בדף זה נתחיל ללמוד על בעיות קיצון.
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
נלמד:
- למה משמשות בעיות קיצון?
- מה הם השלבים של פתרון בעיות קיצון?
1.למה משמשות בעיות קיצון?
בעיות קיצון משמשות אותנו כדי לזהות מספרים (מתוך קבוצה של מספרים שנותנים ערך מקסימלי או מינימלי של דבר מסוים.
נסביר על ידי דוגמאות.
דוגמה 1
נסתכל על המספרים שסכומם 10, ולשם הפשטות נסתכל רק על המספרים השלמים.
0, 10
1, 9
2, 8
3, 7
4, 6
5, 5
עכשיו אנו יכולים לקחת את המספרים להעלות כל אחד מיהם בריבוע ולחבר.
בשפה מתמטית קוראים לפעולה “סכום הריבועים”.
עבור 0, 10
10² + 0² = 100
עבור 2, 8
8² + 2² = 64 + 4 = 68
כפי שאנו רואים כל זוג מספרים נותן לנו סכום שונה.
באיזה מבין הזוגות נקבל את סכום הריבועים המקסימלי או המינימלי?
האם עלינו לבדוק את כל זוגות המספרים בעולם?
זו שאלה שנוכל לענות עליה בעזרת הטכניקה של בעיות קיצון.
וכיצד הטכניקה של בעיות קיצון עונה על שאלה זו?
נסביר בקצרה:
אם נסתכל על הבעיה האחרונה “שני מספרים שסכומם 10”.
אז מספר אחד יהיה:
x
ומספר שני צריך להשלים ל 10 ויהיה:
10 – x
סכום הריבועים של המספרים הללו, שזה הדבר שצריך למצוא לו מקסימום מתואר על ידי הפונקציה הבאה:
f(x) = x² + (10 – x)²
הפונקציה הזו היא פונקציה המתארת את סכום הריבועים.
אם נציב בפונקציה x = 1 נקבל את סכום הריבועים של 1 ו- 9.
f(1) = 1² + (10 – 1)²
כאשר נמצא את נקודת המקסימום של הפונקציה זה יהיה ערך ה x של המספר שנותן שטח מקסימלי.
דוגמה 2
נסתכל על הישר y = -x + 4 .
נציב על הישר את הנקודה A ונראה את המלבן שהישר יוצר עם הצירים.
ועכשיו אם נציב את הנקודה B על הישר מעל הנקודה A אנו נגדיל צלע אחת של המלבן ונקטין צלע אחרת.
בצורה זו ניתן להציב אינסוף נקודות על הישר ולקבל אינסוף מלבנים.
לאיזה מלבן יש שטח גדול יותר?
לא ניתן לדעת מהשרטוט.
כי במלבן השני צלע אחת קטנה וצלע אחרת גדלה, אלו שתי השפעות הפוכות על השטח ולא ניתן לדעת אם בסך הכל השטח גדל או קטן.
איפה כדאי לנו למקם את הנקודה על הישר על מנת לקבל את המלבן עם השטח הגדול ביותר? או המלבן עם השטח הקטן ביותר?
אלו שאלות שבעזרת הטכניקה של בעיות קיצון אנו נלמד לפתור.
בבעיית קיצון נבנה פונקציה שמתארת את שטח המלבן:
f(x) = x (-x + 4)
הפונקציה הזו מתארת את שטח המלבן.
ואם למשל נציב בה x = 1 נקבל את השטח שמתקבל אם הנקודה נמצאת ב x = 1.
כאשר נמצא לפונקציה הזו נקודת מקסימום, הנקודה הזו תהיה ערך ה x שנותן שטח מקסימלי.
2.שלבי הפתרון
שני השלבים של בעיית קיצון הם:
- בניית פונקציה המתארת את מה שצריך להיות מקסימלי / מינימלי.
- מציאת נקודת הקיצון המתאימה של הפונקציה.
את השלב של בניית הפונקציה שהוא לרוב בשלב היותר קשה ניתן גם כן לפצל לשני שלבים:
- לזהות את הפונקציה שצריך לבנות – זה תמיד יהיה מה שאנו מחפשים את הערך המקסימלי / מינימלי שלו.
- לזהות מה צריך לדעת כדי לבנות את הפונקציה ולהשיג את הנתונים כדי לדעת את זה.
דוגמאות
שתי הבעיות שפגשנו קודם לכן היו:
תרגיל 1
סכום שני מספרים חיוביים הוא 10.
מצאו את המספרים שסכום הריבועים שלהם הוא מינימלי.
תרגיל 2
הנקודה A נמצאת על הישר y = -x + 4 ברביע הראשון.
מהנקודה A מורידים שני אנכים לצירים היוצרים מלבן.
מצאו את המלבן ששטחו מקסימלי.
שלב 1+2: זיהוי הפונקציה שצריך לבנות + מה צריך לדעת כדי לבנות אותה
הפונקציה שאנו צריכים לבנות היא תמיד מה שמבקשים שיהיה מינימלי מקסימלי.
בשאלה הראשונה
כתוב “סכום הריבועים שלהם הוא מקסימלי”.
לכן עלינו ליצור פונקציה המתארת את “סכום הריבועים”.
כדי לדעת את “סכום הריבועים” עלינו לדעת את המספרים עצמם.
x
10 – x
ולכן סכום הריבועים הוא:
f(x) = x² + (10 – x)²
בשאלה השנייה
כתוב “המלבן ששטחו מקסימלי”.
לכן עלינו לבנות פונקציה המתארת “שטח מלבן”.
נוסחת שטח מלבן כוללות את אורכי הצלעות של המלבן ולכן צריך לדעת את אורכי צלעות המלבן.
ובמקרה זה שטח המלבן שנוצר הוא:
f(t) = t * (-t + 4)
שלב 3: מציאת נקודות הקיצון
לאחר שמצאנו את הפונקציה עלינו למצוא את הקיצון המתאים שלה.
עבור התרגיל הראשון
f(x) = x² + (10 – x)²
f(x) = x² + 10² – 20x + x² = 2x² – 20x + 100
f ‘ (x) = 4x – 20
נשווה ל 0:
4x – 20 = 0
4x = 20
x = 5
נזהה את סוג הקיצון:
| ערך ה x | 6 | 5 | 4 |
| ערך הנגזרת | 4 | 0 | 4- |
| התנהגות הפונקציה | עולה | יורדת |
זו נקודת מינימום.
עבור התרגיל השני
f(t) = t * (-t + 4)
f(t) = -t² + 4t
f ‘ (t) = -2t + 4
נשווה את הנגזרת ל 0.
-2t + 4 = 0
-2t = -4
t = 2
נזהה את סוג הקיצון:
| ערך ה x | 3 | 2 | 1 |
| ערך הנגזרת | 2- | 0 | 2 |
| התנהגות הפונקציה | יורדת | עולה |
זו נקודת מקסימום.
לסיכום
לסיכום, בעיות קיצון זו טכניקה מתמטית שבה אנו יכולים למצוא מבין מגוון אפשרויות את האפשרות שנותנת לנו את התוצאה הגדולה ביותר (נקודת מקסימום) או את התוצאה הקטנה ביותר (נקודת מינימום).
[/su_spoiler] [/su_accordion]