לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

זהויות טריגונומטריות

בדף זה תמצאו טיפים לפתרון זהויות טריגונומטריות + הזהויות עצמן:

  1. פתרון משוואות טריגונומטריות.
  2. טיפים לפתרון
    1.1 סיכום הטיפים.
  3. זהויות טריגונומטריות.
    2.1  זהויות טריגונומטריות יסודיות.
    2.2 זהויות טריגונומטריות של סכום והפרש זוויות.
    2.3 זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה.
    2.4 זהויות טריגונומטריות של חצי זווית.
    2.5 זהויות טריגונומטריות לסכום והפרש שתי פונקציות.
    2.6 זהויות טריגונומטריות למכפלה של פונקציות.

1.דרכים לפתור משוואות טריגונומטריות 

1. פתרון משוואות בסיסיות

למשוואה טריגונומטרית בסיסית כמו:
sin x = a
יש 2 פתרונות בתחום 0-360 מעלות.
פתרון אחד נקבל דרך המחשבון ופתרון שני מתקבל על ידי הזהות הטריגונומטרית:
(sin x = sin (180- x

למשל עבור
sin x = 0.5
במחשבון נקבל:
x = 30
ובאמצעות הזהות נקבל
x = 180 – 30 = 150

עבור פונקציית הקוסינוס הפתרון השני מתקבל על ידי הזהות הטריגונומטרית
(cos x = cos (-x

עבור פונקציית הטנגס הפתרון השני מתקבל על ידי הזהות הטריגונומטרית
(tg x = tg (180 + x

2.פתרון משוואות וזהויות בהם יש מינוס לפני הפונקציה הטריגונומטרית

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.טיפים לפתרון זהויות טריגונומטריות

1. הופכים את הביטוי המורכב לפשוט ולא להפך

כאשר יש בצד אחד של המשוואה ביטוי מורכב ובצד השני ביטוי פשוט, בדרך כלל קל יותר להפוך את הביטוי המורכב לפשוט.

במקרה זה ניקח את הפונקציות שמצד שמאל וננסה להפוך אותם ל- 2 ולא ניקח את ה- 2 ולהפוך אותו לביטוי מורכב.
פתרון של תרגיל זה בסעיף 6.

2. מסתכלים על המטרה

כאשר אתם מפתחים את הצד המורכב הסתכלו על הצד "הפשוט" והסתכלו מה הוא כולל. אם יש בו פונקציה sin 2x עליכם לשאוף להגיע אל זווית שהיא 2x ולהיפתר מכל מה שהוא לא פונקציית סינוס.

3.כאשר יש מספר מכנים בדקו אם יצרת מכנה משותף אחד מקדמת אותכם

כאשר הצד המורכב שלכם כולל מספר מכנים בדקו אם יצירת מכנה משותף מבטלת חלק מהגורמים במונה או במכנה.

ניצור מכנה משותף לשני השברים שבצד שמאל:

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר להפרש ריבועים במכנה:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
נפתח סוגריים במונה ונקבל:

במכנה נשתמש בזהות
sin²x = 1 – cos²x
במונה נכנס איברים.

2sin²x = 2
sin²x = 1
למשוואה זו שתי אפשרויות
אפשרות ראשונה
sin x = 1
x = 90 + 360k

אפשרות שנייה
sin x = -1
x = 270 + 360K

הפתרון
x = 90 + 360k
x = 270 + 360K

4. כאשר יש לכם מכנה ושני גורמים במונה בדקו אם פירוק השבר לשניים עוזר

כותבי זהויות ומשוואות לוקחים לפעמים משהו פשוט והופכים אותו למסובך יותר. אחת הדרכים של כותבי שאלות להפוך משהו למסובך היא ליצור מכנה משותף.
כותב השאלה יצר מכנה משותף – ולכן אנו כדי לפתור צריכים:

  1. לפרק את השבר למספר שברים (על פי מספר האיברים במונה).
  2. לצמצם מונה ומכנה עבור כל שבר בנפרד.

למשל:

פתרון

נפצל את המונה לשני חלקים
נפצל את המונה לשני חלקים
נצמצם מונה ומכנה
נצמצם מונה ומכנה

נכפיל במכנה המשותף cosx + sinx ונקבל:

sin²x + cos²x = 2sinx cos x + 2sin²x
cos ² x – sin²x = 2sinx cos x

נשתמש בשתי הזוויות:
(sin (2a) = 2sin(a)cos(a.
. cos (2a) = cos²a-sin²a

נקבל:
cos 2x = sin 2x
נחלק ב cos 2x
כאשר
2x ≠ 90 + 180k
x ≠ 45 + 90k

נקבל:
tg 2x = 1
2x = 45 + 180k
x = 22.5 + 90k
פתרון זה נמצא בתוך תחום ההגדרה ולכן הוא גם התשובה הסופית.

הערה
אם שמתם לב טיפ מספר 10 ומספר 9 הם טיפים הפוכים.
וזה בגלל שיש דרכים שונות לסבך שאלות ודרכים שונות להתמודד עם הסיבוכים הללו.

3.זהויות טריגונומטריות

 2.1 זהויות טריגונומטריות יסודיות

1.   sin ² a + cos ²a=1
2.   (sin a = cos (90-a.
3.   (sin a = sin (180-a.
4.    sin (-a) = -sin a.
5.   (sin (a) = sin (360 +a.
6.   (cos a = cos (-a.
7.  (cos a = -cos (180-a.
8.  (cos a = sin (90-a.
9.  (cos a= cos (360+a.
10. (tan a = -tan (-a
11.  tg²a + 1 = 1/cos²a
12.  cot²a + 1  = 1/ sin²a

2.2 זהויות טריגונומטריות של סכום והפרש זוויות

זהויות טריגונומטריות לסכום זוויות

1.(sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b.
2. (cos (a+b) = cos (a) cos (b) – sin (a) sin (b.

