פתרון בגרות 381 קיץ 2024

סעיף א

A (5 , 0)

B ( – 3 , 0)

C (0 , 15)

סעיף ב

60

סעיף ג 

D (1 , 16)

סעיף ד

2 נקודות

הנקודות A, B הן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-x ולכן נציב y = 0:

y = – x² + 2x + 15

B ( – 3 , 0)

A (5 , 0)

הנקודה C היא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-y ולכן נציב x = 0:

y = – x² + 2x + 15

y = -0² + 2 • 0 + 15

y = 15

C (0 , 15)

האורך של AB הוא:

5 – (-3) = 8

אורך הגובה הוא ערך ה y של הנקודה C שהוא 15.

ולכן שטח המשולש הוא:

נמצא לפי הנוסחה ל x קודקוד:

נציב בפרבולה על מנת למצוא את ערך ה-y:

16 =  y = -1² + 2 • 1 + 15

D (1 , 16)

נקודת הקודקוד של הפרבולה היא מסוג מקסימום ושיעור ה-y שלה הוא 16.

ומכיוון ש y = 14 יעבור מתחת לקודקוד אז יהיו 2 נקודות חיתוך עם הפרבולה.

סעיף א

ב-12 מטרים

סעיף ב

156 מטרים

סעיף ג 

3,600 מטרים

סעיף ד

10 דקות

נתון שגיא צריך לרוץ בכל דקה מרחק הגדול במספר מטרים קבוע מן המרחק שהוא רץ בדקה שקדמה לה.

כלומר ניתן להסיק שמדובר בסדרה חשבונית.

נתון:

a₄ = 192,

a₁₀ = 264

נציב בנוסחה למציאת איבר בסדרה חשבונית:

a₁₀ = 264

264 = a1 + (10 – 1) • d

264 = a₁ + 9d

a₄ = 192,

192 = a1 + (4 – 1) • d

192 = a₁ + 3d

נחסר את המשוואות:

264 – 192 = a₁ – a₁ + 9d – 3d

72 = 6d /:6

d = 12

ב-12 מטרים גדול המרחק שגיא צריך לרוץ בכל דקה מן המרחק שהוא רץ בדקה שקדמה לה.

נציב את d = 12 באחת המשוואות מהסעיף הקודם על מנת למצוא את a₁:

192 = a₁ + 3d

a₁ + 3 • 12 = 192

a₁ + 36 = 192

a₁ = 156

לכן גיא צריך לרוץ 156 מטרים בדקה הראשונה.

בסעיף הקודם מצאנו שאורך המסלול הוא 3,600 מטרים.

נתון ש גיא התחיל את ריצתו כמתוכנן, אך הפסיק לרוץ 1,500 מטרים לפני סוף המסלול.

לכן הוא רץ:

3,600 – 1,500 = 2,100 מטרים

נציב בנוסחה למציאת סכום סדרה חשבונית על מנת למצוא כמה דקות גיא רץ:

משום שמספר הדקות צריך להיות חיובי התשובה השנייה נפסלת.

לכן גיא רץ 10 דקות.

סעיף א1

כ-32,117

סעיף א2

כ-21,360

סעיף ב 

25,195

סעיף ג

עיר ב’

נתון שמדובר בגדילה ב-6% ולכן:

q = 1 + 6/100 = 1.06

ובנוסף ניתן להסיק מהנתונים:

M₀ = 24,000

t = 5

נציב בנוסחה לגדילה ודעיכה:

M_t = M₀ • q_t

M₅ = 24,000 • 1.06⁵

M₅ = 32,117.43

לכן היו כ-32,117 תושבים בעיר א’ בשנת 2015

24,000 = M₂

M₀ = ?

t = 2

q = 1.06

נציב בנוסחה לגדילה ודעיכה:

M_t = M₀ • q_t

24,000 = M₀  • 1.06²

M₀ = 21,359.91

לכן היו כ-21,360 תושבים בעיר א’ בשנת 2008.

לפי הגרף מספר התושבים בעיר ב’ בתחילת 2013 היה 25,195.

