10
x² – 8x + 16 + 9 = 10 / – 10
x² – 8x + 15 = 0
(x – 3) (x – 5) = 0
x1 = 3 , x2 = 5
A הוא בעל ערך ה-x הקטן יותר, לכן הנקודות הן:
A(3 ,0) , B(5 , 0)
סעיף ב
לסעיף זה יש שתי דרכים:
- מציאת משוואת הישר AD בעזרת הנקודות A ו-M ופתירת מערכת משוואות- משוואת המעגל ומשוואת הישר
- AD הוא קוטר, לכן M מרכז הקטע. שימוש בנוסחת מרכז קטע:
בפתרון זה נפתור רק בדרך השנייה:
נתונה לנו משוואת המעגל:
(x – 4)² + (y – 3)² = 10
לפי משוואת המעגל, מרכז המעגל(M) הוא M(4 , 3)
בסעיף קודם מצאנו כי הנקודה A היא A(3 , 0)
לכן לפי נוסחת מרכז קטע:
xM = 0.5(xA + xD)
4 = 0.5(3 + xD) / : 0.5
8 = 3 + xD / -3
xD = 5
yM = 0.5(yA + yD)
3 = 0.5(0 + yD) / : 0.5
yD = 6
לכן הנקודה D היא D(5 , 6)
סעיף ג
הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, לכן AD מאונך למשיק.
לכן מכפלת שיפועי המשיק ו-AD היא 1-. בעזרת תכונה זו נבנה משוואה.
מציאת שיפוע AD
הנקודה A היא A(3 , 0)
הנקודה D היא D(5 , 6)
נסמן- m – שיפוע המשיק למעגל בנקודה D.
מכפלת שיפועי AD והמשיק הוא 1-, לכן נבנה את המשוואה הבאה:
3m = -1 / : 3
m = -1 / 3
שיפוע המשיק הוא 3 / 1- . משוואת הישר החלקית:
למציאת הפרמטר b נציב במשוואה את הנקודה D(5 , 6)
משוואת המשיק:
סעיף ד 1
נציב במשוואת המשיק שמצאנו בסעיף הקודם x = 11
לכן שיעור y של הנקודה E הוא 4.
סעיף ד 2
SΔBEC = 0.5 * h * BC
מציאת h:
h מאונך לציר x, לכן אורכו הוא ערך y של הנקודה E
h = 4
מציאת BC
הישר BC הוא על ציר x, לכן אורכו הוא הפרש ערכי x של הנקודות C ו-B.
את נקודה B חישבנו בסעיף א והיא B(5 , 0).
C היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x, לכן למציאת xC נציב במשוואת המשיק y = 0.
-x + 23 = 0 / + x
x = 23
BC = xC – xB = 23 – 5 = 18
נציב אורכים אלה בנוסחת השטח:
SΔBEC = 0.5 * h * BC = 0.5 * 4 * 18 = 36
שטח המשולש הוא 36 יחידות שטח.
שאלה 4
סעיף א
f(x) = 12√x – 3x
אסור לביטוי בתוך השורש להיות שלילי.
לכן תחום ההגדרה הוא x ≥ 0
סעיף ב
למציאת שיעור החיתוך עם ציר y נציב בפונקציה x = 0
f(x) = 12√x – 3x
f(0) = 12√0 – 3 * 0 = 0
נקודת החיתוך עם ציר y היא (0 , 0)
סעיף ג
למציאת נק’ הקיצון הפנימית של הפונקציה, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל-0.
f(x) = 12√x – 3x
6 – 3√x = 0 / + 3√x
6 = 3√x / : 3
2 = √x / ( )²
x = 4
לכן חשודה לקיצון פנימית היא x = 4.
| x > 4 | x = 4 | 0 < x < 4 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
נציב בנגזרת ערך x עבור כל אחד מהתחומים:
0 < x < 4 עבור
עבור x > 4:
| x > 4 | x = 4 | 0 < x < 4 | תחום |
| 0 > 1- | 0 < 3 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
לכן ב-x = 4 יש נק’ מקסימום. נציב בפונקציה x = 4 למציאת ערך y של הנקודה.