זהויות טריגונומטריות להפרש זוויות

5. (sin (a-b) = sin (a) cos (b) – cos (a) sin (b.
6. (cos (a-b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b.

 

2.3 זהויות טריגונומטריות לזווית כפולה

1. (sin (2a) = 2sin(a)cos(a.
2. cos (2a) = cos²a-sin²a =1 – 2sin²a = 2cos²a-1.

 

2.4 זהויות טריגונומטריות של חצי זווית

 

2.5 זהויות טריגונומטריות לסכום והפרש שתי פונקציות

2.6 זהויות טריגונומטריות למכפלה של פונקציות

1.(sin (a) cos (b) = 0.5 (sin (a+b) +sin (a-b.
2. (cos (a) sin (b) = 0.5 (sin (a+b) –sin (a-b
3. (cos (a) cos (b) = 0.5 (cos(a+b) +cos (a-b.
4. (sin (a) sin (b) = 0.5 (cos(a+b) – cos (a-b.

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. משוואות טריגונומטריות – הסברים לפתרונות + פתרונות מלאים לתרגילים הכוללים שילוב של זהויות ומשוואות.
  2. טריגונומטריה – הדף הראשי, כולל קישורים לנושאים נוספים בתחום.

41 מחשבות על “זהויות טריגונומטריות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    הזהות של קוסינוס של חצי זווית לא נכונה אצלכם. החלפתם בין "+" ל"-".

  2. צהרים טובים, לא בדיוק הבנתי איך הולך משפט הזהות אם הסינוס אשמח להסבר!
    יש לי את הזווית 48.6,
    ואני צריכה לעשות לזה את המשפט הזהות ויוצא לי תוצאה של פחות מ0 אז כנראה שלא הבנתי את זה כזה נכון..

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא ברור מה הכוונה משפט הזהות של ה sin .
      הערכים של סינוס הם בין 1- ל 1

  3. היי,
    האם צריך ללמוד את הזהויות לבגרות 481 השנה?
    המורה שלנו לימדה טריגו ולא לימדה אותנו כלל זהויות…

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני נזהר מלדבר בשם אחרים .
      איני יודע מדוע לא לימדה – כדאי לשאול אותה.
      ככל הידוע לי זהויות נשארו בבחינה אבל תלמידים צריכים לקרוא את הצמצום בעצמם באתר משרד החינוך.
      https://students.education.gov.il/matriculation-exams/mikud/mikud-summer
      ניתן להגיע לדף זה גם על ידי החיפוש בגוגל של הביטוי "מיקודים לשנת הלימודים תשפ"ב משרד החינוך"

  4. כתבת בסעיף 4-נכפיל במכנה המשותף sinx+cosx.לא הבנתי איך זה מקדם את הענין.איך פעולת חיבור יוצרת מכנה משותף?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הכוונה היא שמי שכתב את השאלה יצר מכנה משותף – ואנו נעשה בדיוק את הפעולה ההפוכה.
      הפעולה ההפוכה היא יצירת שני שברים.
      זה מקדם את העניין בכך שכאשר מחלקים כל חלק מהמונה בנפרד במכנה מתקבל ביטוי פשוט יותר שניתן להתקדם איתו לפתרון, כפי שנעשה בתרגיל.
      כמובן שדרך זו לא מתאימה לכל התרגילים.
      כתבתי הסבר מדויק יותר בשאלה עצמה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נסי לפרק את cos4x פעמיים בעזרת הנוסחה לזווית כפולה ולהגיע למשוואה ריבועית.

  5. אשמח לראות איך הגענו מסינוס בשנייה איקס ל חצי מינוס קוסינוס שתי איקס לחלק ל2.תודה:)

      1. בנושא אינטגרלים של קוסינוס בריבוע וסינוס בריבוע-נתתם שם דוג' -תרגיל 17-שנפתר ע"י הזהות הזו.

        1. לומדים מתמטיקה

          אלו שתי זהויות טריגונומטריות מוכרות וחשובות יחסית
          sin² x + cos²x = 1
          cos 2x = cos²x – sin²x

          את הראשונה ניתן להפוך ל:
          cos²x = 1 – sin² x
          כאשר נציב זאת בזהות השנייה:
          cos 2x = 1 – 2sin² x
          ומכאן לקבל:
          sin² x = 0.5 – 0.5 cos 2x
          זו הזהות שבה נעשה שימוש – והיא שונה ממה שרשמת למעלה.

  6. היי ,
    איך אפשר לזכור את כל הזהויות בעל פה?
    יש לך טיפים איך אני יכולה לזכור ?

  7. יהושע דגני

    כתבת:
    "שלום
    המשפט (sin x = sin (90 – x
    הוא לא נכון.
    איפה ראית אותו?"
    הוא מופיע אצלך למעלה באתר זה, בקטע 6. אתה צריך לתקן.

  8. נשתמש בזהות:
    (sin x = sin (90 – x
    ונקבל:
    (sin x = sin (90 – x
    זו משוואה עם אותה פונקציה טריגונומטרית שאנו כבר יודעים לפתור.

    איך זה הגיוני ?
    כי זה סותר:
    sin x = cos 90-x זהות יסודית

  9. שטח משולש קהה זווית הוא 13.5 סמ"ר.
    אורכי הצלעות הכולאות את הזווית הקהה
    אלפא הם 5 ס"מ ו7 ס"מ חשב את הזווית הקהה אלפא.
    איך אני פותר את זה?