בדף זה פתרון בגרות שאלון 382 (לשעבר 803) קיץ 2019.
את החומר ניתן ללמוד בדפים הבאים:
שאלה 1
סעיף א 1
הכיוון הכללי של הסעיף הוא להגיע למשוואה בה נכללים מחירי הכרטיסיות לאחר ההנחה והסכום הכולל שדנה שילמה.
נגדיר משתנים:
x – מחיר מקורי כרטיסייה לילד
מחיר כרטיסייה למבוגר גדול פי 1.6 ממחיר כרטיסייה של ילד, לכן:
1.6x – מחיר מקורי כרטיסייה למבוגר
מציאת המחירים אחרי ההנחה
מחיר הכרטיסייה לילד היה 10% פחות ממחיר הכרטיסייה המקורי, לכן המחיר אחרי ההנחה הוא:
x – 0.1x = 0.9x
0.9x – מחיר הכרטיסייה לילד לאחר ההנחה
מחיר הכרטיסייה למבוגר היה 20% פחות ממחיר הכרטיסייה המקורי(למבוגר), לכן המחיר אחרי הנחה היה:
1.6x – 0.2 * 1.6x = 1.6x – 0.32x = 1.28x
1.28x – מחר הכרטיסייה למבוגר לאחר ההנחה
נסכם את המחירים שמצאנו:
מחיר מקורי כרטיסייה לילד- x
מחיר מקורי כרטיסייה למבוגר- 1.6x
מחיר לאחר הנחה ילד- 0.9x
מחיר לאחר הנחה מבוגר- 1.28x
בניית המשוואה
מחיר כרטיסייה אחת למבוגר אחרי הנחה: 1.28x
מחיר 4 כרטיסיות לילד לאחר הנחה:
4 * 0.9x = 3.6x
הסכום הכולל שדנה שילמה הוא 854 ש”ח, לכן המשוואה היא:
3.6x + 1.28x = 854
4.88x = 854 / : 4.88
x = 175
תשובה סופית: מחיר כרטיסייה לילד- 175 ש”ח
סעיף א 2
בסעיף א 1 מצאנו כי מחיר כרטיסייה למבוגר לפני הנחה הוא 1.6x.
נציב את ערך x שמצאנו בסעיף הקודם, x = 175
280 = 175 * 1.6
תשובה סופית: מחיר כרטיסייה למבוגר לפני ההנחה היה 280 ש”ח
סעיף ב 1
בסעיף א מצאנו את מחירי הכרטיסיות המקוריים:
ילד – 175 ש”ח
מבוגר- 280 ש”ח
לכן מחיר 4 כרטיסיות לילד וכרטיסייה אחת למבוגר לפני הנחה יהיה:
980 = 280 + 175 * 4
שיר שילמה סך הכל 980 ש”ח.
סעיף ב 2
כדי למצוא בכמה אחוזים גבוה המחיר ששיר שילמה מהמחיר שדנה שילמה נמצא את ההפרש בין שני המחירים.
אח”כ נמצא כמה אחוז ההפרש מהווה מהמחיר שדנה שילמה.
המחיר שדנה שילמה: 854 ש”ח
המחיר ששיר שילמה: 980 ש”ח
126 = 854 – 980
המחיר ששילמה שיר היה גבוה ב-14.75% מהמחיר שדנה שילמה.
שאלה 2
סעיף א
נתונה לנו משוואת הישר AD:
y = -0.25x + 1
נשתמש במשוואת הישר למציאת הנקודות B ו-A
מציאת הנקודה B
הנקודה B היא נקודה החיתוך של הישר הנתון עם ציר x.
נשווה את משוואת הישר הנתונה ל-0 וכך נמצא את שיעור ה-x של הנקודה.
