פתרון בגרות חורף 2018 שאלון 382 (לשעבר 803)

בדף זה הצעה לפתרון בגרות שאלון 382 חורף 2018.

את החומר ניתן ללמוד בדפים הבאים:

1. בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
2. בגרות 382.

טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.

שאלה 1

סעיף א

נגדיר משתנים:

x – מחיר כיסא

מחיר שולחן הוא פי 2 יותר ממחירו של כיסא, לכן:

2x – מחיר שולחן

כעת נמצא את מחירי המבצע:

השולחן הוזל ב-15%, לכן מחיר שולחן אחרי המבצע:

0.85 * 2x = 1.7x

הכיסא הוזל ב-25%, לכן מחיר כיסא אחרי המבצע הוא 0.75x

אלי קנה שולחן אחד ו-3 כיסאות במבצע ושילם סה”כ 1,343 ש”ח.

לכן נבנה משוואה:

1.7x + 3 * 0.75x = 1343

3.95x = 1343  / : 3.95

x = 340

כעת נציב ערך זה במשתנים שהגדרנו בהתחלה:

מחיר כיסא- x = 340

מחיר שולחן- 680 = 340 * 2

סעיף ב

נבדוק מה היה התקציב של אלי:

1700 = 680 + 340 * 3

התקציב המקורי של אלי היה 1700 ש”ח. הוא שילם 1343 ש”ח, לכן חסך:

357 = 1343 – 1700

כן, הכסף יספיק לו לקניית עוד כיסא. סכום הכסף שנותר גדול ממחיר הכיסא לפני הנחה, לכן כמובן שהוא גם גדול יותר ממחיר הכיסא אחרי ההנחה.

שאלה 2

סעיף א 1

קודקוד A הוא נקודת החיתוך של אלכסון AC עם ציר y, לכן ערך x שלה הוא 0.

משוואת AC היא: y = 0.75x + 4

נציב במשוואת הישר x = 0 לגלות את ערך y של הנקודה.

y = 0.75 * 0 + 4 = 4

לכן נקודה A היא A(0 , 4)

סעיף א 2

נתון כי שיעור ה-x של הנקודה הוא 24. נציב x = 24 במשוואת הישר AC כדי למצוא את שיעור ה-y של הנקודה:

y = 0.75 * 24 + 4 = 18 + 4 = 22

לכן שיעור y של הנקודה C הוא 22.

הנקודה C היא C(24 , 22) (לא נדרש בשאלה, אבל יהיה נוח להמשך שיהיה כתוב במסודר)

סעיף ב 1

האלכסונים בריבוע מאונכים זה לזה, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-.

נסמן: m – שיפוע האלכסון BD

שיפוע האלכסון AC הוא 0.75(ממשוואת הישר מסעיף א)

נבנה משוואה:

0.75m = -1  / : 0.75

m = -4 / 3

שיפוע האלכסון BD הוא 3 / 4-

סעיף ב 2

כרגע אנו יודעים את שיפוע האלכסון. משוואת הישר החלקית:

למציאת הפרמטר b אנו צריכים להציב במשוואה החלקית נקודה על הישר.

האלכסונים בריבוע חוצים זה את זה, לכן M היא אמצע קטע AC.

נמצא את הנקודה M בעזרת נוסחת אמצע קטע, ונציב את הנקודה במשוואה החלקית של AC.

הנקודות A ו-C הן: C(24 , 22) , A(0 , 4)

x_M = 0.5(x_A + x_C) = 0.5(0 + 24) = 0.5 * 24 = 12

y_M = 0.5(y_A + y_C) = 0.5(4 + 22) = 0.5 * 26 = 13

הנקודה M היא: M(12 , 13)

נציב את הנקודה M במשוואה החלקית:

13 = -16 + b   / + 16

b = 29

לכן משוואת האלכסון BD היא:

סעיף ג

למציאת היקף המשולש אנו צריכים למצוא קודם את הנקודה E.

ידוע כי E היא נקודה החיתוך של BD עם ציר x, לכן x_E = 0.

למציאת ערך y של הנקודה נציב x = 0 במשוואת BD שמצאנו קודם:

הנקודה E היא E(0 , 29)

מציאת אורכי EM ו-AM:

למציאת אורכי EM ו- AM נשתמש בנוסחת מרחק בין נקודות:

מציאת אורך EA:

הצלע EA היא על ציר y, לכן אורכה הוא הפרש ערכי y של הנקודות.

EA = y_E – y_A = 29 – 4 = 25

מציאת היקף המשולש:

P_ΔAME = AM + ME + AE = 15 + 20 + 25 = 60

היקף המשולש הוא 60 יחידות.

הערה: אלכסוני ריבוע מאונכים אחד לשני, לכן אפשר היה למצוא שתי צלעות בדרכים המפורטות למעלה, ואת השלישית למצוא בעזרת משפט פיתגורס.