נחשב את ה q בעיר ב’ על מנת לדעת באיזו עיר מספר התושבים גדל באחוז גדול יותר בכל שנה

מהגרף ניתן להסיק:

M₀ = 20,000

M₃ = 25,195

t = 3

נציב בנוסחה לגדילה ודעיכה:

M_t = M₀ • q_t

25,195 = 20,000 • q³

q³ = 1.26

q = 1.08

ה-q של עיר ב’ גבוה מה-q של עיר א’ ולכן בעיר ב’ מספר התושבים גדל באחוז גדול יותר בכל שנה.

סעיף א

BE = 21.78

סעיף ב

BC = 16.68

סעיף ג 

∠DAE = 19.78º

סעיף ד

59.51

 במלבן כל הזוויות ישרות ∠D = ∠C = 90º

BC = AD = 16.68 במלבן הצלעות הנגדיות שוות

DE = 20 – 14 = 6

AB = DC = 20 משום שבמלבן הצלעות הנגדיות שוות.

BE = 21.78 מצאנו בסעיפים קודמים

ואת AE נמצא לפי משפט פיתגורס במשולש ADE:

16.68² + 6² = AE²

314.22 = AE² / √

AE = -17.73 נפסל

AE = 17.73

היקף המשולש AEB:

20 + 21.78 + 17.73 = 59.51

סעיף א

1/4

סעיף ב

1/16

סעיף ג 

5/8

סעיף ד

7/16

יש 9 כדורים כחולים ו-12 כדורים בסך הכל ולכן יהיו 3 כדורים לבנים.

ההסתברות ל 3 מ 12 היא:

P (כדור לבן) = 1/4 = 3/12

בגלל שמוציאים כדור עם החזרה ההסתברות להוצאת כדור לבן לא משתנה

P (שניים לבנים) = 1/16 = 3/12  • 3/12

אותו צבע כלומר שניים כחולים או שניים לבנים ולכן:

P (שניים כחולים) = 9/16 = 9/12 • 9/12

P (שניים לבנים) = 1/16 = 3/12 • 3/12

נחבר את ההסתברויות על מנת לקבל את ההסתברות לאותו צבע:

P (אותו צבע) = 5/8 = 9/16 + 1/16

לפחות כדור אחד לבן זאת ההסתברות המשלימה לשניים כחולים לכן נחשב את ההסברות לשניים כחולים:

P (שניים כחולים) = 9/16 = 9/12 • 9/12

ומכיוון שזאת ההסתברות המשלימה:

 P (לפחות אחד לבן) = 1 – P (שניים כחולים) = 7/16 = 9/16 – 1

סעיף א

197 שעות

סעיף ב

62%

סעיף ג 

165 שעות

סעיף ד

5,400 סוללות

7% זה 1.5 סטיות תקן מהמוצע.

1.5 סטיות תקן מהממוצע נמצא המספר 221.

סטיית התקן שווה ל 16.

לכן הממוצע הוא 197 שעות

נמצא את המרחק בסטיות תקן של המספר 189.

197 – 189 = 8

המרחק 8.

סטיית תקן אחת היא 16.

לכן 189 נמצא חצי סטיית תקן לפני הממוצע.

נחשב את האחוזים שבין המספרים.

19 + 19 + 15 + 9 = 62%

ולכן אחוז הסוללות ממפעל זה שפועלות יותר מ־ 189 שעות ופחות מ־ 221 שעות הוא 62%.

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית בדף הנוסחאות 2% נמצאים במרחק 2 סטיות תקן מתחת לממצע.

ולכן אורך החיים של סוללה, שפחות ממנו סוללה נחשבת פגומה הוא 165 שעות.

2% הם 108.

לכן 100% יהיו פי 50.

108 * 50 = 5

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית בדף הנוסחאות ולפי הסעיף הקודם מדובר ב-2% לכן נבנה משוואה לפי נוסחת אחוזים:

לכן 5400 סוללות סך הכול ייצר המפעל ביום זה.