פתרון בגרות 381 חורף 2023

סעיף א

(A (2 , 0

B (5 , 0)

C (0 , 10)

סעיף ב

15

סעיף ג

2 < x < 5

סעיף ד

כן

מציאת נקודות חיתוך עם הצירים

y = x² – 7x + 10

חיתוך עם ציר ה x מציבים y = 0.

0 = x² – 7x + 10

נציב בנוסחת השורשים:

ולכן נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן:

(A (2 , 0

B (5 , 0)

חיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0

y = 0² – 7 • 0 + 10

y = 10

ולכן נקודת החיתוך עם ציר ה-y היא:

C (0 , 10)

על מנת למצוא את שטח המשולש ABC נחשב תחילה את אורך הצלע AB:

AB = 5 – 2 = 3

אורך הגובה מהקודקוד C לצלע AB הוא ערך ה y של הנקודה C.

10 – 0 = 10

כעת נחשב את שטח המשולש לפי גובה כפול צלע חלקי 2:

S = 0.5h * AB

S = 0.5 * 10 * 3 = 15

תשובה: השטח הוא 15 יחידות ריבועיות.

תחום השליליות של הפונקציה נמצא בתחום שבו

הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-x ולכן תחום השליליות:

2 < x < 5

על מנת לבדוק האם הנקודה נמצאת על הפרבולה

נציב את ערך x = – 1 בפונקציה ונבדוק האם אנחנו מקבלים y = 18:

y = x² – 7x + 10

18 = y = ( – 1)² – 7 • ( – 1) + 10

ולכן הנקודה (18 , 1 -) נמצאת על גרף הפונקציה.

סעיף א

24 מילים

סעיף ב

11 ימים

סעיף ג

כן

נתון תומר למד ביום הראשון 12 מילים, ולאחר מכן הוא למד בכל יום 4 מילים יותר מַבּיום שקדם לו.

לכן נוסיף 4 מילים 3 פעמים על מנת להגיע לכמה מילים למד ביום הרביעי:

לכן תומר למד 24 מילים ביום הרביעי.

נתון שנתון תומר למד ביום הראשון 12 מילים, ולאחר מכן הוא למד בכל יום 4 מילים יותר מַבּיום שקדם לו.

ולכן מדובר בסדרה חשבונית ש-a₁ = 12, d = 4

בנוסף לכך נתון שתומר ושחר למדו 352 מילים חדשות לבחינה באנגלית ולכן S_n = 352.

נציב בנוסחה לסכום סדרה חשבונית על מנת למצוא את n:

נפתור באמצעות נוסחת השורשים:

נפסול את הפתרון השני כי מספר הימים צריך להיות חיובי.

לכן לאחר 11 ימים סיים תומר ללמוד את כל המילים לבחינה.

נתון ששחר למד בכל יום 32 מילים וגם הוא למד בסך הכל 352 מילים.

על מנת לבדוק האם הם סיימו ללמוד באותו יום נכפיל את כמות המילים ששחר למד בכל יום

במספר הימים שתומר למד מילים ונבדוק האם נגיע בדיוק ל352:

32 • 11 = 352

ולכן שניהם סיימו ללמוד את כל המילים באותו יום.

סעיף א

597,026 ∼ בקבוקים

סעיף ב1

480,000 בקבוקים

סעיף ב2

555,660 בקבוקים

סעיף ג

5%

סעיף ד

מפעל א’ לא יקבל את המענק.

מפעל ב’ יקבל את המענק.

נתון שמספר הבקבוקים שממחזרים במפעל א’ גדל בכל שנה ב־ 4% .

נחשב את ה-q:

q = 1 + 4/100 = 1.04

ובשאלה נתון:

M₀ = 500,000

וצריך לחשב את M₆

נציב בנוסחת גדילה ודעיכה:

M_t = M₀ • q^t

M₆ = 500,000 • 1.04⁶

M₆ ≈ 632,660

ולכן מחזרו כ-632,660 בקבוקים במפעל בשנת 2006.

לפי הגרף מחזרו 450,000 בקבוקים בשנת 2000 במפעל ב’.

לפי הגרף מחזרו 552,269 בקבוקים בשנת 2003 במפעל ב’.

על מנת לחשב בכמה אחוזים גדל מספר הבקבוקים שממחזרים במפעל ב’ בכל שנה נמצא את q

על ידי הצבת הנתונים בנוסחת הגדילה ודעיכה:

M₀ = 450,000

M₃ = 552,269

t = 3

M_t = M₀ • q^t

552,269 = 450,000 • q³ / :450,000

q³ = 1.227 / ³√

q = 1.07

על מנת לחשב את האחוז נחסיר 1 מ-q ונכפיל ב-100:

 (1.07 – 1) •  100 = 7%

ולכן ב-7% גדל מספר הבקבוקים שממחזרים במפעל ב’ בכל שנה.