-0.25x + 1 = 0 / + 0.25x
1 = 0.25x / : 0.25
x = 4
לכן הנקודה B היא B(4 , 0)
מציאת הנקודה A:
הנקודה A היא נק’ החיתוך של הישר הנתון עם ציר y, לכן נציב במשוואה x = 0:
y = -0.25 * 0 + 1 = 1
לכן הנקודה A היא A(0 , 1)
תשובה סופית: A(0 , 1) , B(4 , 0)
סעיף ב 1
נתון כי B היא אמצע הקטע AD, לכן למציאת הנקודה D נשתמש בנוסחת מרכז קטע.
מסעיף א אנו יודעים כי הנקודות הן: A(0 , 1) , B(4 , 0)
xB = 0.5(xA + xD)
4 = 0.5(0 + xD)
4 = 0.5xD / : 0.5
xD = 8
yB = 0.5(yA + yD)
0 = 0.5(1 + yD) / : 0.5
0 = 1 + yD / – 1
yD = -1
לכן הנקודה D היא D(8 , -1)
סעיף ב 2
ראשית, נמצא את שיפוע הישר DC.
נסמן- m – שיפוע הישר DC.
נתון כי DC מאונך ל- AD, לכן מכפלת שיפועי הישרים היא 1-.
נתון לנו כי משוואת הישר AD היא y = -0.25x + 1
לכן שיפוע AD הוא 0.25-, לכן נבנה משוואה:
0.25m = -1 / : -0.25-
m = 4
משוואת הישר החלקית של DC:
y = 4x + b
למציאת b נציב במשוואה החלקית את הנקודה D שמצאנו בסעיף הקודם
D(8 , -1)
-1 = 4 * 8 + b
-1 = 32 + b / -32
b = -33
לכן משוואת הישר DC היא y = 4x – 33
סעיף ג
ראשית, נמצא את הנקודה C.
נתון לנו כי ערך x של הנקודה הוא 10 וכי הנקודה היא על הישר DC שמשוואתו היא:
y = 4x – 33
נציב במשוואת הישר x = 10 למציאת ערך y של הנקודה:
y = 4 * 10 – 33 = 40 – 33 = 7
לכן שיעורי נקודה C הם C(10 , 7)
ידוע כי F היא נקודת החיתוך של האנך מ-C לציר ה-x עם ציר x.
לכן xC = xF = 10
F היא על ציר x, לכן שיעור y שלה הוא אפס.
הנקודה F היא F(10 , 0)
כעת נמצא את אורכי צלעות המרובע.
אורך OA:
הישר נמצא על ציר y, לכן אורכו הוא הפרש ערכי y של הנקודות
OA = yA – yO = 1 – 0 = 1
אורך OF:
הישר נמצא על ציר x, לכן אורכו הוא הפרש ערכי x של הנקודות.
OF = xF – xO = 10 – 0 = 10
אורך FC:
הישר FC מקביל לציר y, לכן אורכו הוא הפרש ערכי y של הנקודות F ו-C:
FC = yC – yF = 7 – 0 = 7
אורך AC:
למציאת אורך AC אנו נשתמש בנוסחת מרחק בין נקודות:
סיכום אורכי הצלעות שמצאנו:
OA = 1
OF = 10
FC = 7
AC = 11.66
= PAOFC = OA + OF + FC + AC
29.66 = 1 + 10 + 7 + 11.66 =
היקף המרובע הוא 29.66 יחידות.
שאלה 3
סעיף א 1
נתון לנו כי שיעור x של הנקודה B הוא 4
בנוסף, נתון לנו כי הנקודה B נמצאת על הישר y = 0.5x + 4
למציאת ערך y של הנקודה B נציב במשוואת הישר x = 4:
y = 0.5 * 4 + 4 = 2 + 4 = 6
שיעור ה-y של נקודה B הוא 6
לכן שיעורי הנקודה B הם B(4 , 6).
הערה: לא דרשו מאיתנו את שיעורי הנקודה במפורש, אבל נצטרך אותם בהמשך השאלה, לכן זה נוח שזה כתוב במפורש.
