בדף זה פתרון בגרות 382 קיץ 2020.
את החומר ניתן ללמוד בדפים הבאים:
שאלה 1
סעיף א 1
ראשית נביע את מחיר החטיף באמצעות x. מחיר החטיף גדול ב- 1.5 ש”ח ממחיר הממתק, לכן:
מחיר הממתק- x
מחיר החטיף- x + 1.5
בשקית האדומה יש 2 חטיפים ו-2 ממתקים, לכן המחיר שלה הוא מחיר 2 חטיפים ו-2 ממתקים:
2x + 2(x + 1.5) =
2x + 2x + 3 =
4x + 3
מחיר השקית האדומה הוא 4x + 3
סעיף א 2
בשקית הצהובה יש 3 חטיפים וממתק אחד, לכן מחירה הוא:
x + 3(x + 1.5) =
x + 3x + 4.5 =
4x + 4.5
מחיר שקית צהובה הוא 4x + 4.5
סעיף ב (בניית משוואה)
למציאת מחיר ממתק ומחיר חטיף נצטרך למצוא את x.
למציאת x נשווה מחיר 43 שקיות אדומות למחיר 38 שקיות צהובות:
מחיר 38 שקיות אדומות
38(4x + 4.5)
מחיר 43 שקיות צהובות
43(4x + 3)
המחיר של 38 שקיות אדומות שווה למחיר 43 צהובות.
לכן המשוואה היא:
43(4x + 3) = 38(4x + 4.5)
172x + 129 = 152x + 171 / – 152x – 129
20x = 42 / : 20
x = 2.1
נמצא את מחיר הממתק ומחיר החטיף
בסעיף א הגדרנו:
מחיר הממתק- x
מחיר החטיף- x + 1.5
נציב את ערך x שמצאנו במחירי החטיף והממתק מסעיף א:
מחיר ממתק:
x = 2.1
מחיר חטיף:
x + 1.5 = 2.1 + 1.5 = 3.6
סעיף ג 1
נציב את ערך x שמצאנו בסעיף ב במחיר שקית צהובה שמצאנו בסעיף א 2:
x = 2.1
מחיר שקית צהובה: 4x + 4.5
4 * 2.1 + 4.5 = 12.9
מחיר שקית צהובה הוא 12.9
סעיף ג 2
ראשית, נצטרך למצוא את מחיר השקית האדומה. נציב את ערך x שמצאנו במחיר השקית האדומה שמצאנו בסעיף א 1:
x = 2.1
מחיר שקית אדומה 4x + 3
11.4 = 3 + 2.1 * 4
כעת, כדי לחשב בכמה אחוזים מחיר השקית האדומה נמוך ממחיר השקית הצהובה נחלק את שני המחירים ונכפיל ב-100:
זהו האחוז של המחיר של השקית האדומה מתוך השקית הצהובה. כדי לבדוק בכמה המחיר נמוך, נחסר ערך זה מ-100:
11.62% = 88.37% – 100%
מחיר השקית האדומה נמוך ב-11.62% ממחיר השקית הצהובה.
שאלה 2
סעיף א
לשני הישרים אותו שיפוע, וההבדל ביניהם הוא בנקודת החיתוך עם ציר y.
אנו רואים כי CD חותך את ציר x והוא עולה, לכן הוא חותך את ציר y בנקודה בה ערך y הוא שלילי.
הפרמטר החופשי במשוואת ישר מסמל את נקודת החיתוך של הישר עם ציר y. היחידה עם פרמטר חופשי שלילי היא משוואה 1, לכן משוואה זו מסמלת את צלע CD
תשובה: גרף 1 – CD
גרף 2 – AB
סעיף ב 1
נסמן: שיפוע BC הוא m.
נתון לנו כי BC ⊥ AB, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-.
ידוע לנו מסעיף קודם כי משוואת AB היא:
y = 0.5x + 3
לכן נבנה משוואה:
0.5m = -1 / : 0.5
m = -2
לכן כרגע משוואת הישר BC היא:
y = -2x + b
נתון לנו גם כי הנקודה B היא (7 , 8).
