פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות חורף 2019 שאלון 381

בדף זה הצעה לפתרון בגרות במתמטיקה ברמת 3 יחידות שאלון 381  חורף 2019.

טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.

שאלה 1

מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x על ידי הצבה y = 0.

f(x) = x² – 6x + 5
0 = x² – 6x + 5
0 = x² – x – 5x + 5

ניתן לפתור בעזרת טרינום או נוסחת שורשים.
נראה דרך של טרינום:

x² – x – 5x + 5 = 0
x(x – 1) – 5(x -1) = 0

נוציא שוב גורם משותף:

x(x – 1) – 5(x -1) = 0
(x – 1)(x – 5) = 0

נקבל שני פתרונות:

x – 1 = 0
או:
x – 5 = 0

פתרון 1:

x – 1 = 0
x = 1

קיבלנו את נקודת החיתוך:
(1,0)

פתרון 2:

x – 5 = 0
x = 5

קיבלנו את נקודת החיתוך:
(5,0)

דרך נוספת לפתרון המשוואה הריבועית:

0 = x² – 6x + 5

היא על ידי נוסחת השורשים:

נקבל את נקודות החיתוך:
(5,0)
(1,0)

מהגרף הנתון נסיק שערך ה x של הנקודה B גדול יותר.

A(1,0)
B(5,0)

תשובה:
A(1,0)
B(5,0)

סעיף ב:

תחום החיוביות הוא כאשר הפרבולה מעל ציר ה x.

מדובר בפרבולה מחייכת לכן תחום החיוביות שלה על פי הגרף הנתון הוא:

x > 5
או
x < 1

 

סעיף ג:

נציב x = 6 בפרבולה ונמצא את ערך ה y המתאים:

f(x) = x² – 6x + 5
f(6) = 6² – 6*6 + 5
f(6) = 36 – 36 + 5
f(6) = 5

תשובה:
שיעור ה – y של הנקודה C הוא 5.

סעיף ד 1:

הקטע AB מונח על ציר ה – x לכן אורכו הוא הפרש שיעורי ה – x של הנקודות A,B:

AB = x_B – x_A
AB = 5 – 1
AB = 4

תשובה:
אורך הקטע AB הוא 4 יחידות אורך.

סעיף ד 2:

נחשב את שטח המשולש בעזרת הנוסחה האומרת כי שטח המשולש שווה לבסיס כפול הגובה חלקי 2.
גובה המשולש הוא ערך ה – y של הנקודה C שהוא 5.

תשובה:
שטח המשולש הוא 10 יחידות שטח.

הערה:
מדוע אורך הגובה הוא ערך ה y של הנקודה C?

ניתן להעביר מהנקודה C אנכים לציר ה x וציר ה y וליצור מלבן.
ערך ה y של הנקודה C הוא OD, ומכוון שצלעות נגדיות במלבן שוות OD שווה לגובה המשולש היוצר מ C.

 

שאלה 2

סעיף א:

מכיוון שבכל שעה הספורטאי הולך חמש שישיות ממה שהלך בשעה הקודמת, מדובר בסדרה הנדסית עם המנה:
q = 5/6

נתון כי בשעה השלישית הלך הספורטאי 5,400 מטרים.
כלומר:
a₃ = 5400
n = 3

נציב נתון זה בנוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית:

a_n = a₁*q^n-1
a₃ = a₁*q^3-1
a₃ = a₁*q²

194400 = 25a₁
a₁ = 7776

תשובה:
בשעה הראשונה הלך הספורטאי 7,776 מטרים.

סעיף ב:

הדרך שהספורטאי הלך ב 6 שעות היא סכום המרחקים שהוא הלך ב 6 השעות הראשונות.

לכן נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית.

נציב:
a₁ = 7776
n = 6
q = 5/6

S₆ = 31031

תשובה:
הספורטאי הלך בשש שעות 31,031 מטרים.

שאלה 3

סעיף א:
דרך הפתרון היא להציב את הנתונים בנוסחת גדילה ודעיכה:
M_t = M₀*q^t

השאלה עוסקת בגדילה ודעיכה.
מחיר המכונית יורד כל שנה ב – 12 אחוז לכן:

על פי הנתון המחיר ההתחלתי הוא 140000 ש”ח, לכן:

M₀ = 140000

עלינו למצוא את המחיר כעבור שנה כלומר את M₁ וגם:
t = 1

נשתמש בנוסחה לגדילה ודעיכה:

M_t = M₀*q^t
M₁ = 140000*0.88¹
M₁ = 123200

תשובה:
כעבור שנה מחיר המכונית הוא 123,200 ש”ח.

סעיף ב:

דרך הפתרון היא מציאת מקדם הדעיכה של מכונית ב’ באמצעות חלוקה של המחיר בעוד שנה במחיר כרגע, ולאחר מכן מציאת אחוז הדעיכה באמצעות הנוסחה:

נסמן את מחיר מוכנית ב’ כ – N_t.

נתון כי:

N₀ = 110,000
N₁ = 101,200
t = 1

נציב את הנתונים הללו בנוסחת גידול ודעיכה

M_t = M₀*q^t

101,200 = 110,000 * q¹

אם כך מספר האחוזים שהמכונית יורדת בשנה הוא:

p = 100 – 92 = 8
p = 8

כלומר בכל שנה מחירה יורד ב – 8 אחוזים.

תשובה:
מחירה של מכונית ב’ יורד בכל שנה ב – 8 אחוזים.

סעיף ג:

דרך הפתרון היא מציאת מחיר המכוניות בעוד 5 שנים.