סעיף א 2
נתון כי KB מאונך ל-BM, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-.
נסמן: m – שיפוע הישר BM
נתון כי משוואת הישר של KB היא y = 0.5x + 4
לכן נבנה את המשוואה:
0.5m = -1 / : 0.5
m = -2
שיפוע הישר BM הוא 2-.
סעיף א 3
בסעיף א 2 מצאנו את שיפוע BM שהוא 2-, לכן משוואת הישר החלקית היא:
y = -2x + b
למציאת b אנו צריכים להציב נקודה על הישר. נציב את B(4 , 6) שמצאנו בסעיף א 1:
6 = -2 * 4 + b
6 = -8 + b / + 8
b = 14
משוואת הישר BM:
y = -2x + 14
סעיף ב 1
הנקודה M היא נקודת החיתוך של BM ו-OM.
את משוואת BM מצאנו בסעיף הקודם והיא y = -2x + 14
משוואת OM נתונה לנו והיא y = x / 3
למציאת שיעור x של הנקודה M נשווה בין שתי משוואות הישר:
x = -6x + 42 / + 7x
7x = 42 / : 7
x = 6
שיעור x של הנקודה M הוא 6.
כדי למצוא את שיעור y של הנקודה נציב x = 6 באחת ממשוואות הישר:
y = -2 * 6 + 14 = -12 + 14 = 2
שיעורי הנקודה M הם M(6 , 2)
סעיף ב 2
ידוע כי משוואת מעגל שמרכזו בנקודה M היא:
(x – xM)² + (y – yM)² = R²
את שיעורי נקודה M מצאנו בסעיף הקודם, נשאר לנו למצוא את אורך הרדיוס.
נמצא אותו בעזרת נוסחת המרחק בין שתי נקודות. נציב את נקודות B שעל המעגל ו-M שהיא מרכז המעגל.
בסעיף א 1 מצאנו: B(4 , 6)
בסעיף ב 1 מצאנו: M(6 , 2)
לכן משוואת המעגל היא:
(x – 6)² + (y – 2)² = 20
סעיף ג 1
משוואת המשיק נתונה בתחילת השאלה והיא y = 0.5x + 4
נתון כי k היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר y, לכן שיעור ה-x של הנקודה הוא 0.
למציאת שיעור y של הנקודה נציב במשוואת הישר x = 0
y = 0.5 * 0 + 4 = 4
שיעורי הנקודה k הם: K(0 , 4)
סעיף ג 2
ידוע לנו כי המשולש ΔBMK הוא ישר זווית, לכן שטחו הוא:
SΔBMK = 0.5 * BK * MB
MB הוא רדיוס המעגל, אותו מצאנו. אורכו 20√
את אורך BK נמצא בעזרת נוסחת מרחק בין הנקודות B ו-K:
= SΔBMK = 0.5 * BK * MB
= 0.5 * √20 * √20 = 0.5 * 20 = 10
שטח המשולש ΔBMK הוא 10 יחידות שטח.
שאלה 4
סעיף א 1
ההגבלה היחידה על x היא שאסור למכנה להתאפס.
לכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.
סעיף א 2
x = 0 מאפס את המכנה אבל לא את המונה בשבר, לכן זו אסימפטוטה אנכית.
תשובה: אסימפטוטה אנכית- x = 0
סעיף ב
למציאת נק’ קיצון נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל-0.
x² – 9 = 0
(x + 3) (x – 3) = 0
x1 = -3 , x2 = 3
שתי חשודות לקיצון: x1 = -3 , x2 = 3
נשים לב כי גם בגלל תחום ההגדרה, x = 0 מבצע חלוקה נוספת לתחומים.
