כינוס איברים עם נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה נפתח סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ונכנס איברים עם חזקה.
לפעמים קוראים לזה פישוט של משוואה ריבועית.

זה שלב ביניים בדרך לפתרון של משוואות ריבועיות לא מסודרות, משוואות שנראות למשל כך:
x – 4)² + 9 = 3x² + 2x)

שלבי הפתרון שלנו תמיד יהיו:

  1. פתיחת סוגריים.
  2. כינוס איברים.
  3. העברת אגפים.

החלקים של דף זה הם:

  1. הכללים הבסיסיים שצריך לזכור.
  2. טעויות ומכשולים.
  3. תרגילים.

1.הכללים הבסיסיים שצריך לזכור

אתם צריכים לזכור את נוסחאות הכפל המקוצר:

  1. a + b)²= a² + 2ab + b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע.
  2. a – b)²= a² – 2ab + b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע, הפרש איברים.
  3. a-b)*(a+b) = a² – b²) – נוסחה להפרש ריבועים.

לזכור את הכללים הבסיסיים של כינוס איברים:

  1.    2x² + 7x² = 9x²
  2.    9x² – 4x² = 5x²
  3.    = 6x²  + 2x זה ביטוי שלא ניתן לבצע לו כינוס איברים.
  4. *   ax² – 3x² = (a – 3)x²   (לא חובה).
  • חיבור חזקות הוא דף שבו תמצאו הסבר מפורט יותר לגבי חיבור וחיסור איברים עם חזקה.

2. טעויות ומכשולים נפוצים

טעויות

הטעויות הנפוצות קשורות לעבודה לא נכונה עם מינוס לפני סוגריים.

דבר ראשון
כאשר יש לנו מינוס לפני סוגריים נבצע את הפעולה תוך כדי שמירה על הסוגריים ורק לאחר מיכן נכפיל את המינוס בסוגריים.

= x – 2(x + 4)²
קודם נעשה את פעולת החזקה, ונשמור על מה שיש בתוך הסוגריים כשהוא בתוך הסוגריים.
= (x – 2 (x² + 8x + 16
= x – 2x² – 16x – 32
= 2x² – 15x – 32-

דבר שני
כאשר יש מינוס ללא מספר לפני סוגריים זה כמו 1- לפני הסוגריים.

מכשולים

בתרגילים היותר קשים תוכלו לפגוש גם את המכשולים הבאים.

מכשול 1
כאשר הביטוי בתוך נוסחאות הכפל המקוצר כולל מקדם שאינו 1 ל x.
3x – 5)² = (3x)² – 2*3*5x + 5²)
9x² + 30x + 25

הרחבה
3x)² = 3²*x² = 9x²)
על פי חוק החזקה:

שעבור המקרה שלנו ניתן לכתוב אותו גם כך:

מכשול 2
סוגריים כפול סוגריים.
3x – 1) (2x + 4) =  3x * 2x + 3x *4 -1*2x-1*4)
6x² +12x -2x – 4

מכשול 3
פעמיים סוגריים כפול מספר.

תרגיל מסוג זה יש שתי דרכים לפתור.

דרך אחת היא להכפיל את הסוגריים במספר, ונשמור את התוצאה שקיבלנו בתוך הסוגריים.

ועכשיו נכפיל סוגריים בסוגריים כפי שעשינו קודם.

התרגיל יכול להפוך קשה יותר אם יש מינוס לפני שלושת האיברים הללו, למשל כך:

6x – 4(x- 3) (x +1) = 0
6x + (-4x + 12) (x +1) = 0
במקרה זה שימו לב שהמינוס "נדד" עם ה 4 אליו היה שיך אל תוך הסוגריים. והסימן שיש בין 6x לבין הסוגריים הוא +.

דרך שנייה
למי שרוצה לחמוק מהבעיה הזו יכול לפתור את התרגיל בדרך אחרת.

  1. מכפילים סוגריים בסוגריים.
  2. שומרים את התוצאה בתוך סוגריים ואז מכפילים פי 2.

כך:
6x – 4(x- 3) (x +1) = 0
6x – 4(x² + x – 3x – 3) = 0
6x – 4x² – 4x + 12x + 12 = 0
הדרך הזו ארוכה קצת יותר, אבל למי שלא מובנת ההתייחסות אל המינוס דרך זו עדיפה.

ועוד שני מכשולים נדירים יותר.

מכשול 4
מינוס במקום הלא רגיל.

כיצד פותחים סוגריים הנראות כך:

תשובה
מותר לנו להחליף את מיקום האיברים בתוך הסוגריים.
כאשר עושים זאת חייבים שכל סימן הנמצא ליד איבר ישאר לידו.
כלומר 6 ישאר עם + ואילו x ישאר עם – .

לאחר שהחלפנו מקומות נפתח סוגריים כרגיל.

מותר להחליף את מיקום האיברים גם כאשר נרצה להשתמש בנוסחה להפרש ריבועיים.
a-b)*(a+b) = a² – b²)

מכשול 5
כאשר יש לכם דו איבר בריבוע עם שני מינוסים בתוך הסוגריים.
זה נדיר יחסית, אבל יכול לקרות.

אני אראה את הדרך המלאה אבל בשורה התחתונה אתם צריכים לזכור שהתוצאה המתקבלת היא כמו מצב שבו שני האיברים שבתוך הסוגריים חיוביים.

כלומר קיבלנו ש:

תרגילים

תרגילים ללא מכשולים

תרגיל 1
3x² + 2x = (x +4)²

פתרון
נפתח סוגריים
3x² + 2x = x² + 8x + 16   / -x² – 8x – 16
2x² – 6x – 16 = 0

תרגיל 2
2x + (x – 4)² = -10x

פתרון
נפתח סוגריים
2x + x² – 8x + 16 = -10x
x² – 6x + 16 = -10x  / +10x
x² + 4x + 16 = 0

תרגיל 3
5x + (x -6) (x+ 6) + 10 = 0

פתרון
5x + x² – 36 + 10 = 0
x² +5x – 26 = 0

תרגילים עם מכשולים

תרגיל 4
5x – 3)² + 20x = 0)

פתרון
25x² – 30x + 9 + 20x = 0
25x² – 10x + 9 = 0

תרגיל 5
6x² + 10x -2 (x – 1)² = 0

פתרון
6x² + 10x -2 (x² – 2x + 1) = 0
6x² + 10x -2x² +4x – 2 = 0
4x² + 14x – 2 = 0

תרגיל 5
x + 5x (x -2) +2x² = 0

פתרון
x + 5x² – 10x + 2x² = 0
7x² – 9x =0

תרגיל 6
7x² – 3(x- 4) (x +2) = 0

פתרון
7x² – 3 (x² + 2x – 4x – 8) = 0
7x² – 3x² -6x +12x + 24 = 0
4x² + 6x + 24 = 0

תרגיל 7
3x + (-4x + 1)² + 2 = 0

פתרון
נחליף את סדר המספרים שבתוך הסוגריים.
3x + (1 – 4x)² + 2 = 0
3x + 1 – 8x + 16x² + 2 = 0
16x²- 5x + 3 = 0

תרגיל 8
10x² – (2x – 1) (2x + 1) = 0

פתרון
10x² – (4x² – 1) = 0
10x² – 4x² + 1 = 0
6x² + 1 = 0

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.