בסעיף א’ מצאנו שמחזרו כ-632,660 בקבוקים במפעל א’ בשנת 2006 ולכן מפעל א’ יקבל את המענק.

נחשב לפי נוסחת גדילה ודעיכה כמה בקבוקים מחזרו במפעל ב’ בשנת 2006:

M₀ = 450,000

t = 6

q = 1.07

M_t = M₀ • q^t

M₆ = 450,000 • 1.07⁶

M₆ = 675,328.66

מצאנו שמפעל ב’ מחזר בשנת 2006 יותר מ-600,000 בקבוקים ולכן מפעל ב’ יקבל את המענק.

סעיף א

∠NCD = 26.57º

סעיף ב

CH = 5.59

סעיף ג

NH = 8.94

נתון N אמצע AD ולכן:

AN = ND = 13 : 2 = 6.5

נמצא את זווית NCD לפי tan במשולש NCD:

נחשב את CH לפי cos במשולש CHF:

על מנת לחשב את NH נחשב תחילה את NC לפי משפט פיתגורס במשולש NCD:

ND² + DC² = NC²

6.5² + 13² = NC²

NC² = 211.25² / : √

חיובי NC ,נפסל  – NC = – 14.53

NC = 14.53

נחסר מNC את HC על מנת למצוא את NH:

NH = 14.53 – 5.59 = 8.94

סעיף א

3/4

סעיף ב

9/16

סעיף ג

3/8

סעיף ד

5/8

לסביבון יש ארבע פאות, על שלוש מתוכן מופיע המספר 5 ועל אחת מתוכן מופיע המספר 5-.

לכן ההסתברות המבוקשת היא 3 מתוך 4.

P (לקבל 5) = 3/4

על מנת לקבל סכום 10 צריך לקבל פעמיים 5 ולכן:

P (סכום 10) = 9/16 = 3/4 • 3/4

P (לקבל 5) = 3/4

P (-לקבל 5) = 1/4

על מנת לקבל סכום 0 צריך לקבל בפעם הראשונה 5 ובשנייה 5- .

P (-בראשונה 5 ובשנייה 5) = 3/16 = 1/4 • 3/4

או

בפעם הראשונה 5- ובשנייה 5 ולכן:

P (בראשונה 5- ובשנייה 5) = 3/16 = 3/4 • 1/4

זו הסתברות “או” – לכן נחשב את סכום ההסתברויות.

P (סכום 0) = 3/8 = 3/16 + 3/16

על מנת לקבל מכפלה 25 צריך לקבל פעמיים 5 או פעמיים 5- ולכן:

P (פעמיים 5) = 9/16 = 3/4 • 3/4

P (-פעמיים 5) = 1/16 = 1/4 • 1/4

P (מכפלה 25) = 5/8 = 9/16 + 1/16

סעיף א

s = 800

סעיף ב

7%

סעיף ג

400

סעיף ד

100,000

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית שבדף הנוסחאות:

סטיית התקן של המשכורת החודשית היא 800.

על מנת לחשב מהו אחוז העובדים במפעל שהמשכורת שלהם נמוכה מ־ 8,000 שקלים בחודש

נחשב תחילה כמה סטיות תקן נמצא 8,000 מהממוצע:

9,200 – 8,000 = 1,200

כעת נחלק את 1,200 בסטיית התקן שהיא 800:

1,200 : 800 = 3/2

לכן 8,000 נמצא במרחק 3/2 סטיות תקן שמאלה מהממוצע ונמצא את האחוזים

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית בדף הנוסחאות ונחבר אותם:

5% + 1.5% + 0.5% = 7%

ולכן אחוז העובדים במפעל שהמשכורת שלהם נמוכה מ־ 8,000 שקלים בחודש הוא 7%.

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית שבדף הנוסחאות המשכורת של 8 עובדים במפעל גדולה מ־ 10,800 שקלים בחודש

והם מהווים 2% מהעובדים בסך הכל. אנחנו צריכים להגיע מ-2% ל-100% ולכן נצטרך להכפיל ב-50

ולכן גם נכפיל את 8 ב-50 על מנת לקבל סך כל העובדים:

8 • 50 = 400

לכן יש 400 עובדים במפעל בסך הכל.

הנהלת המפעל החליטה לשלם מענק חד־פעמי של 500 שקלים לכל עובד שמשכורתו

שווה למשכורת הממוצעת או נמוכה ממנה. ועל פי גרף ההתפלגות הנורמלית מדובר על 50% מהעובדים

כלומר מדובר על מחצית מהעובדים, 200 עובדים בסך הכל.

נכפיל בין מספר העובדים בסך הכל לסכום המענק:

200 • 500 = 100,000

לכן הנהלת החברה שילמה סך הכל 100,000 ש”ח לעובדים אלה.