| -3 < x < 0 | x = -3 | x < -3 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
| x > 3 | x = 0 | 0 < x < 3 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
נציב בנגזרת x עבור כל תחום לבדיקת חיוביות/שליליות:
עבור x < -3:
עבור
: -3 < x < 0
עבור
0 < x < 3
עבור x > 3 :
נשלים את הטבלה בהתאם:
| -3 < x < 0 | x = -3 | x < -3 | תחום |
| 0 > 8- | 0 < 0.4375 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
| x > 3 | x = 3 | 0 < x < 3 | תחום |
| 0 < 0.4375 | 0 > 8- | f ‘ (x) | |
| עולה | מינימום | יורדת | f(x) |
מסקנה:
מקסימום – x = -3
מינימום- x = 3
נציב ערכים אלה בפונקציה למציאת ערכי y של הנקודות:
לכן נקודות הקיצון של הפונקציה הן:
מינימום – (7 , 3)
מקסימום – (5- , 3-)
סעיף ג
מצאנו את תחומים אלה בסעיף הקודם, צריך רק להביא את הנתונים מהטבלה:
תחומי עלייה – x < -3 , x > 3
תחומי ירידה-
-3 < x < 0 , 0 < x < 3
סעיף ד
נאסוף את נתונים שמצאנו עד כה:
תחום ההגדרה הוא x ≠ 0
אסימפטוטה אנכית- x = 0
תחומי עלייה – x < -3 , x > 3
תחומי ירידה-
-3 < x < 0 , 0 < x < 3
מינימום – (7 , 3)
מקסימום – (5- , 3-)
הגרף היחיד המתאים לכל התכונות האלה הוא גרף 2.
סעיף ה
דרך א
נסתכל על סקיצת הגרף. אנו רואים כי בתחום x < 0 הפונקציה שלילית, לכן בתחום זה לפונקציה אין נקודות חיתוך עם הישר.
נסתכל על התחום x > 0.
ערך ה-y של נקודת המינימום הוא 7, לכן הישר y = 9 הוא מעליה.
אנו רואים כי מעל נקודת המינימום לכל ערך y יש לפונקציה שני ערכי x שמתאימים.
לכן לישר y = 9 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.
דרך ב
נפתור משוואה ריבועית:
הערה: העלנו בריבוע, לכן יכול להיות שהוספנו פתרונות.
יש לוודא כי אף אחד מהפתרונות לא סותר את תחום ההגדרה של הפונקציה המקורית.
x² + 9 + x = 9x / – 9x
x² – 8x + 9 = 0
נשתמש בנוסחת השורשים:
נשים לב כי בגלל שהדיסקרימיננטה חיובית, יש למשוואה שני פתרונות.
אף אחד מהם הוא לא אפס(אם היה פתרון x = 0 היינו יכולים להוציא גורם משותף x), לכן אנו יודעים כי התשובה היא 2.
מי שלא רואה זאת, ימשיך לפתור וימצא את ערכי x של שתי נקודות החיתוך:
תשובה: לפונקציה יש שתי נקודות חיתוך עם הישר y = 9
שאלה 5
סעיף א
למציאת נקודות A ו-B נשווה את הפונקציה ל-0.
f(x) = -x² + 6x – 5 = 0 / * (-1)
x² – 6x + 5 = 0
(x – 5)(x – 1) = 0
x1 = 1 , x2 = 5
ניתן לראות כי ערך x של A קטן משל B, לכן:
xA = 1 , xB = 5
שתי הנקודות הן נקודות חיתוך עם ציר x, לכן ערך ה-y שלהן הוא 0.
