בגרות במתמטיקה שאלון 382 קיץ 2021

בדף זה פתרון בגרות 382 קיץ 2021.

את החומר ניתן ללמוד בדפים הבאים:

1. בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
2. בגרות 382.

תרגיל 1

 

סעיף א’

1.נביע את מספר התיקים והארנקים באמצעות משתנה אחד (x)

x – מספר הארנקים שקנה

נתון כי מספר התיקים שקנה גבוה ב 100 ממספר הארנקים, לכן
x + 100 – מספר התיקים שקנה

2.נחשב כמה פריטים קנה מכל סוג
נתון כי נקנו סה”כ 392 פריטים (תיקים וארנקים).

לכן המשוואה היא:
x + x + 100 = 392
2x + 100 = 392
2x = 292
x = 146

נקנו 146 ארנקים ו- 246 תיקים. (100 + 146)

סעיף ב’

1.נביע את מחיר התיקים והארנקים באמצעות המשתנה y

נגדיר:
y – המחיר בשקלים עבור ארנק

נתון כי המחיר של תיק גבוה פי 4 ממחיר ארנק, לכן
4y – המחיר בשקלים עבור תיק

אם נרצה ניתן לכתוב את הנתונים בטבלה:
(באפור הנתונים, באדום החישוב שהתבצע בטבלה)

	מחיר יחידה	כמות	סך הכל עלות
ארנקים	y	146	146y
תיקים	4y	246	984y

2.נבנה משוואה
אנו יודעים כמה תיקים וכמה ארנקים קנה על פי הסעיף הקודם.
246 – מספר התיקים שנקנו
146 – מספר הארנקים שנקנו

כלומר המחיר ששולם על כל התיקים הוא
4y * 246 = 984y

המחיר ששולם על כל הארנקים הוא:
y * 146 = 146y

נתון כי עבור כל הפריטים שקנה הוא שילם 38,985 שקלים סך הכל.

נחבר את מחירי הארנקים והתיקים  ונשווה אותם לסך המחיר הנתון.
984y + 146y = 38985
1130y = 38985
y = 34.5
מחיר ארנק הוא 34.5 שקלים.

סעיף ג’1

דרך הפתרון:

על מנת לחשב את הרווח עלינו לדעת את סכום הקנייה (שנתון לנו (38,985) ) ואת סכום המכירה.

פתרון

דרך ראשונה – נכפיל את מחיר יחידה בודדת במספר היחידות

	מחיר יחידה	כמות	סך הכל עלות
ארנקים	34.5	146	5037
תיקים	138	246	33,948

1.חישוב סכום הרווח של התיקים

138 תיקים נקנו.
246 מחיר של תיק  אחד.

138 * 246 = 33948
מחיר הקנייה של כל התיקים

הרווח הוא 30%.
לכן הרווח מהתיקים הוא:

0.3 * 33,398 = 10,184.4

 

2.חישוב הרווח מהארנקים

146 ארנקים נקנו.
34.5 מחיר ארנק בודד.

34.5 * 146 = 5037
המחיר של כל הארנקים

הרווח על הארנקים הוא 20%.
לכן הרווח הוא:

5037 * 0.2 = 1007.4

לסיכום, הרווח של שחר מהמכירה כולה הוא
11,191.8 = 1009.4 + 10,184.4

סעיף ג’2

לפי חישובנו בסעיף הקודם, הרווח של שחר מהמכירה כולה הוא 11,191.8 שקלים.
מחיר הקנייה המקורי הוא 38,985 שקלים.

נחשב את אחוז הרווח
אחוז הרווח הוא (הרווח בשקלים חלקי מכיר הקנייה) כפול 100, לכן

 

תרגיל 2

סעיף א’

ידוע כי הקודקוד A נמצא על ציר ה y (כלומר שיעור ה x של הנקודה A הוא 0)
וכי הקודקוד C נמצא על ציר הx (כלומר שיעור הy של הנקודה C הוא 0)

נחשב את שיעורי הנקודה A
בנקודה A מתקיים x = 0
הנקודה A על האלכסון y = -0.5x + 4

נציב:
y = -0.5x + 4
y = -0.5 * 0 + 4
y = 4

לכן:
(0,4)A

נחשב את שיעורי הנקודה C 
בנקודה C מתקיים y = 0
הנקודה C על האלכסון y = -0.5x + 4

נציב:

y = -0.5x + 4
0 = -0.5x + 4
0.5x = 4
x = 8

(8,0)C

סעיף ב’1

הרעיון של הפתרון:
על מנת למצוא את משוואת BD עלינו לדעת נקודה ושיפוע.

1. הנקודה היא הנקודה E שניתן למצוא אותה בעזרת הנוסחה לאמצע קטע.
2. את השיפוע נמצא התכונה ש BD ו AC מאונכים ומכפלת השיפועים היא 1-.

