הסתברות מותנית

בדף זה נסכם את החומר בנושא הסתברות מותנית.

ויש שני דברים עיקריים שחשוב שתדעו:

1.לזהות טקסט מילולי שמתאר הסתברות מותנית ולכתוב אותו בצורה מתמטית.

2.לדעת לבצע חישובים.

וכאשר אתם מבצעים חישוב חשוב שהוא ישען על ההיגיון ולא רק על נוסחה.

חישוב בעזרת היגיון במקרה של הסתברות מותנית קל בהרבה מחישוב על ידי נוסחה.

הסבר וידאו

מצורפים 3 סרטונים:

שני סרטונים הראשונים כוללים את אותו התוכן, רק שהשני קצר יותר.
הסרטון השלישי כולל דוגמאות והוא לא הכרחי עבור מי שהבין את החומר מהסרטונים הקודמים.

1.היכרות עם הסתברות מותנית

• היכרות עם הסתברות מותנית. 

הסתברות מותנית היא הסתברות שבה ידוע שאנו בוחרים מתוך חלק מ"העולם ההסתברותי " שלנו.

דוגמאות קצרות

דוגמה 1

בקופסה יש כדורים אדומים וירוקים.

ידוע שנבחר כדור אדום, מה ההסתברות שנקבל מספר זוגי?

זו שאלה בהסתברות מותנית כי ידוע שנבחר כדור מתוך הכדורים האדומים ולא מתוך כלל הכדורים.

דוגמה 2

במגרש חנייה יש אוטובוסים ומכוניות.

ידוע שנבחרה מכונית, מה ההסתברות שהיא ירוקה?

הערה:
את השאלה ניתן לנסח גם כך.

"בוחרים כלי רכב מתוך המכוניות, מה ההסתברות שהיא ירוקה?"

זו הסתברות מותנית כי ידוע שנבחרה מכונית – ולא מתוך כלל כלי הרכב שיש במגרש החנייה.

 

דוגמאות מפורטות

 

דוגמה 1

בסלסלת פירות יש:

• תפוחים אדומים.
• תפוחים ירוקים.
• בננות.
• אגסים.

אם ידוע שנבחר פרי ירוק. מה ההסתברות שהוא אגס?

פתרון

ידוע כי נעשתה בחירה מתוך הפירות הירוקים ולא מתוך כל האפשרויות – ולכן זו הסתברות מותנית.

ומכוון שיש 5 פירות ירוקים ומתוכם 1 אגס ההסתברות המבוקשת היא:

1/5 = 0.2

דוגמה 2

בסלסלה אדומה ובסלסלה ירוקה יש אייקונים.

ידוע שנבחרה הסלסלה האדומה, מה ההסתברות שנבחר אייקון צהוב?

פתרון

ידוע שבוחרים מתוך הסלסלה האדומה ולא מתוך כל האפשרויות, לכן זו הסתברות מותנית.

ומכוון שבסלסלה האדומה יש 4 אימוג'י מתוכם 1 צהוב. אז ההסתברות המבוקשת היא:

1/4 = 0.25

דוגמה 3

בקופסה יש 3 כדורים אדומים ו- 2 כדורים ירוקים.

מוצאים כדור ולאחר מיכן עוד כדור ללא החזרה.

אם ידוע שהכדור הראשון היה אדום, מה ההסתברות שהכדור השני היה אדום?

פתרון

מבקשים שנחשב את ההסתברות ל "אדום" אחרי שכבר ידוע שקרה משהו אחר ולכן זו הסתברות מותנית.

לאחר הוצאת "אדום" נותרו בקופסה 2 אדומים ו- 2 ירוקים.

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

2/4 = 0.5

2.כיצד מזהים משפטי הסתברות מותנית

• זיהוי משפטים של הסתברות מותנית.

זיהוי נכון של משפטי הסתברות מותנית הוא הדרגתי ודורש תרגול.

שני המבנים הנפוצים של הסתברות מותנית

כל טקסט מילולי ששואל על הסתברות של מאורע אם ידוע שמאורע אחר קרה הוא הסתברות מותנית.

בחלק זה אציג את שתי הצורות העיקריות שבהם הסתברות מותנית נכתבת:

1.אם ידוע כי ….. אז מה ההסתברות ל …..

למשל:

"אם ידוע כי יש יום שמש, מה ההסתברות שאלך עם כובע?"

במקרה זה:

"ידוע כי יש יום שמש" – זה התנאי.

"ההסתברות שאלך אם כובע" – זו ההסתברות ששואלים עליה.

2.קבוצה והנציג שלה.

סוג משפטים זה קשה יותר להבנה, יש להיות סבלניים.

דוגמה 1

"מתוך תלמידי כיתה י , 30% אוהבים לקרוא"

במקרה זה:

"מתוך תלמידי כיתה י" – זה התנאי.

"30% אוהבים לקרוא" – זו ההסתברות המותנית הנתונה.

דוגמה 2

"40% מהספרים הם בעלי כריכה חומה"

במקרה זה:

"ספרים" – זה התנאי.

