חציון

בדף זה נלמד על החציון.
החלקים של הדף הם:

  1. היכרות
  2. כיצד מחשבים חציון כאשר מספר האיברים בקבוצה אי זוגי.
  3. כיצד מחשבים חציון כאש מספר האיברים זוגי.
  4. מציאת החציון בטבלת שכיחויות.
  5. חציון לעומת ממוצע

בקצרה

הסרטון שלמעלה מסכם את כל החומר בנושא חציון – ולכן הוא קצת ארוך.
כמו כן הסרטון חולק לסרטונים קצרים יותר המסברים את חלקים 2,3,4. תוכלו לצפות בחלקי הסרטון בהמשך התקציר.

1.מה זה חציון?

חציון הוא מדד סטטיסטי כמו הממוצע.
כמו הממוצע החציון נועד לתת לנו מידע איפה האמצע של הקבוצה.

אם יש לנו קבוצת מספרים המסודרת מהקטן לגדול.
כמו הקבוצה:
1,2,6,7,8

החציון הוא המספר שיש מספר שווה של מספרים מעליו ומתחתיו.
במקרה זה מעל 6 יש שני מספרים (7,8) ויש מתחת שני מספרים (1,2).
לכן 6 הוא חציון הקבוצה.

2.מציאת חציון

לצפייה בסרטון המסביר איך למצוא חציון

יש הבדל בין קבוצה שבה יש מספר אי זוגי של איברים לעומת קבוצה עם מספר זוגי של איברים.

בקבוצה עם מספר איברים אי זוגי
בקבוצה אי זוגית עם n איברים החציון הוא האיבר הנמצא במקום:

חציון

למשל אם מבקשים שנמצא את החציון בקבוצת המספרים 2,8,10,20,30.

  • נספור את איברי הקבוצה – יש בקבוצה 5 מספרים.
  • נציב N = 5 בנוסחה.

תשובה: החציון הוא האיבר השלישי (10).

בקבוצה עם מספר איברים זוגי
בקבוצת איברים שבה מספר זוגי של איברים החציון הוא הממוצע של האיברים הנמצאים במקומות:

למשל אם בקבוצה יש 6 איברים החציון יהיה הממוצע של האיברים במקומות השלישי והרביעי.

בקבוצת המספרים:
2,8,10,20,30,40
החציון הוא הממוצע של 10 ו 20, כלומר החציון הוא 15.

3.מציאת חציון בטבלה

לצפייה בסרטון המסביר איך למצוא חציון בטבלה

בטבלה הזו:

ציון9876
מספר תלמידים412101

יש 27 תלמידים (קבוצה אי זוגית)
לכן החציון נמצא במקום
14 = 2 : (1 + 27)
החציון במקום ה 14.
המקום ה 14 שיך לקבוצת התלמידים שקיבלה 8. לכן 8 הוא החציון.
(כיצד ידענו שהמקום ה 14 שייך לקבוצת התלמידים שקיבלה 8?
ספרנו 14 מקומות מצד ימין או שמאל של הטבלה.

4.חציון לעומת ממוצע

לצפייה בסרטון המסביר את ההבדל בין חציון לממוצע

קבוצה ראשונה: 1,4,8,9,10
קבוצה שנייה: 1,4,8,9,1000
בשתי קבוצות המספרים הללו החציון הוא אותו חציון (8) לעומת זאת הממוצע משתנה מאוד.
בגלל זה אומרים שהחציון אינו מושפע ממספרים קיצוניים ואילו הממוצע מושפע.
לפעמים זה יתרון של החציון לפעמים זה חסרונו.
אין מדד אחד שטוב מהאחר בכל המקרים.

1.היכרות

למה יש חציון? מה המטרה של מדדים סטטיסטיים?

חציון הוא מדד בתחום הסטטיסטיקה.
מה המטרה שלמדדים סטטיסטיים?
למשל מה הוא התפקיד של הממוצע?

הממוצע נועד להגיד לנו משהוא על קבוצת המספרים אותה הוא מייצג.
למשל אם אומרים לנו שממוצע של שכבת כיתות ח הוא 75 אז אנו יודעים משהוא על הקבוצה מבלי שנצטרך שנצטרך לדעת כל ציון של כל ילד בקבוצה.

אותו דבר חציון, הוא נועד להגיד לנו משהו על הקבוצה אותה הוא מייצג.

מה הרעיון של חציון?

הרעיון של חציון אומר שאם ניקח קבוצה של מספרים ונסדר אותם מהקטן לגדול אז המספר שנמצא באמצע יוכל ללמד אותנו על הקבוצה כולה.

למשל המספרים:
6, 10, 4, 7, 8
כאשר נסדר אותם על פי הגודל הם יהיו:
4,6,7,8,10

החציון במקרה זה הוא 7, כי הוא נמצא בדיוק באמצע (יש שני מספרים מעליו ושני מספרים מתחתיו).
והרעיון הוא שהמספר 7 מייצג את המספרים ואומר משהו על הקבוצה.