נמצא את מחיר מכונית א’ בעוד 5 שנים:

M₀ = 140000
t = 5
q = 5/6

M_t = M₀*q^t
M₅ = 140000*0.88⁵
M₅ = 73882.46

נמצא את מחיר מכונית ב’ בעוד 5 שנים:

N₀ = 110,000
t = 5
q = 0.92

N_t = N₀*q^t
N₅ = 110000*0.92⁵
N₅ = 72498.96

M₅ = 73882.46

מחירה של מכונית א גדול ממחיר מכונית ב בעוד 5 שנים לכן היא תהיה יקרה יותר.

תשובה:
מכונית א תהיה יקרה יותר בעוד 5 שנים.

שאלה 4

סעיף א:

דרך הפתרון היא מציאת אורך צלע המעויין באמצעות פונקציית הסינוס במשלוש ישר הזווית ADH.

נתבונן במשולש ADH:

 

נשתמש בפונקצית הסינוס על מנת למצוא את הצלע AD:

תשובה:
אורך צלע המעויין הוא 13.036 ס”מ.

סעיף ב:

כל צלעות המעויין שוות זו לזו לכן היקף המעויין שווה לארבע פעמים אורך צלע המעויין:

p = 4*13.036
p = 52.144

תשובה:
היקף המעויין הוא – 52.144 ס”מ.

סעיף ג:

דרך הפתרון היא:

1. מציאת הצלע DH.
2. באמצעותה מוצאים את HC.
3. וחישוב שטח המשולש AHC באמצעות הנוסחה:

1.נמצא את DH
נתבונן שוב במשולש ADH:

 

נשתמש במשפט פיתגורס על מנת למצוא את הצלע DH:

AD² = DH² + AH²
13.036² = DH² + 12²
169.937 = DH² + 144
DH² = 25.937
DH = ± 5.092

מכיוון ש – DH היא צלע במשולש נבחר בפתרון החיובי:

DH = 5.092

נמצא את HC:

השלם שווה לסכום חלקיו לכן:

DC = DH + HC
13.036 = 5.092 + HC
HC = 7.944

נתבונן כעת במשולש AHC:

 

נחשב את שטח המשולש:

תשובה:
שטח המשולש הוא 47.664 סמ”ר.

שאלה 5

נשתמש בדיאגרמת עץ על מנת לענות על סעיפי השאלה:

נמלא את הדיאגרמה:

בהוצאה הראשונה
בכד 3 כדורים שחורים ו – 5 כדורים לבנים.
8 כדורים סך הכל.

ההסתברות להוציא כדור שחור היא 3/8
וההסתברות להוציא כדור לבן היא 5/8.

בהוצאה השנייה אם בראשונה יצא שחור

נותרו בכד 7 כדורים.
2 כדורים שחורים ו – 5 כדורים לבנים:

ההסתברות לשחור היא 2/7.
ההסתברות ללבן היא 5/7.

בהוצאה השנייה אם הכדור הראשון שהוצא היה לבן

נותרו בכד 3 כדורים שחורים ו – 4 כדורים לבנים.
ההסתברות לשחור היא 3/7
ההסתברות ללבן היא 4/7.

נשלים את העץ.

נענה כעת על סעיפי השאלה על פי דיאגרמת העץ שמילאנו:

סעיף א:

ההסתברות להוציא כדור לבן ואז שחור היא ההסתברות של ענף 2.

תשובה:
ההסתברות שהכדור הראשון שהוציאו הלבן והשני שחור היא 0.267

סעיף ב:

ההסתברות להוציא שני כדורים שחורים היא ההסתברות על ענף 4.

תשובה:
ההסתברות להוציא שני כדורים שחורים היא 0.107.

סעיף ג:

ההסתברות להוציא שני כדורים באותו הצבע שווה לחיבור ההסתברות להוציא שני שחורים עם ההסתברות להוציא שני לבנים.

ההסתברות להוציא שני שחורים ידועה לנו כבר מהסעיף הקודם:

נחשב את ההסתברות להוציא שני לבנים (ענף 1):

 

נחבר את ההסתברויות:

תשובה:
ההסתברות להוציא שני כדורים באותו הצבע היא 0.464.

שאלה 6

סעיף א:

דרך הפתרון היא איתור הנקודה החל ממנה כל הביצים הן כבדות בדיאגרמת ההתפלגות הנורמלית.

נתחיל לספור מהכבדות ביותר שהן בצד ימין

16 אחוז הכבדים הם:

9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 16%

כלומר הנקודה ש – 16 אחוז גדולים ממנה מתאימה לסטיית תקן אחת לכן:

62 + 1S = 68
S = 68 – 62
S = 6

תשובה:
סטיית התקן היא 6 גרם.

סעיף ב:

דרך הפתרון היא מציאת מספר סטיות התקן המתאים למשקל 56 וחישוב האחוז הנמוך ממשקל זה בעזרת הדיאגרמה.

נמצא את הנקודה החל ממנה משקל ביצה נמוך מ – 56.

62 הוא הממוצע.
6 היא סטיית התקן.

לכן המשקל 56 הוא ירידה של סטיית תקן אחת:

62 – 6  = 56

לכן על פי הידאגרמה אחוז הביצים שמשקלם נמוך מ – 56 גרם הוא:

0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%

לכן ההסתברות לביצה שמשקלה נמוך מ – 56 גרם היא:

תשובה:
ההסתברות שמשקלה של ביצה שנבחרה באקראי יהיה נמוך מ -56 גרם היא 0.16.

סעיף ג:

16% מהביצים הם 160 ביצים.

נגדיר:
x מספר הביצים בלול.

16% מיהם הם 160 ולכן המשוואה היא:

0.16 * x = 160 / : 0.16
x = 1000

תשובה:
מספר הביצים בלול הוא 1000.