למציאת b במשוואת הישר נציב נקודה זו במשוואת הישר החלקית שמצאנו:
7 = -2 * 8 + b
7 = -16 + b / + 16
b = 23
לכן משוואת הצלע BC היא:
y = -2x + 23
סעיף ב2
מציאת ערך x של הנקודה C
למציאת שיעורי הקודקוד x נשווה בין משוואות הישר BC ו-DC.
משוואת DC:
y = 0.5x – 2
משוואת BC:
y = -2x + 23
-2x + 23 = 0.5x – 2 / + 2x + 2
25 = 2.5x / : 2.5
x = 10
מציאת ערך ה y ש הנקודה C
נציב ערך x של הנקודה C באחת ממשוואות הצלעות(BC או DC):
כאן נציב במשוואת DC:
y = 0.5 * 10 – 2 =
5 – 2 = 3
שיעורי הנקודה הם (3 , 10)C
סעיף ג 1
ידוע כי D היא נקודת החיתוך של DC עם ציר x( לכן y = 0). נשווה את משוואת הישר DC ל-0:
0.5x – 2 = 0 / + 2
0.5x = 2 / :0.5
x = 4
לכן שיעורים הנקודה D הם (0 , 4)D
סעיף ג 2
ידוע כי הישר AD מאונך לציר x, לכן:
xA = xD = 4
הנקודה A נמצאת על הישר AB שמשוואתו:
y = 0.5x + 3
למציאת ערך Y של הנקודה A נציב ערך x = 4 זה במשוואת הישר AB:
y = 0.5 * 4 + 3 =
2 + 3 = 5
לכן שיעורי הנקודה A הם (5 , 4)A
סעיף ד
כדי להוכיח זאת, נבדוק את המרחקים AB , BC. נציב את שיעורים הנקודות בנוסחת המרחק:
BC = AB = √20
שאלה 3
סעיף א
לסעיף זה 2 דרכים:
- המעגל עובר דרך ראשית הצירים, לכן נחשב את המרחק מהמרכז (2,3) עד לראשית הצירים (0,0) וזה אורך הרדיוס
- נציב במשוואת הישר החסרה את ראשית הצירים, ונמצא מכך את הרדיוס
דרך א
נחשב את המרחק בין הנקודות:
(M(2,3
(O(0,0
דרך ב
נציב במשוואת המעגל את מרכז המעגל (M(2,3 ואת הנקודה שעל המעגל (0,0)O
משוואת המעגל:
(x – xM)² + (y – yM)² = R²
נציב את ראשית הצירים ואת נקודה M במשוואה:
(0 – 2)² + (0 – 3)² = R²
R² = 4 + 9 = 13
R = √13
תשובה סופית:
משוואת המעגל היא:
(x – 2)² + (y – 3)² = 13
סעיף ב
נתון כי AO הוא קוטר, לכן מרכז המעגל הוא אמצע הקטע AO. נציב את ערכי נקודות
(M(2,3
(O(0,0
A (xA,yA)
בנוסחת אמצע קטע.
xM = 0.5(xO + xA)
2 = 0.5(0 + xA)
2 = 0.5xA / : 0.5
xA = 4
yM = 0.5(xO + yA)
3 = 0.5(0 + yA) = 0.5yA / : 0.5
yA = 6
לכן שיעורים נקודה A הם: (6 , 4)A
סעיף ג
דרך הפתרון:
נמצא את שיפוע הישר AO.
ידוע כי הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, לכן בעזרת שיפוע AO נמצא את שיפוע המשיק ואז בעזרת שיעורי נקודה A את משוואת הישר.
מציאת שיפוע AO
ראשית נמצא את שיפוע הישר:
מציאת שיפוע המשיק BA
נסמן- a – שיפוע המשיק
מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1- , לכן נבנה את המשוואה:
1.5a = – 1 / 1.5
משוואת הישר החלקית:
כעת נציב את הנקודה (6 , 4)A במשוואת הישר למציאת הפרמטר b.
18 = -8 + 3b / + 8
26 = 3b / : 3
b = 26 / 3
לכן משוואת הישר היא:
סעיף ד
המשולש ΔABM הוא ישר זווית כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
לכן שטח המשולש הוא:
SΔABM = 0.5 * AM * AB
AM = √13 הוא אורך הרדיוס והוא ידוע לנו.