שאלה 3

סעיף א

נתון כי משוואת המעגל היא

(x + 4)² + (y + 2)² = 40

נתון כי A היא נק’ החיתוך של המעגל עם החלק החיובי של ציר x, לכן y_A = 0

למציאת ערך x של הנקודה נציב במשוואת המעגל y = 0

(x + 4)² + (0 + 2)² = 40

x² + 8x + 16 + 4 = 40  / – 40

x² + 8x – 20 = 0

(x + 10) (x – 2) = 0

x₁ = -10 , x₂ = 2

נתון כי ערך x של הנקודה A הוא חיובי, לכן הפתרון הרלוונטי הוא x = 2

תשובה סופית: הנקודה A היא A(2 , 0)

סעיף ב

נתונה הנקודה B(-6 , 4)

כדי לבדוק שהנקודה נמצאת על המעגל, נציב אותה בנוסחת המעגל ונראה אם היא מקיימת את השוויון.

(x + 4)² + (y + 2)² = 40

(-6 + 4)² + (4 + 2)² = 40

2² + 6² = 40

4 + 36 = 40

40 = 40

הנקודה מקיימת את השוויון, לכן נמצאת על המעגל

סעיף ג

AC הוא קוטר במעגל, לכן מרכז המעגל הוא אמצע הקטע בין A ל-C.

משוואת המעגל היא

(x + 4)² + (y + 2)² = 40

נסמן את מרכז המעגל M.

לכן מרכז המעגל הוא M(-4 , -2)

את הנקודה A מצאנו והיא A(2 , 0)

למציאת הנקודה C נשתמש בנוסחת מרכז קטע:

x_M = 0.5(x_A + x_C)

-4 = 0.5(2 + x_C)  / : 0.5

-8 = 2 + x_C  / – 2

x_C = -10

y_M = 0.5(y_A + y_C)

-2 = 0.5(0 + y_C)  / : 0.5

y_C = -4

לכן הנקודה C היא C(-10 , -4)

הערה: נתון לנו כי C היא נקודה על המעגל. לבדיקה עצמית ניתן לוודא שהיא מקיימת את משוואת המעגל.

סעיף ד

הישר שהעבירו מקביל לישר AB, לכן שיפועיהם שווים.

למציאת שיפוע AB נשתמש בנקודות A ו-B שמצאנו בסעיפים הקודמים:

A(2 , 0) , B(-6 , 4)

לכן משוואת הישר החלקית של DC היא: y = -0.5x + b

למציאת הפרמטר b נציב במשוואה החלקית את הנקודה C :

הנקודה C היא C(-10 , -4)

-4 = -0.5 * (-10) + b

-4 = 5 + b  / – 5

b = -9

לכן משוואת הישר CD היא: y = -0.5x – 9

סעיף ה:

שטח המשולש הוא:

S_ΔADC = 0.5 * h * AD

מציאת AD:

AD הוא ישר על ציר x. אורך הישר הוא הפרש ערכי x של שתי הנקודות.

את נקודה A מצאנו בסעיף א.

את נקודה D נמצא ע”י הצבת y = 0 במשוואת הישר שמצאנו בסעיף הקודם.

משוואת הישר: y = -0.5x – 9

0 = -0.5x – 9  / + 9

9 = -0.5x  / : (-0.5)

x = -18

AD = x_A – x_D = 2 – (-18) = 20

מציאת h

h מאונך לציר x וחותך אותו, לכן אורכו הוא הערך המוחלט של ערך y של הנקודה C

הנקודה C היא C(-10 , -4)

לכן:

h = | -4 | = 4

נציב את הגדלים שמצאנו במשוואת שטח המשולש:

= S_ΔADC = 0.5 * h * AD

40 = 20 * 4 * 0.5 =

שטח המשולש הוא 40 יחידות שטח.

שאלה 4

 

סעיף א

ההגבלה על תחום ההגדרה היא שהמכנה לא יתאפס.

לכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0
סעיף ב

למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה יש לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת ל-0:

4x² – 16 = 0

x² – 4 = 0

(x + 2)(x – 2) = 0

x₁ = -2 , x₂ = 2

אנו יודעים לפי הגרף שלפונקציה יש 2 נקודות קיצון.

לפי התאפסות הנגזרת יצאו לנו רק שתי נקודות חשודות לקיצון. מכיוון שיש לנו 2 נקודות קיצון, אז 2 החשודות הן נקודות קיצון.

נציב בפונקציה למציאת ערכי y של הנקודות:

נק’ הקיצון של הפונקציה: (16 , 2) , (16- , 2-)

לפי הגרף אנו יודעים כי נק’ המינימום נמצאת ברביע הראשון והמקסימום ברביע השלישי, לכן:

נק’ הקיצון של הפונקציה:

מקסימום: (16- , 2-)

מינימום: (16 , 2)

סעיף ג 1

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה.

למציאת שיפוע המשיק נציב x = 4 בנגזרת:

שיפוע המשיק שהעבירו בנקודה x = 4 הוא 3.

סעיף ג 2

מצאנו את שיפוע המשיק, לכן משוואת הישר החלקית היא y = 3x + b

למציאת b אנו צריכים להציב נקודה במשוואה.