פתרון

1.נחשב את שיעורי הנקודה E

נתון כי הנקודה E היא אמצע האלכסון AC.
(0,4)A
(8,0)C
נחשב את שיעורי באמצעות הנוסחה  לאמצע קטע.

שיעורי הנקודה E
(4,2)E

2. נחשב את שיפוע הישר BD

נתון לנו כי אלכסוני המרובע ABCD מאונכים זה לזה.
כלומר, מכפלת שיפועי האלכסונים היא 1-.
לכן:
m_BD *  m_AC= -1
m_{BD *}  -0.5 = -1
2 = m_BD

3. נמצא את משוואת האלכסון לפי הנוסחה למציאת משוואת ישר

עבור BD אנו יודעים:
(4,2)E
2 = m_BD

נציב במשוואת הישר

y – y₁ = m(x – x₁)

y – 2 = 2(x – 4)
y – 2 = 2x – 8
y = 2x – 6

זו משוואת BD.

סעיף ב’2

נחשב את שיעורי הנקודה B

נתון כי הקודקוד B נמצא על ציר ה x (כלומר בנקודה B מתקיים y = 0).
הנקודה B נמצאת על הישר BD
y = 2x – 6

נציב:

y = 2x – 6
0 = 2x – 6
6 = 2x
3 = x

B(3,0)

סעיף ג’1

נחשב את אורך הקטע BC

(8,0)C
B(3,0)
מכוון שערך ה y שלהם שווה המרחק בניהם הוא הפרש ערכי ה x.

8 – 3 = 5

סעיף ג’2

1. נבטא את שטח המשולש

על מנת למצוא את שטח המשולש, נוריד גובה מהקודקוד D לצלע BC בצורה הבאה:

נסמן את שיעור הנקודה D
(x,y)D
מכיוון שהגובה DF מאונך לציר הx ומקביל לציר הy, אורכו הוא כשיעור ה y של נקודה D, כלומר y.

נציב בנוסחת שטח משולש את הנתונים
BC = 5
S = 20

5h = 40
h = 8

כפי שהסברנו אורך הגובה הוא ערך ה y של הנקודה D.
לכן ערך ה y של הנקודה D הוא 8.

 

סעיף ג’3

אנו יודעים כי הנקודה D נמצאת על האלכסון BD, שמשוואתו
y = 2x – 6
בנקודה D מתקיים y = 8.

 2x – 6 = 8
2x = 14
x = 7

זה ערך ה x של הנקודה D.

סעיף ד’

דרך ראשונה

אנו יודעים כי E היא נקודת אמצע הקטע AC. לכן, AE = EC.
אנו גם יודעים כי CE גובה במשולש BCD וAE גובה במשולש ABD.
בנוסף, הצלע אליה יורד הגובה בשני המשולשים זהה, הצלע BD.
נתבונן בנוסחה לשטח משולש:
הצלע זהה וגם הגובה זהה בין שני המשולשים. לכן, שטחי שני המשולשים שווה.

דרך שניה – חישוב

נחשב את שטח המשולש BDA ונראה כי הוא שווה ל20.
על מנת לחשב את שטח המשולש נציב בנוסחה לשטח משולש את הצלע BD ואת הצלע AE.
נשתמש בצלע AE, מכיוון שהיא הגובה לצלע BD (נתון כי האלכסונים במרובע מאונכים זה לזה).

1. נחשב את אורך הצלע BD

נחשב את אורך הצלע BD באמצעות הנוסחה למציאת מרחק בין שתי נקודות.

נציב בנוסחה את שיעורי הנקודות B,D
(3,0)B
(7,8)D

2. נחשב את אורך הצלע AE

נחשב את אורך הצלע AE באמצעות הנוסחה למציאת מרחק בין שתי נקודות.

נציב בנוסחה את שיעורי הנקודות A,E
(4,2)E
(0,4)A

3. נחשב את שטח המשולש BDA

נשתמש בנוסחה

כאשר h הוא גובה המשולש, כלומר הצלע AE.
s = 0.5 * 4.47 * 8.94
s = 20
מ.ש.ל

תרגיל 3

נושא השאלה:

חקירה בסיסית של פונקציית שורש כולל תכונות המשיק.

סעיף א’

נתונה הנקודה (2,1-)A ומעגל:
50 = ²(y + 4) + x – 3)²)

על מנת האם הנקודה A נמצאת על המעגל, נציב את שיעוריה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקיים שוויון.
50 = ²(1 + 4) + ²(2 – 3-)

50 = ²(5-) + ² 5
50 = 25 + 25
השיוויון מתקיים לכן הנקודה A נמצאת על המעגל.

סעיף ב’1
נמצא את השיפוע של רדיוס המעגל AM על ידי הצבה של הנקודות A,M בנוסחה למציאת שיפוע.