נשאר למצוא את אורך AB.
(6 , 4)A
לשם כך נמצא את ערכי נקודה B ונציב בנוסחת מרחק.
ידוע כי B זו נקודת החיתוך של הישר
עם ציר x, לכן נציב y = 0 במשוואה.
-2x + 26 = 0 / + 2x
26 = 2x / :2
x = 13
לכן שיעורי נקודה B הם (0 , 13)B
לכן נציב את נקודות AB בנוסחת המרחק בין שתי נקודות:
(6 , 4)A
(0 , 13)B
SΔABM = 0.5 * AM * AB =
0.5 * √13 * √117 = 19.5
שטח המשולש הוא 19.5 יחידות שטח.
שאלה 4
סעיף א
ההגבלה על תחום ההגדרה היא שאסור שהמכנה יתאפס.
לכן תחום ההגדרה הוא: x ≠ 0
סעיף ב
חשודה לאסימפטוטה אנכית היא x = 0. ערך זה לא מאפס את המונה, ולכן יש אסימפטוטה אנכית.
תשובה: אסימפטוטה אנכית- x = 0
סעיף ג
למציאת נקודת הקיצון יש לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת ל-0.
נגזור את הפונקציה כסכום של מנה ופולינום:
0.32x³ – 5 = 0 / + 5
0.32x³ = 5 / : 0.32
x³ = 15.625
x = 2.5
חשודה לקיצון: x = 2.5
| x > 2.5 | x = 2.5 | x < 2.5 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
נציב ערך x בנגזרת עבור כל תחום לווידוא חיוביות/שליליות הנגזרת:
| x > 2.5 | x = 2.5 | x < 2.5 | תחום |
| 0 > 0.4 | 0 > 4.68- | f ‘ (x) | |
| עולה | מינימום | יורדת | f(x) |
לכן בנקודה בה x = 2.5 יש לפונקציה נקודת מינימום. נציב ערך זה בפונקציה למציאת ערך y של הנקודה:
לכן בנקודה (3 , 2.5) יש לפונקציה נק’ מינימום
תשובה סופית: נק’ הקיצון של הפונקציה:
מינימום – (3 , 2.5)
סעיף ד
נאסוף את הנתונים מהסעיפים הקודמים:
תחום ההגדרה הוא: x ≠ 0
אסימפטוטה אנכית- x = 0
נק’ מינימום – (3 , 2.5)
נסתכל על הגרפים, ונשים לב כי השרטוט היחיד בו לפונקציה יש נקודת מינימום בה גם ערך y וגם ערך x חיוביים הוא גרף 2.
בגרף זה יש גם אסימפטוטה אנכית ב-x = 0, לכן גרף 2 הוא גרף הפונקציה.
שרטוט הגרף:
סעיף ה
נסתכל על גרף הפונקציה.
ערך y של נק’ המינימום הוא y = 3, לכן הישר y = 5 עובר מעל נק’ המינימום.
כל ישר שמקביל לציר x שנעביר מעל נק’ המינימום יחתוך את הפונקציה ב-3 נקודות שונות, לכן הישר y = 5 יחתוך את הפונקציה ב-3 נקודות.
תשובה סופית: יהיו לפונקציה 3 נקודות חיתוך עם הישר
שאלה 5
סעיף א
המשיק עובר דרך הנקודה A(-2 , 0).
לכן על מנת למצוא את משוואת המשיק אנו צריכים למצוא את השיפוע.
1.נמצא את שיפוע המשיק.
שיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודת ההשקה x = -2.
נגזור את הפונקציה:
f(x) = x³ – 3x + 2
f ‘ (x) = 3x² – 3
נציב בנגזרת x = -2.
f ‘ (-2) = 3 * (-2)² – 3 =
3 * 4 – 3 =
12 – 3 = 9
לכן שיפוע הישר המשיק לפונקציה בנקודה A הוא 9
משוואת הישר החלקית:
y = 9x + b
2.נמצא את משוואת המשיק
נציב את נקודה A(-2 , 0) במשוואת המשיק
y = 9x + b
0 = 9 * (-2) + b
0 = -18 + b / + 18
b = 18
לכן משוואת הישר המשיק לפונקציה בנקודה A היא:
y = 9x + 18
סעיף ב
השטח הדרוש הוא השטח העליון המסומן:
השטח שמתחת למשיק פחות השטח שמתחת לפונקציה הנתונה.