נתון לנו ערך x של נקודת ההשקה. נמצא את ערך y של הנקודה וזו תהיה הנקודה של המשיק שנציב.

נקודת ההשקה: (20 , 4)

נציב במשוואת המשיק החלקית:

20 = 3 * 4 + b

20 = 12 + b  / – 12

b = 8

משוואת המשיק: y = 3x + 8

סעיף ד 1

בנקודת קיצון שיפוע המשיק הוא אפס(פונקציה קבועה).

לפי סעיף ב, נק’ המקסימום היא (16- , 2-)

לכן המשיק בנקודת המקסימום הוא y = -16

סעיף ד 2

משוואות המשיקים שמצאנו בסעיפים הקודמים:

y = 3x + 8

y = -16

לפי המשיק השני, ערך y של נקודת החיתוך הוא 16-.

נציב במשוואת המשיק הראשונה y = -16 למציאת ערך x של נקודת החיתוך.

-16 = 3x + 8  / – 8

-24 = 3x  / : 3

x = -8

לכן נקודת החיתוך היא (16- , 8-)

שאלה 5

סעיף א

למציאת נקודת החיתוך עם ציר y, נציב בפונקציה x = 0

f(x) = -x³ + 3x² + 16

f(0) = -0³ + 3 * 0³ + 16 = 16

נקודת החיתוך עם ציר y היא (16 , 0)

סעיף ב

הישר מקביל לציר x, לכן זו פונקציה קבועה(מספר).

בסעיף א מצאנו ששיעור y של הנקודה A הוא 16, לכן הישר הוא y = 16

סעיף ג

למציאת הנקודה B נציב בפונקציה y = 16.

נשים לב כי נקבל פתרון בו x = 0. זוהי נקודה A שחישבנו בסעיף הקודם. הפתרון השני יהיה הרלוונטי לנו.

f(x) = -x³ + 3x² + 16

16 = -x³ + 3x² + 16  / – 16

-x³ + 3x² = 0

-x²(x – 3) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 3

כאמור, הפתרון x = 0 רלוונטי לנקודה A.

לכן הנקודה B היא B(3 , 16)

סעיף ד

נגדיר משתנים:

S – השטח הדרוש

S₁ – השטח בו הפונקציה מעל הישר

S₂ – השטח בו הפונקציה מתחת לישר

כזכור, שטח הכלוא בין שתי פונקציות כאשר g(x) היא הפונקציה העליונה ו-h(x) היא התחתונה הוא:

∫g(x) – h(x) dx

= -0.25 * 3⁴ + 3³ – (- 0.25 * 0⁴ + 0³) =

= -20.25 + 27 – 0 = 6.75

= 0.25 * 4⁴ – 4³ – (0.25 * 3⁴ – 3³) =

= 64 – 64 – (-6.75) = 6.75

S = S₁ + S₂ = 6.75 + 6.75 = 13.5

גודל  השטח המקווקו הוא 13.5 יחידות שטח.

שאלה 6

סעיף א

הנקודה A היא נקודה כללית על הפונקציה. נגדיר:  A(x , 10 – √x)

הצלעות AC ו-OB מקבילות לציר x(או עליו) ושוות(צלעות מלבן נגדיות שוות), לכן:

OB = AC = x_A = x

הצלעות AB ו – OC מקבילות לציר y(או עליו) ושוות(צלעות מלבן נגדיות שוות), לכן:

AB = OC = 10 – √x

נגדיר פונקציה שהיא היקף המלבן:

=g(x) = P_ABOC = AC + OB + AB + OC

= 2x + 2(10 – √x) = 2x + 20 – 2√x

g(x) = 2x + 20 – 2√x

למציאת ההיקף המינימלי, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל-0.

g(x) = 2x + 20 – 2√x

2√x – 1 = 0  / + 1

2√x = 1   / : 2

√x = 0.5

x = 0.25

נוודא שאכן מדובר בנק’ קיצון:

x > 0.25	x = 0.25	0 < x < 0.25	תחום
			g ‘ (x)
			g(x)

עבור

0 < x < 0.25

עבור x > 0.25:

x > 0.25	x = 0.25	0 < x < 0.25	תחום
0 < 1		0 > 0.23-	g ‘ (x)
עולה	מינימום	יורדת	g(x)

בנקודה x = 0.25 ההיקף יהיה מינימלי.

נציב בפונקציה הנתונה x = 0.25 למציאת שיעורי הנקודה A.

f(x) = 10 – √x

f(0.25) = 10 – √0.25 = 10 – 0.5 = 9.5

שיעורי הנקודה A הם A(0.25 , 9.5)

סעיף ב

למציאת ההיקף המינימלי נציב בפונקציית ההיקף g(x) את הערך x = 0.25

g(x) = 2x + 20 – 2√x

g(0.25) = 2 * 0.25 + 20 – 2√0.25 = 0.5 + 20 – 1 = 19.5

היקף המלבן המינימלי יהיה 19.5