נציב

A(-2, 1)
M(3, -4)

תשובה: השיפוע הוא 1-.

סעיף ב’2

הרעיון של הפתרון

•  (A(-2, 1 היא נקודה דרכה עובר המשיק.
• המשיק מאונך לרדיוס AM ולכן ניתן למצוא את שיפוע המשיק.

1. נמצא את שיפוע הישר AB

AB⊥AM מכיוון שהרדיוס מאונך למשיק לנקודת ההשקה.

הישרים מאונכים לכן מכפלת השיפועים שלהם שווה ל1-.
m_AB * m_AM= -1

הראינו כי שיפוע הישר AM הוא 1- בסעיף הקודם.
נציב:
m_AB * -1 = -1
m_AB = 1

2. נמצא את משוואת AB

אנו יודעים:
m_AB = 1
(2,1-)A

נציב:

y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = 1(x + 2)
y – 1 = x + 2
y = x + 3

זו משוואת AB.

סעיף ג’

משוואת AB היא:

y = x + 3

נציב y = 16 במשוואה:

16 = x + 3
13 = x

זה ערך ה x של הנקודה B.

סעיף ד’

על מנת למצוא את משוואת המעגל שקוטרו הוא הקטע BM:
1. נחשב את אורך רדיוס המעגל
2. נמצא את מרכז המעגל

1. נמצא את אורך הקטע BM

נשתמש בנוסחה למציאת מרחק בין שתי נקודות

נציב
(-3,4)M
(13,16)B

אורך הקוטר הוא 22.36 יחידות.
לכן אורך הרדיוס הוא R = 11.18

3. נמצא את מרכז המעגל

מרכז המעגל הוא הוא אמצע הקוטר BM

(13,16)B
(M(3, -4

נסמן את מרכז המעגל כ O ונשתמש בנוסחה לאמצע קטע.

(8,6)O מרכז המעגל

3. נרשום את משוואת המעגל

משוואת מעגל בסיסית:

נציב בה
(8,6)O מרכז המעגל
R = 11.18

תרגיל 4

סעיף א’

הביטוי בתוך השורש צריך להיות חיובי או שווה ל 0.
לכן תחום ההגדרה הוא:
0 ≤ x

סעיף ב’

עלינו למצוא מתי הנגזרת שווה 0.

נוסחת הנגזרת של פונקציית שורש היא:

1.נגזור את הפונקציה
נקבל:

נצמצם:

2. נשווה את הנגזרת ל 0

2.25 = x

3. נגלה את סוג הקיצון ע”י טבלה

ראשית,נבחר מספרים

נבחר שני מספרים שנמצאים בתחום ההגדרה (0 ≤ x). אחד מהם קטן יותר מערך הנקודה החשודה לקיצון והשני גדול יותר. בחרתי ב1,3.

שנית, נציב את המספרים בנגזרת

נציב את 1 בנגזרת:

התוצאה שקיבלנו שלילית, לכן הפונקציה יורדת בתחום זה.

נציב את 3 בנגזרת:

התוצאה שקיבלנו חיובית, לכן הפונקציה עולה בתחום זה.
נדגים זאת בטבלה:

הפונקציה יורדת לפני הנקודה ועולה אחריה, לכן מדובר בנקודת קיצון מסוג מינימום.

4. נמצא את ערך ה- y של הנקודה

על מנת לגלות את שיעור הy של הנקודה, נציב את הערך שמצאנו שכן הוא ערך הx של הנקודה בפונקציה.

7 + 9 – 4.5  = y
2.5 = y

לסיכום
נקודת הקיצון של הפונקציה (2.25,2.5) מינימום

סעיף ג’

אנו יכולים לראות את תחומי העליה והירידה של הפונקציה בקלות באמצעות הטבלה שיצרנו בסעיף הקודם.

נסכם אותם בכתב:
תחומי העליה – 2.25 < x
תחומי הירידה –

סעיף ד’

אנו יודעים כי הפונקציה שלנו בעלת נקודת קיצון מסוג מינימום, לכן נפסול ישר את הפונקציות 1,2.
בנוסף אנו יודעים ששיעור הy של נקודת הקיצון הוא 2.5.  כלומר שיעור חיובי
לכן, נקודת המינימום נמצאת מעל ציר ה x

הפונקציה הנכונה היא פונקציה מספר 3.

סעיף ה’

שיפוע המשיק לפונקציה שווה לשיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה.

לכן עלינו למצוא מתי הנגזרת שווה ל 1.

נעלה את שני אגפי המשוואה בריבוע על מנת להגיע לתשובה
9 = x

מצאנו כי כאשר x = 9 ערך הנגזרת הוא 1.