"40% בעלי כריכה חומה" – זו ההסתברות המותנית הנתונה

שימו לב שבמשפט המקורי המספר 40% לא צמוד אל ההסתברות שהוא מתאר "כריכה חומה".

אנחנו נמשיך ונתרגל זיהוי של משפטים בהמשך.

הסתברות מותנית לעומת הסתברות "וגם"

גם הסתברות מותנית וגם הסתברות "וגם" עוסקות בשתי מאורעות ולכן הן עלולות לבלבל אותנו.

זה ההבדל בניהן:

בהסתברות מותנית ידוע כי דבר אחד קרה ומבקשים שנחשב את ההסתברות של המאורע השני.

בהסתברות "וגם" מבקשים את ההסתברות ששני המאורעות יקרו בו זמנית (ולא ידוע שאחת מיהן קרתה).

דוגמאות לניסוחים של הסתברות מותנית לעומת הסתברות "וגם":

דוגמה 1

הסתברות מותנית

"בוחרים תלמיד מבית ספר, אם ידוע שנבחר תלמיד כיתה י מה ההסתברות שהוא מעל גיל 16?"

"מתוך תלמידי כיתה י נבחר תלמיד, מה ההסתברות שהוא מעל גיל 16"

הסתברות "וגם"

"בוחרים תלמיד, מה ההסתברות שהוא בכיתה י וגילו מעל 16"

דוגמה 2

הסתברות מותנית

"בוחרים צלחת, מה ההסתברות שהיא שקופה?"

"אם תיבחר צלחת מה ההסתברות שהיא שקופה"

הסתברות "וגם"

"מה ההסתברות לבחור צלחת שקופה"

דוגמה 3

הסתברות מותנית

"0.4 מהילדים בגן המשחקים לומדים בכיתה ו".

"אם בוחרים ילד מגן המשחקים ההסתברות שהוא בכיתה ו היא 0.4".

הסתברות "וגם"

"ההסתברות לבחור ילד מגן המשחקים שהוא בכיתה ו היא 0.4"

(המשפטים הללו מתייחסים למצב שבו יש ילדים מחוץ לגן המשחקים או שבגן המשחקים יש אנשים שאינם ילדים).

7.תרגילים מסכמים

מנויים יכולים:

• להדפיס את התרגילים בקישור הבא.
• לצפות בפתרונות מלאים של התרגילים בקישור הבא.

תרגיל 1
זורקים קובייה הוגנת שעליה 6 מספרים.
ידוע שיצא מספר בתחום 1-4.
מה ההסתברות שיצא 1?

תרגיל 2

לבריכת שחייה יש כאלו המגיעים בקיץ ויש כאלו המגיעים בחורף.
ובכול תקופה מידת ההנאה מהבריכה שונה.
ידוע כי 70% מהמבקרים מגיעים לבריכה בקיץ.
שאר ההסתברויות נתונות בדיאגרמת העץ.

בחרו אדם ומצאו שהוא נהנה מהזמן בבריכה.

מה ההסתברות שבחרו אדם המבקר בבריכה בחורף?

תרגיל 3
שחקן זורק קובייה הוגנת פעמיים.
אם יוצא 1 או 2 השחקן מקבל נקודה אחת.
אם יוצא 3 או מספר גדול יותר השחק מקבל 5 נקודות.
השחקן זרק  את הקובייה פעמיים וקיבל פחות מ- 10 נקודות.
מה ההסתברות שקיבל 5 נקודות בזריקה השנייה?

תרגיל 4

ידוע ש- 70% מהתלמידים מתחילים ללמוד בשמונה בבוקר.  וכי 40% מהתלמידים מתחילים ללמוד בשמונה בבוקר וגם הולכים ברגל לבית הספר.
ידוע כי נבחר תלמיד שמתחיל ללמוד בשמונה בבוקר. מה ההסתברות שהוא הולך ברגל לבית הספר?

תרגיל 5

במקרר יש ארטיקים וטילונים שהם טעימים או לא טעימים.

דיאגרמת העץ הבאה מתארת את ההסתברויות במצב שבו אדם ניגש למקרר ובוחר אחד מיהם.

1. אם ידוע שנבחר משהו טעים, מה ההסתברות שנבחר טילון?
2. אם ידוע שנבחר משהוא טעים או קרטיב לא טעים. מה ההסתברות שנבחר קרטיב לא טעים?

תרגיל 6 

נתונה טבלת ההסתברויות הבאה:

	יקרים	זולים
טלפונים	0.5	0.3	0.8
מקררים	0.05	0.15	0.2
	0.55	0.45	1

1. בחרו מוצר זול. מה ההסתברות שהוא מקרר?
2. בחרו מקרר, מה ההסתברות שהוא יקר?

**תרגיל 7

נתונה טבלת ההסתברויות הבאה:

	בשלים	לא בשלים
בננות	0.2	0.05	0.25
תפוזים	0.3	0.1	0.4
תפוחים	0.15	0.2	0.35
	0.65	0.35	1

1. אם נבחר פרי בשל מה ההסתברות שהוא לא תפוח?
2. *אם נבחר פרי בשל או בננה, מה ההסתברות שהוא תפוז?