פתרון בגרות 382 חורף 2024

סעיף א

20x – 168

סעיף ב

x = 52.5

סעיף ג

9%

נסמן:

x – המחיר של מטר בד משי

x – 14 – המחיר של מטר בד כותנה

נתון שמאיה קנתה 12 מטרים של בד כותנה ו־ 8 מטרים של בד משי.

הסכום הכולל שמאיה שילמה:

 8x + 12(x – 14) =

= 8x + 12x – 168

 = 20x – 168

לכן הסכום הכולל ששילמה מאיה בעבור הבדים שקנתה הוא 20x – 168

נתון שעדן קנתה באותה החנות 20 מטרים של בד משי בהנחה של 16% מן המחיר הרגיל.

נחשב את האחוז שנותר לאחר ההנחה:

100% – 16% = 84%

לכן המחיר הוא 84% מהמחיר מ x.

0.84x

נתון שהסכום הכולל ששילמה עדן בעבור בד המשי שקנתה היה שווה לסכום הכולל ששילמה מאיה בעבור הבדים שקנתה.

לכן נשווה בין הסכומים על מנת למצוא את x:

20x – 168 = 16.8x

3.2 : / 3.2x = 168

x = 52.5

נתון שעדן תפרה מן הבד שקנתה 14 חולצות באותו גודל.

לתפירת חולצה אחת נדרשים 1.3 מטרים בד.

נחשב בכמה בד עדן השתמשה:

14 • 1.3 = 18.2

נתון שעדן רכשה 20 מטרים בד לכן נחשב כמה מטרים בד נותר לה:

20 – 18.2 = 1.8

נחשב כמה אחוזים מן הבד שקנתה עדן נשארו לה לאחר התפירה:

לכן נשארו לה לאחר התפירה 9%.

סעיף א + ב

את הקנייה של מאיה ניתן לתאר כך:

את הקנייה של עדן ניתן לתאר כך:

0.84x * 20 = 16.8x

ומכוון שהסכומים שווים המשוואה היא:

20x – 168 = 16.8x

סעיף ג

נותרו 1.8 מטר בד.

את האחוז מחשבים מתוך המספר המקורי ולכן החישוב הוא 1.8 מתוך 20.

סעיף א

A (2 , 0)

D (0 , 4)

סעיף ב

y = 0.5x – 1

סעיף ג

B (20 , 9)

סעיף ד1

y = – 0.33x + 9

סעיף ד2

F (12 , 5)

סעיף ה

40

נתון כי משוואת הישר AD היא y = – 2x + 4

הנקודה A נמצאת על ציר ה-x  נציב במשוואת הישר y = 0:

0 = – 2 x + 4

2x = 4

x = 2

A (2 , 0)

הנקודה D נמצאת על ציר ה-y לכן על מנת למצוא אותה נציב במשוואת הישר x = 0:

y = – 2 • 0 + 4

y = 4

D (0 , 4)

נתון הצלע AD מאונכת לצלע AB.

ולכן: m_AD • m_AB = – 1

ממשוואת הישר AD ניתן להסיק ש-m_AD = – 2

ולכן:

– 2 • m_AB = – 1 / : – 2

m_AB = 0.5

בסעיף הקודם מצאנו ש

A (2 , 0)

נציב את הנקודה והשיפוע במשוואת הישר:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 0 = 0.5 (x – 2)

y = 0.5x – 1

לכן משוואת הישר AB:

y = 0.5x – 1

נתון הצלע BE מקבילה לציר ה־x. ו- E (0 , 9)

לכן BE שומרת על ערך y קבוע שהוא 9.

משוואת BE היא y = 9.

משוואת AB היא y = 0.5x – 1

לכן נציב במשוואת AB את y = 9 על מנת לחשב את ערך ה-x:

9 = 0.5x – 1

0.5x = 10 / : 0.5

x = 20

לכן:

B (20 , 9)

נתונים נקודה ושיפוע:

E (0 , 9)
m_EF = – 0.33

לכן על מנת למצוא את משוואת EF נציב את הנתונים בנוסחה למציאת משוואת ישר:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 9 = – 0.33 (x – 0)

y = – 0.33x + 9

נתון F היא נקודת החיתוך של AB ו-EF לכן על מנת למצוא את נקודה F נשווה בין AB ל-EF:

– 0.33x + 9 = 0.5x – 1

0.83x = 10 / : 0.83

x = 12

נציב את ערך ה-x שמצאנו באחת מהמשוואות:

y = 0.5 • 12 – 1

y = 5

לכן F (12 , 5)