על מנת למצוא את נקודת ההשקה נמצא את ערך ה y כאשר x= 9.

נציב x = 9 בפונקציה:

7 = y
תשובה: נקודת ההשקה היא: (9,7)

תרגיל 5

סעיף א’

גרף 1 – g(x) מכיוון שהמקדם של x² שליל, לכן גרף 1 הוא “פרבולה בוכה”
גרף 2 – f(x) מכיוון שהמקדם של x² חיובי, לכן גרף 2 הוא “פרבולה מחייכת”

סעיף ב’

על מנת להוכיח זאת, נגזור את הפונקציות:

נשווה כל אחת מהפונקציות ל0 על מנת למצוא נק’ קיצון:

כמו שניתן לראות, הביטוי זהה בשני המקרים ושווה ל:
6 = 4x
1.5 = x

אנו רואים שבשתי הפונקציה x = 1.5 חשודה כקיצון.
נמצא את ערך ה y בשתי בשתי הפונקציות עבור x = 1.5.

לסיכום, ניתן לראות כי ערך הx וערך הy של הנקודות זהים, לכן נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) היא גם נקודת הקיצון של הפונקציה g(x).
נקודת הקיצון המשותפת של שתי הפונקציות היא (1.5,3.5)

סעיף ג’

ראשית, נקבע את גבולות האינטגרל

הגבול העליון יהיה נקודת הקיצון המשותפת של הפונקציות, x = 1.5
הגבול התחתון יהיה 0.

היות והשטח מוגבל על ידי שתי הפונקציות וציר הy, נשתמש בנוסחה להפרש פונקציות בצורה הבאה ולאחר מכן נחשב את האינטגרל:
ניתן לראות לפי השרטוט כי הפונקציה העליונה היא f(x), לכן נחסיר את g(x) מf(x).

נסדר את האיברים:

נבצע אינטגרל:

נציב:

תשובה סופית:
4.5 = s

תרגיל 6

סעיף א’

1.נביע את שיעורי הנקודה A

נסמן את שיעור ה – x של  נקודה A בx. (כך נדרשנו)
כדי למצוא את שיעורי הy של הנקודה A, נציב את שיעור הx בפונקציה f(x)  ונקבל ששיעורי הנקודה A הם:
(x , -x³ + 2.75x²)A

2.נביע באמצעות x את היקף המלבן ABOC

אנו יודעים כי ABOC הוא מלבן, לכן גודל הזוויות A,B,C,O הוא 90 מעלות. כלומר, הישר AC מקביל לציר הy ומאונך לציר הx.
לכן נוכל לקבוע כי אורך הישר AC הוא כאורך שיעור הy של נקודה A –
x³ + 2.75x²–

בנוסף,ניתן לומר שאורך הקטע AB הוא כאורך שיעור הx של נקודה A
x.

מכיוון שמדובר במלבן,
AB = OC
AC = BO
מכיוון שבמלבן זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו.

נחשב את ההיקף באמצעות הנוסחה:
P = 2(AB) + 2(AC)
נוכל לכתוב בצורה הזו מכיוון שAB = OC וAC = BO לכן אין משמעות לאיזו צלע נכתוב בחישוב.
P = 2(x) + 2(-x³ + 2.75x²)
P = 2x -2x³ + 5.5x²

זו הנוסחה המתארת את היקף המלבן.

סעיף ב’1

1.נגדיר את הביטוי שמצאנו להיקף כפונקציה.

f(x) = 2x -2x³ + 5.5x²

2. נגזור את הפונקציה על מנת למצוא ערך מקסימום (ערך הx עבורו היקף המלבן מקסימלי)

f ‘ (x) = 2 -6x² +11x
נשווה לאפס:
0 = 2 + 6x² + 11x-
נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל:
0.1666- = x₁
2 = x₂

מכוון שידוע שהנקודה A נמצאת ברביע הראשון הפתרון המתאים לשאלה הוא x = 2.

נמצא את סוג הקיצון בעזרת נגזרת שנייה

f ” (x) = -12x + 11

נציב x =2 בנגזרת השנייה

13- = f ” (2) = -12*2 + 11
הנגזרת השנייה שלילית כאשר
x = 2

לכן, הערך של x בעבורו היקף המלבן ABOC הוא מקסימלי הוא 2.

סעיף ב’2

על מנת למצוא את ההיקף המקסימלי של המלבן, נציב את הערך של x בעבורו היקף המלבן ABOC הוא מקסימלי בביטוי שיצרנו להיקף המלבן.
כלומר, נציב
x = 2
בביטוי
f(x) = 2x -2x³ + 5.5x²
f(2) = 2 * 2 – 2 * 8 + 5.5 * 4
f(2) = 4 – 16 + 22
f(2) = 10
ההיקף המקסימלי של המלבן ABOC הוא 10.