חציון

בדף זה נלמד על החציון.

החלקים של הדף הם:

1. סיכום.
2. היכרות
3. כיצד מחשבים חציון כאשר מספר האיברים בקבוצה אי זוגי.
4. כיצד מחשבים חציון כאש מספר האיברים זוגי.
5. מציאת החציון בטבלת שכיחויות.
6. חציון לעומת ממוצע.
7. תרגילים.

1.סיכום כתוב ובוידאו

2.היכרות

3.כיצד מוצאים את החציון כאשר מספר האיברים הוא אי זוגי

חציון הוא המספר שיש מספר שווה של איברים גדולים ממנו וקטנים ממנו.
ולכן כאשר מספר האיברים הוא אי זוגי קל יחסית למצוא אותו.

1,3,7
המספר 3 הוא החציון כי יש איבר אחד מעליו ואיבר אחד מתחתיו.

1,3,4,6,10
המספר 4 הוא החציון כי יש 2 איברים מעליו ושני איברים מתחתיו.

3,8,12,17,20,20,25
המספר 17 הוא החציון כי יש 3 איברים מעליו ו 3 איברים מתחתיו.

כיצד נמצא את החציון בקבוצה שבה יש n איברים (ומספר האיברים בה הוא אי זוגי)?

הנוסחה אומרת שהאיבר האמצעי יהיה במקום:

כלומר בקבוצה שבה יש 119 איברים החציון יהיה במקום ה:

מקום 60.

4.כיצד מוצאים חציון כאשר מספר האיברים בקבוצה הוא זוגי

נסתכל על הקבוצה
4,8,10,14
אין מספר שיש מעליו ומתחתיו אותו מספר איברים. לכן מה שעושים הוא ממוצע לשני האיברים הנמצאים באמצע.
בקבוצה זו שני המספרים הנמצאים באמצע הם 8,10. והממוצע שלהם, 9, הוא החציון.

בקבוצת המספרים
4,4,7,8,11,14
המספרים 7,8 נמצאים באמצע ולכן הממוצע שלהם, 7.5, הוא החציון.

הכלל אומר שאם בקבוצה יש n איברים ומספר האיברים בקבוצה הוא זוגי. אז החציון הוא הממוצע של האיברים הנמצאים במקומות:

למשל אם בקבוצה יש 200 מספרים אז החציון יהיה הממוצע של האיברים הנמצאים במקומות 100 ו 101.

5.מציאת חציון בטבלת שכיחויות

6.ממוצע לעומת חציון

אין מדד אחד שהוא תמיד טוב יותר.
המדד "הטוב יותר"  תלוי בקבוצת המספרים שהוא מודד ובשימוש שאנו רוצים לעשות.

ההבדל החשוב שבין ממוצע לחציון

ממוצע הוא מדד שמושפע מכל המספרים.
לעומת זאת חציון לא תמיד מושפע, וגם עוצמת ההשפעה לפעמים קטנה מאוד.

דוגמה לחיסרון של הממוצע
6,6,6,10,12
החציון של קבוצת המספרים הזו הוא 6.
אם נחליף את המספר הגדול בקבוצה מ 12 ל 10,000 אז נקבל את הקבוצה:
6,6,6,10,10,000
בקבוצת מספרים זו החציון לא ישתנה וישאר 6.
ולעומת זאת הממוצע ישתנה מאוד ויהפוך להיות 2005.6

במקרה זה יש שיגידו שהחציון 6 מיצג היטב 4 המספרים בקבוצה ולכן הוא מדד טוב.
לעומת זאת הממוצע 2005.6 לא קרוב לאף אחד מהמספרים בקבוצה ולכן הוא מדד לא טוב.

דוגמה לחיסרון של החציון
לעומת זאת עבור הקבוצה:
4,4,4,4,10,10,10
החציון הוא 4 והוא כלל לא מייצג את שלושת מספרי ה 10.
הממוצע לעומת זאת הוא 6.57 ונותן ייצוג לכל המספרים בקבוצה.

לסיכום
החציון לא מושפע מערכים קיצוניים וזה יתרונו כאשר יש ערכים קיצוניים השונים מאוד משאר ערכי הקבוצה.
הממוצע לעומת זאת מושפע מכל המספרים בקבוצה ולכן מייצג את כולם (וזה יתרונו).

תכונות משותפות לממוצע / חציון / שכיח

אלו תכונות הרבה פחות חשובות מהתכונה שהוזכרה למעלה.

נסביר את הדוגמאות הללו על קבוצה המספרים
2,3,3,6,11
שבה:
3 הוא החציון והשכיח
5 הוא הממוצע.

1. שניהם נמצאים בין המספר הקטן ביותר של הקבוצה למספר הגדול ביותר.
   כלומר הממוצע והחציון חייבים להיות מספרים בין 3-11.
2. גם הממוצע וגם החציון לא חייבים להיות איבר בקבוצה.
3. אם מוסיפים / מחסרים לכל אחד מערכי הקבוצה מספר קבוע אז שניהם משתנים באותו מספר קבוע.
   אם למשל נוסיף 2 לכל אחד ממספרי הקבוצה אז החציון והשכיח יהיו 5 ואילו הממצע 7.
4. אם מכפילים את כל איברי הקבוצה פי מספר מסוים אז שלושתם ישתנו פי אותו מספר.
   אם למשל נכפיל את כל המספרים פי 3 אז השכיח והחציון יהיו 9 ואילו הממוצע 15.

7.תרגילים

בחלק זה 4 תרגילים.