נחשב את אורך הגובה לצלע EB מהקודקוד F:

 9 – 5 = 4

נחשב את אורך הצלע EB:

20 – 0 = 20

נחשב את שטח המשולש:

סעיף א1

5

סעיף א2

(x – 9)² + (y – 2)² = 25

סעיף ב

D (6 , – 2)

סעיף ג1

1.33 –

סעיף ג2

y = 0.75x + 1.5

סעיף ד

22.45

AM הוא רדיוס המעגל נחשב את אורכו לפי נוסחת דיסטנס:

A (6 , 6) , M (9 , 2)

התשובה הראשונה נפסלת כי אורך הוא חיובי ולכן:

R = 5

על מנת למצוא את משוואת המעגל נציב את הנתונים בנוסחה:

R = 5 , M (9 , 2)

(x – a)² + (y – b)² = R²

(x – 9)² + (y – 2)² = 5²

לכן משוואת המעגל היא:

(x – 9)² + (y – 2)² = 25

נתון שהנקודה D נמצאת על המעגל, כך ש־AD מקביל לציר ה־y.

ניתן להסיק מכך שלנקודה A ולנקודה D יש את אותו ערך x שהוא 6.

לכן על מנת למצוא את ערך ה-y של הנקודה D נציב x = 6 במשוואת המעגל:

(6 – 9)² + (y – 2)² = 25

9 + (y – 2)² = 25

(y – 2)² = 16 / √

y – 2 = 4

A של y-נפסל כי מדובר ב  – y = 6

או

y – 2 = – 4

y = – 2

לכן:

D (6 , – 2)

נחשב את שיפוע AM לפי הנוסחה לחישוב שיפוע מדף הנוסחאות:

A (6 , 6) , M (9 , 2)

הרדיוס מאונך למשיק בנקודת השקה ולכן נמצא את שיפוע המשיק לפי מכפלת שיפועים מאונכים שווה ל1 – :

m_AM • m_AE = – 1

  – 1.33 • m_AE = – 1 \ : – 1.33

m_AE = 0.75

ונתון A (6 , 6)

נציב את הנתונים בנוסחה למציאת משוואת ישר:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 6 = 0.75 (x – 6)

y = 0.75x + 1.5

לכן משוואת המשיק היא y = 0.75x + 1.5

נחשב תחילה את הנקודה E הנמצאת על ציר ה-y ולכן נציב x = 0 במשוואת AE שמצאנו בסעיף הקודם:

y = 0.75 • 0 + 1.5

y = 1.5

E (0 , 1.5)

נחשב את אורך AE לפי נוסחת דיסטנס:

E (0 , 1.5) , A (6 , 6)

האופציה הראשונה נפסלת כי אורך הוא חיובי.

נחשב את אורך ED לפי נוסחת דיסטנס:

E (0 , 1.5) , D (6 , – 2)

האופציה הראשונה נפסלת כי אורך הוא חיובי.

נחשב את אורך AD:

D (6 , – 2) , A (6 , 6)

AD הוא ישר המקביל לציר ה-y ולכן אורכו:

AD = 6 – (- 2) = 6 + 2 = 8

נחשב את היקף המשולש EAD ע”י חיבור כל הצלעות:

8 + 6.95 + 7.5 = 22.45

לכן היקף המשולש הוא 22.45.

סעיף א

x ≥ 0

סעיף ב

(5 , 0)

סעיף ג

(9 , 4)

סעיף ד1

(0 , 25)

סעיף ד2

y = – 0.6x + 15

תחום הגדרה

f (x) = 4 √x – x + 5

תחום ההגדרה הוא תוכן השורש גדול שווה מ-0

x ≥ 0.

חיתוך עם ציר ה y

נציב x = 0 בפונקציה:

f (x) = 4 √x – x + 5

 = 4 √0 – 0 + 5 = 5

ולכן נקודת החיתוך עם ציר ה-y היא (5 , 0)

מציאת נקודת מקסימום

נזכור כי הנגזרת של שורש היא:

על מנת למצוא את נקודת המקסימום נגזור את הפונקציה ונשווה ל 0:

מכיוון שהעלנו בריבוע צריך לבדוק את הפתרון.

נציב במשוואה שהייתה לפני שהעלינו בריבוע:

2 = x√

2 = 4√

2 = 2

הפתרון נכון.