תשובה סופית: A(1 , 0) , B(5 , 0)
סעיף ב
למציאת נקודת הקיצון של הפונקציה נצטרך לגזור את הפונקציה ולהשוות ל-0
f(x) = -x² + 6x – 5
f ‘ (x) = -2x + 6 = 0 / + 2x
2x = 6 / : 2
x = 3
נבדוק את תחומי העלייה והירידה כדי לוודא שאכן מדובר בקיצון:
| x > 3 | x = 3 | x < 3 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
נציב בנגזרת ערך x עבור כל תחום למציאת חיוביות/שליליות:
f ‘ (x) = -2x + 6
עבור x < 3 :
f ‘ (0) = -2 * 0 + 6 = 6 > 0
f ‘ (4) = -2 * 4 + 6 = -8 + 6 = -2 < 0
| x > 3 | x = 3 | x < 3 | תחום |
| -2 < 0 | 6 > 0 | f ‘ (x) | |
| יורדת | מקסימום | עולה | f(x) |
לכן בנקודה x = 3 יש מקסימום. נציב x = 3 בפונקציה למציאת ערך y של הנקודה:
f(x) = -x² + 6x – 5
f(3) = -3² + 6 * 3 – 5 = -9 + 18 – 5 = 4
תשובה סופית: שיעורי הנקודה C הם C(3 , 4)
סעיף ג
דרך א
נתנו לנו משוואת ישר. נציב בו את הנקודות A ו -C.
אם נראה ששתי הנקודות מקיימות את המשוואה, אז הישר הנתון הוא AC.
y = 2x – 2
C(3 , 4) , A(1 , 0)
הצבת A:
0 = 2 * 1 – 2
0 = 0
הנקודה מקיימת את המשוואה.
הצבת C:
2 – 3 * 2 = 4
4 = 4
הנקודה מקיימת את המשוואה.
שתי הנקודות מקיימות את המשוואה, לכן המשוואה הנתונה זו משוואת הישר AC.
דרך ב
נתונות לנו שתי נקודות על הישר AC. נמצא בעזרתן את משוואת הישר ונראה אם היא זהה למשוואה הנתונה:
C(3 , 4) , A(1 , 0)
שיפוע הישר:
משוואת הישר החלקית: y = 2x + b
למציאת הפרמטר b נציב את אחת הנקודות במשוואה החלקית. בפתרון זה נציב את A(אך אפשר להציב גם את C):
0 = 2 * 1 + b
0 = 2 + b / -2
b = -2
לכן משוואת הישר AC היא: y = 2x – 2
משוואת הישר אכן זהה למשוואה הנתונה.
סעיף ד
נגדיר:
S – השטח הדרוש
S1 – השטח מתחת לישר(כחול)
S2 – השטח מתחת לפונקציה(ירוק)
S = S1 + S2
= 3² – 2 * 3 – (1² – 2) = 9 – 6 – (-1) =
= 3 + 1 = 4
שאלה 6
סעיף א 1
שיעורי הנקודה A הם: A(x , 5 – √x)
הצלעות AC ו-OB מקבילות לצירים, לכן אורכן הוא ערך x של A.
AC = OB = x
הצלעות OA ו-BC מקבילות לציר y, לכן אורכן הוא ערך y של A.
OA = BC = 5 – √x
לכן היקף המלבן הוא:
= PAOBC = AB + OB + OA + BC
2x + 2(5 – √x) = 2x + 10 – 2√x =
PAOBC = 2x + 10 – 2√x
סעיף א 2
נגדיר פונקציה שהיא היקף המלבן. למציאת המינימום נגזור אותה ונשווה את הנגזרת לאפס:
f(x) = 2x + 10 – 2√x
2√x – 1 = 0 / + 1
2√x = 1 / : 2
√x = 0.5
x = 0.25
נוודא שאכן מדובר בנק’ קיצון:
| x > 0.25 | x = 0.25 | 0 < x < 0.25 | תחום |
| f ‘ (x) | |||
| f(x) |
עבור
0 < x < 0.25
עבור x > 0.25:
| x > 0.25 | x = 0.25 | 0 < x < 0.25 | תחום |
| 0 < 1 | 0 > 0.23- | f ‘ (x) | |
| עולה | מינימום | יורדת | f(x) |
f(x) = 2x + 10 – 2√x
= f(0.25) = 2 * 0.25 + 10 – 2 * √0.25
= 0.5 + 10 – 1 = 9.5
היקף המלבן המינימלי הוא 9.5 יחידות.