על מנת למצוא את החציון יש הבדל בין קבוצות מספרים בהם מספר האיברים הוא אי זוגי לעומת קבוצות מספרים בהם מספר האיברים הוא זוגי.
על כך נלמד בשני הפרקים הבאים בדף.

2.כיצד מוצאים את החציון כאשר מספר האיברים הוא אי זוגי

חציון הוא המספר שיש מספר שווה של איברים גדולים ממנו וקטנים ממנו.
ולכן כאשר מספר האיברים הוא אי זוגי קל יחסית למצוא אותו.

1,3,7
המספר 3 הוא החציון כי יש איבר אחד מעליו ואיבר אחד מתחתיו.

1,3,4,6,10
המספר 4 הוא החציון כי יש 2 איברים מעליו ושני איברים מתחתיו.

3,8,12,17,20,20,25
המספר 17 הוא החציון כי יש 3 איברים מעליו ו 3 איברים מתחתיו.

כיצד נמצא את החציון בקבוצה שבה יש n איברים (ומספר האיברים בה הוא אי זוגי)?

הנוסחה אומרת שהאיבר האמצעי יהיה במקום:

חציון
N הוא מספר האיברים

כלומר בקבוצה שבה יש 119 איברים החציון יהיה במקום ה:

מקום 60.

3.כיצד מוצאים חציון כאשר מספר האיברים בקבוצה הוא זוגי

נסתכל על הקבוצה
4,8,10,14
אין מספר שיש מעליו ומתחתיו אותו מספר איברים. לכן מה שעושים הוא ממוצע לשני האיברים הנמצאים באמצע.
בקבוצה זו שני המספרים הנמצאים באמצע הם 8,10. והממוצע שלהם, 9, הוא החציון.

בקבוצת המספרים
4,4,7,8,11,14
המספרים 7,8 נמצאים באמצע ולכן הממוצע שלהם, 7.5, הוא החציון.

הכלל אומר שאם בקבוצה יש n איברים ומספר האיברים בקבוצה הוא זוגי. אז החציון הוא הממוצע של האיברים הנמצאים במקומות:

למשל אם בקבוצה יש 200 מספרים אז החציון יהיה הממוצע של האיברים הנמצאים במקומות 100 ו 101.

4.מציאת חציון בטבלת שכיחויות

בהרבה מקרים נצטרך למצוא חציון בטבלת שכיחויות.
כאן נלמד כיצד עושים זאת.

דוגמה 1

ציון9876
מספר תלמידים312115

שלב א: מציאת מיקום האיבר שהוא חציון
מספר התלמידים הוא:
31 = 3 +12 +11 + 5
הטבלה מייצגת 31 מספרים (אי זוגי).
לכן החציון נמצא במקום
16 = (1 + 31)0.5

שלב ב: זיהוי המקום ה 16 בטבלה
נתחיל לספור מאחד מצדדי הטבלה, אני נוהג לספור מהציון הנמוך אל הגבוה אבל אפשר להפך.
5 קיבלו ציון 6 לכן החציון לא ציון 6.
11 קיבלו ציון 7.
16 = 11 + 5
לכן המקום ה 16 נמצא בין אלו שקיבלו 7, 7 הוא החציון.

דוגמה 2

ציון987
מספר התלמידים8615

שלב א: מציאת מיקום האיבר שהוא חציון
29 = 8 + 6 + 15
החציון נמצא במקום ה:
15 = (1 + 29)0.5

שלב ב: זיהוי המקום ה 15 בטבלה.
נתחיל לספר מהציון הקטן לגדול.
15 תלמידים קיבלו 7. לכן המקום ה 15 נמצא בקבוצת הציונים שקיבלה 7.
החציון הוא 7

דוגמה 3

ציון987
מספר תלמידים20146

שלב א: מציאת מיקום האיבר שהוא חציון
40 = 20 + 14 + 6
זה מספר זוגי של איברים ולכן החציון הוא הממוצע של האברים במקומות ה 20 וה 21.

שלב ב: זיהוי המקומות ה 20-21 בטבלה.
6 תלמידים יש בתא הראשון.
בתא השני יש עוד 14.
לכן המקום ה 20 קיבל 8.
בתא השלישי יש את המקומות 21-40.
לכן המקום ה 21 קיבל ציון 9.

החציון הוא הממוצע של המקומות 20,21. כלומר הממוצע של 8,9.
תשובה: החציון הוא 8.5.

5.ממוצע לעומת חציון

אין מדד אחד שהוא תמיד טוב יותר.
המדד "הטוב יותר"  תלוי בקבוצת המספרים שהוא מודד ובשימוש שאנו רוצים לעשות.