לכן הנקודה החשודה לקיצון: x = 4

נציב בנגזרת:

f ‘ (2) = 0.41

f ‘ (5) = – 0.1

נציב x = 4 בפונקציה המקורית על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת המקסימום:

f (x) = 4 √x – x + 5

f (4) = 4 √4 – 4 + 5

f (4) = 9

לכן נקודת המקסימום היא:

(9 , 4)

מי מבין הנקודות (0 , 9) , (0 , 4), (0 , 25) היא חיתוך עם x.

נציב את ערכי הנקודות במשוואת הפונקציה ונזהה  איזו נקודה נמצאת על הפונקציה.

נציב  (0 , 4)

0 = 4 √4 – 4 + 5

0 = 9

הנקודה לא נמצאת על הפונקציה.

נציב (0 , 9):

0 = 4 √9 – 9 + 5

0 = 8

הנקודה לא נמצאת על הפונקציה.

נציב (0 , 25):

0 = 4 √25 – 25 + 5

0 = 0

ולכן (0 , 25) A היא נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

משוואת משיק

כדי למצוא משוואת משיק צריך:

1.נקודה: זו הנקודה (0 , 25) A

2.שיפוע: נמצא אותו על ידי הצבה x = 25 בנגזרת.

נמצאת את משוואת המשיק:
m = – 0.6
(0 , 25) A

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 0 = – 0.6 (x – 25)

משוואת המשיק בנקודה A היא:

y = – 0.6x + 15

סעיף א

(10 , 3) A

B (6 , 7)

סעיף ב

(6 , 5) C

סעיף ג

49.166

מציאת נקודת חיתוך בין הפונקציות

f (x) = x² – 10x + 31

y = – x + 13

על מנת למצוא את הנקודות A ו-B נשווה בין הפונקציה לישר:

x² – 10x + 31 = – x + 13

x² – 9x + 18 = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים:

נציב x = 6 ו-x = 3 בפונקציה או בישר על מנת למצוא את ערכי ה-y של הנקודות:

y = – 3 + 13

y = 10

(10 , 3) A

y = – 6 + 13

y = 7

B (6 , 7)

מציאת הנקודה C

הנקודה C היא קודקוד של פרבולה.

f (x) = x² – 10x + 31

נציב x = 5 בפונקציה על מנת למצוא את ערך ה-y של נקודת המינימום:

f (5) = 5² – 10 • 5 + 31

f (5) = 6

(6 , 5) C

חישוב שטח

השטח המבוקש מחולק ל 2.

1.
בין 0 ל 3 הוא נוצר על ידי הישר.

2.
בין 3 ל 5 הוא נוצר על ידי הפרבולה

השטח המבוקש הוא סכום השטחים:

סעיף א

20x – x²

סעיף ב

10

סכום שטחי המשולשים

נתון:

AB = 40 , AD = 20

DE = AF = GB = TC = x

המשולשים AFE ו-BGT כוללים זווית מהמלבן ולכן הם ישרי זווית.

נבטא את אורכי ניצבי המשולשים.

BT = BC – TC

BT = 20 – x

 AE:

AE = AD – ED

AE = 20 – x

אורכי הניצבים של המשולשים AFE ו-BGT שווים ולכן שטחי המשולשים שווים, נחשב את שטחם:

ולכן סכומם הוא:

שטח מצולע מינימלי

שטח המצולע מינימלי כאשר שטח המשולשים מקסימלי.

נמצאת את נקודת המקסימום של שטחי המשולשים.

f(x) = 20x – x²

f ‘ (x) = 20 – 2x

20 – 2x = 0

20 = 2x

10 = x

זו הנקודה החשודה כקיצון. נבדוק את סוג הקיצון בעזרת נגזרת שנייה.

f ‘ (x) = 20 – 2x

f ” (x) = – 2

זאת נקודת מקסימום לשטחי המשולשים ולכן נקודת מינימום לשטח המצולע.

תשובה: x = 10.

דרך פתרון שנייה: פונקציה המבטאת את שטח המשולש

על מנת למצוא מה צריך להיות הערך של x , שבעבורו שטח המצולע DEFGTC יהיה מינימלי

נחשב תחילה את שטח המלבן ונחסיר ממנו את סכום שטחי המשולשים שמצאנו בסעיף הקודם:

S_ABCD = 40 • 20 = 800

S_DEFGTC = 800 – (20x – x²)

S_DEFGTC = x² – 20x + 800

ניתן לראות שזו פרבולה והיא מחייכת/ישרה כי המקדם של x² הוא חיובי ולכן נקודת הקיצון שלה היא מסוג מינימום

נמצא את ערך ה-x של נקודת המינימום לפי נוסחה למציאת x קודקוד:

לכן בעבור x = 10 שטח המצולע DEFGTC יהיה מינימלי.