f(x) = 12√x – 3x
f(4) = 12√4 – 3 * 4 = 12 * 2 – 12 = 12
תשובה סופית:
מקסימום- (12 , 4)
סעיף ד
בסעיף הקודם מצאנו את תחומי העלייה והירידה. נשאר רק להביא את הנתונים מהטבלה:
0 < x < 4 :עלייה
ירידה: x > 4
שאלה 5
סעיף א
f(x) = -2x² + 16x – 14
למציאת נקודות החיתוך עם ציר x, נציב y = 0
0 = -2x² + 16x – 14 / : (-2)
x² – 8x + 7 = 0
(x – 7) (x – 1) = 0
x1 = 7 , x2 = 1
לנקודה A ערך x קטן יותר מאשר לנקודה B, לכן הנקודות הן:
A(1 , 0) , B(7 , 0)
סעיף ב
למציאת שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה עלינו לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת לאפס:
f(x) = -2x² + 16x – 14
f ‘ (x) = -4x + 16 = 0 / + 4x
4x = 16 / : 4
x = 4
נוודא שזו נקודת קיצון:
| x > 4 | x = 4 | x < 4 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
נציב בנגזרת x עבור כל אחד מהתחומים לבדיקת חיוביות/שליליות:
f ‘ (x) = -4x + 16
עבור x < 4:
f ‘ (0) = -4 * 0 + 16 = 16 > 0
עבור x > 4:
f ‘ (5) = -4 * 5 + 16 = -20 + 16 = -4 < 0
| x > 4 | x = 4 | x < 4 | תחום |
| -4 < 0 | 16 > 0 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
בנקודה x = 4 יש מקסימום, לכן זה שיעור x של C.
נציב בפונקציה x = 4 למציאת שיעור y של הנקודה:
f(x) = -2x² + 16x – 14
= f(4) = -2 * 4² + 16 * 4 – 14
= -32 + 64 – 14 = 18
הנקודה C היא C(4 , 18)
סעיף ג
הנקודה C היא נקודה קיצון, לכן ערך הנגזרת בה הוא 0.
שיפוע המשיק הוא אפס, לכן משוואת המשיק היא: y = b
נציב את נקודה C במשוואת המשיק, ונקבל: b = 18
לכן משוואת המשיק היא y = 18
סעיף ד
נגדיר:
S – השטח המבוקש
S1 – השטח הכולל מתחת למשיק בתחום הנתון
S2 – השטח מתחת לפרבולה בתחום הנתון.
S = S1 – S2
תחום השטח הוא בין xC ל- xB, לכן:
4 < x < 7
חישוב S1:
לחישוב S1 יש שתי דרכים.
הראשונה: ביצוע אינטגרל על משוואת המשיק(אותה מצאנו בסעיף הקודם) בתחום הנתון
השנייה: חישוב שטח המלבן שנוצר משני האנכים, ציר x והמשיק.
הדרך הראשונה:
= 18 * 7 – 18 * 4 = 54
הדרך השנייה:
שני האנכים, ציר x והמשיק יוצרים מלבן שצלע אחת שלו היא:
xB – xC = 7 – 4 = 3
צלע שנייה שלו היא ערך y של המשיק, לכן 18.
שטח המלבן הוא: 54 = 18 * 3
חישוב S2:
לחישוב S2 נבצע אינטגרל על הפרבולה:
לסיכום:
S1 = 54 , S2 = 36
S = S1 – S2 = 54 – 36 = 18
השטח המקווקו הוא בגודל 18 יחידות שטח.
שאלה 6
סעיף א
נתון כי שטח המשולש ΔABC הוא 16.
סימון(נתון):
x – אורך הצלע BC
המשולש הוא ישר זווית, לכן שטחו הוא:
SΔABC = 0.5 * AC * BC
נציב את הגדלים הידועים לנו:
16 = 0.5x * BC / : 0.5x
סעיף ב
נתון כי CB = x. כמו כן, האריכו את CB עד לנקודה D ב-x, לכן:
CD = CB + x = x + x = 2x
בסעיף הקודם מצאנו:
לכן נגדיר פונקציה שהיא סכום אורכי הניצבים:
למציאת הסכום המינימלי נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס:
x² = 16
x² – 16 = 0
(x + 4)(x – 4) = 0
x1 = 4 , x2 = -4
אורך צלע לא יכול להיות שלילי, לכן הפתרון הרלוונטי הוא x = 4.
נוודא כי אכן נקודת הקיצון שמצאנו היא מינימום:
| x > 4 | x = 4 | x < 4 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
נציב x עבור כל תחום בנגזרת לבדיקת חיוביות/שליליות
עבור x < 4:
עבור x > 4:
| x > 4 | x = 4 | x < 4 | תחום |
| 0 < 1 | 0 > 30- | f ‘ (x) | |
| עולה | מינימום | יורדת | f(x) |
הפונקציה מקבלת מינימום עברו x = 4
לכן סכום הניצבים AC ו-DC הוא מינימלי עבור x = 4.