האינטגרל הוא מהנקודה A(-2 , 0) ועד (0,0).
= 0.5 * 9 * 0² + 18 * 0 – [0.5 * 9 * (-2)² + 18 * (-2)] –
– [0.25 * 0 – 0.5 * 3 * 0² + 2 * 0 – (0.25 * (-2)4 – 0.5 * 3 * (-2)² + 2 * (-2)] =
= 0 – (18 – 36) – [0 – (4 – 6 – 4) =
18 – (0 + 6) = 12
גודל השטח הדרוש הוא 12 יחידות שטח.
שאלה 6
סעיף א
נביע את שלושת המספרים באמצעות משתנה אחד:
x – המספר הראשון.
3x – המספר השני שגדול פי 3.
נתון כי סכום שלושת המספרים הוא 15, לכן נבנה משוואה:
15 = המספר השלישי + המספר השני + המספר הראשון
נסמן: המספר השלישי – y
ונציב את שלושת המספרים במשוואה מלמעלה:
x + 3x + y = 15
4x + y = 15 / – 4x
y = 15 – 4x
תשובה סופית:
המספר הראשון x.
המספר השני- 3x
המספר השלישי:
15 – 4x
סעיף ב 1
ערכי המספרים שמצאנו בסעיף הקודם:
המספר הראשון – x
המספר השני- 3x
המספר השלישי:
15 – 4x
למציאת הערך עבורו מכפלת המספרים תהיה מקסימלית נגדיר פונקציה שהיא מכפלת שלושת המספרים:
= f(x) = x * 3x * (15 – 4x)
3x² * (15 – 4x) =
45x² – 12x³ =
זהו ערך המכפלה למציאת מקסימום נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל-0.
f(x) = 45x² – 12x³
f ‘ (x) = 90x – 36x² = 0
9x(10 – 4x) = 0
למשוואה זו שני פתרונות:
9x = 0
x = 0
או:
10 – 4x = 0 / + 4x
10 = 4x / : 4
x = 2.5
ישנם שני ערכים חשודים למכפלה מקסימלית: x1 = 0 , x2 = 2.5
| x > 2.5 | x = 2.5 | 0 < x < 2.5 | x = 0 | x < 0 | תחום |
| f ‘ (x) | |||||
| f(x) |
נציב בנגזרת ערך x עבור כל אחד מהתחומים לבדיקות חיוביות/שליליות:
f ‘ (x) = 90x – 36x²
עבור התחום x < 0
= f ‘ (-1) = 90 * (-1) – 36 * (-1)²
= -90 – 36 = -126 < 0
עבור התחום
0 < x < 2.5
f ‘ (1) = 90 * 1 – 36 * 1² = 90 – 36 = 54 > 0
עבור התחום x > 2.5
= f ‘ (3) = 90 * 3 – 36 * 3²
= 270 – 324 = -54 < 0
נציב את הנתונים בטבלה:
| x > 2.5 | x = 2.5 | 0 < x < 2.5 | x = 0 | x < 0 | תחום |
| -54 < 0 | 54 > 0 | -126 < 0 | f ‘ (x) | ||
| יורדת | מקסימום | עולה | מינימום | יורדת | f(x) |
עבור x = 0 המכפלה מינימלית.
עבור x = 2.5 מכפלת שלושת המספרים מקסימלית.
ולכן זו התשובה.
סעיף ב 2
כדי למצוא את המכפלה המקסימלית נציב x = 2.5 בפונקציה שהגדרנו בסעיף הקודם:
f(x) = 45x² – 12x³
f(2.5) = 45 * 2.5² – 12 * 2.5³ = 93.75
המכפלה המקסימלית של שלושת המספרים תהיה 93.75