ההבדל החשוב שבין ממוצע לחציון

ממוצע הוא מדד שמושפע מכל המספרים.
לעומת זאת חציון לא תמיד מושפע, וגם עוצמת ההשפעה לפעמים קטנה מאוד.

דוגמה לחיסרון של הממוצע
6,6,6,10,12
החציון של קבוצת המספרים הזו הוא 6.
אם נחליף את המספר הגדול בקבוצה מ 12 ל 10,000 אז נקבל את הקבוצה:
6,6,6,10,10,000
בקבוצת מספרים זו החציון לא ישתנה וישאר 6.
ולעומת זאת הממוצע ישתנה מאוד ויהפוך להיות 2005.6

במקרה זה יש שיגידו שהחציון 6 מיצג היטב 4 המספרים בקבוצה ולכן הוא מדד טוב.
לעומת זאת הממוצע 2005.6 לא קרוב לאף אחד מהמספרים בקבוצה ולכן הוא מדד לא טוב.

דוגמה לחיסרון של החציון
לעומת זאת עבור הקבוצה:
4,4,4,4,10,10,10
החציון הוא 4 והוא כלל לא מייצג את שלושת מספרי ה 10.
הממוצע לעומת זאת הוא 6.57 ונותן ייצוג לכל המספרים בקבוצה.

לסיכום
החציון לא מושפע מערכים קיצוניים וזה יתרונו כאשר יש ערכים קיצוניים השונים מאוד משאר ערכי הקבוצה.
הממוצע לעומת זאת מושפע מכל המספרים בקבוצה ולכן מייצג את כולם (וזה יתרונו).

תכונות משותפות לממוצע / חציון / שכיח

אלו תכונות הרבה פחות חשובות מהתכונה שהוזכרה למעלה.

נסביר את הדוגמאות הללו על קבוצה המספרים
2,3,3,6,11
שבה:
3 הוא החציון והשכיח
5 הוא הממוצע.

  1. שניהם נמצאים בין המספר הקטן ביותר של הקבוצה למספר הגדול ביותר.
    כלומר הממוצע והחציון חייבים להיות מספרים בין 3-11.
  2. גם הממוצע וגם החציון לא חייבים להיות איבר בקבוצה.
  3. אם מוסיפים / מחסרים לכל אחד מערכי הקבוצה מספר קבוע אז שניהם משתנים באותו מספר קבוע.
    אם למשל נוסיף 2 לכל אחד ממספרי הקבוצה אז החציון והשכיח יהיו 5 ואילו הממצע 7.
  4. אם מכפילים את כל איברי הקבוצה פי מספר מסוים אז שלושתם ישתנו פי אותו מספר.
    אם למשל נכפיל את כל המספרים פי 3 אז השכיח והחציון יהיו 9 ואילו הממוצע 15.

6.תרגילים

תרגיל 1
עבור המספרים הבאים מצאו את החציון.

7,  3,  12,  20,  75

לחצו לצפייה בפתרון

נסדר את המספרים על פי גודלם:

3,  7,  12,  20,  75

יש כאן 5 איברים לכן החציון נמצא במקום:

(5 + 1) : 2 = 3

האיבר השלישי הוא 12, לכן 12 הוא החציון.

תרגיל 2
עבור המספרים הבאים מצאו את החציון.

50,  20,  80,  10,  10,  90

לחצו לצפייה בפתרון

נסדר את המספרים על פי גודלם:

10,  10,  20,  50,  80,  90

יש כאן 6 איברים לכן החציון הוא הממוצע של האיבר במקום השלישי (20) והרביעי (50).

(50 + 20) : 2 = 70 : 2
35

החציון הוא 35

תרגיל 3
מצאו את החציון המתאים לטבלה הבאה.

ציון908070
מספר תלמידים17124
לחצו לצפייה בפתרון

מספר התלמידים הוא:

4 + 12 + 17 = 33

לכן החציון נמצא במקום ה:

(33 + 1) : 2 = 17

הציון 80 מגיע עד המקום ה 16.
המקום ה 17 הוא 90.
לכן החציון הוא 90

תרגיל 4

מתוך 39 תלמידים בכיתה החציון היה 60 וגם הציון הנמוך ביותר בכיתה היה 60.

לפחות כמה תלמידים בכיתה קיבלו 60?

לחצו לצפייה בפתרון

כאשר יש 39 מספרים החציון נמצא במקום ה:

(39 + 1) : 2 = 20

כלומר הציון במקום ה 20 הוא 60.
וגם הציון הנמוך ביותר הוא 60.\

לכן לפחות 20 תלמידים קיבלו 60.

7.קישורים

  1. מבחן בנושא חציון.
  2. ממוצע סיכום.
  3. ממוצע וחציון לכיתה ח.
  4. הסתברות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “חציון”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ניתן לשלוח קישור לדף ולהגיד באילו סרטונים הם צריכים לצפות.
      אין קישור לסרטון עצמו

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.