בעיות קיצון גרפים (מינימום מקסימום)

בדף זה נלמד כיצד לפתור בעיות קיצון של גרפים.
למרות שהדף הוא ארוך, הוא בעצם סיכום העובר על עיקרי הדברים.

בדף זה אנו לומדים את החלק של בניית פונקציה לצורך בעיית מינימום מקסימום.
החלקים של גזירת הפונקציה ומציאת סוג הקיצון לא נמצאים בדף זה (על מנת לקצר את הדף וללמד את העיקר).

החלקים של דף זה הם:

  1. הקדמה: שני הדברים עליהם מתבססים שאלות הגרפים.
  2. מלבן הנוצר על ידי שני הצירים.
  3. מלבן הנוצר על ידי ציר אחד.

הכלל הראשון
כאשר בבעיות קיצון מבקשים מאיתנו לבנות פונקציה תמיד עלינו לבנות פונקציה הכוללת משתנה אחד בלבד.
בשאלות גרפים המשמעות של זה היא שאנו נגדיר את

הרעיון מאחורי בעיות קיצון עם גרפים

כבר למדנו שבבעיות קיצון עלינו לבנות פונקציה באמצעות משתנה אחד.

בהרבה מהשאלות שנפגוש נראה:

  1. פונקציה אחת היוצרת מלבן עם שני הצירים.
  2. או שני פונקציות היוצרות מלבן עם שני הצירים.

לאחר מיכן יבקשו מאיתנו לבנות פונקציה המתארת את שטח או היקף המלבן.
עבורנו זה לא משנה אם מבקשים שטח או היקף. בשני המקרים נצטרך לבטא את אורך שתי צלעות המלבן באמצעות משתנה אחד.

דוגמה לפונקציה של שטח / היקף מלבן הנוצרת על ידי פונקציה אחת

הגדירו את שטח והיקף מלבן ABCD הנוצר על ידי הישר y = -0.5x + 4 ושני הצירים.

 

הרעיון של הפתרון

  1. אם נגדיר את ארבעת הנקודות באמצעות משתנה אחד נוכל להגדיר את המרחק בניהן באמצעות משתנה אחד. והמרחק בניהן הוא אורך הצלעות.
  2. לנקודות A, B יש ערך x שווה.
  3. לנקודות B, C יש ערך y שווה.

פתרון
הנקודה A

נגדיר
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0  (כי היא על ציר ה x)

הנקודה B
לנקודה B יש אותו ערך x כמו הנקודה A.
הנקודה B גם נמצאת על הישר y = -0.5x + 4.
לכן:
נציב xA במשוואת הישר ונמצא את ערך ה y של הנקודה B.
yB = -0.5xA + 4

(B (xA , – 0.5xA  + 4

הנקודה C
יש לה אותו ערך y כמו הנקודה A.
וערך ה x שלה הוא 0, כי היא על ציר ה y.
(C (0,  – 0.5xA  + 4

הנקודה D
(D (0,0   ראשית הצירים.

עכשיו הגדרנו את 4 הנקודות באמצעות משתנה אחד.
(A (xA , 0
(B (xA , – 0.5xA  + 4
(C (0,  – 0.5xA  + 4
(D (0,0
ניתן לחשב את אורכי הצלעות.

AD = xA  – 0 = xA
AB = – 0.5xA  + 4 – 0 = – 0.5xA  + 4

הפונקציה המתארת של שטח המלבן תהיה:
f(x) = (- 0.5xA  + 4) * xA

הפונקציה המתארת את היקף המלבן
g (x) = 2( – 0.5xA  + 4) + 2xA

 

דוגמה לפונקציה של שטח / היקף מלבן הנוצרת על ידי שתי פונקציות

בין שתי הפונקציות
y = -0.5x + 4
y = 2x + 3
וציר ה x חסום מלבן.
כתבו פונקציות המביעות את שטח והיקף המלבן.

פתרון
את הנקודות A,B נגדיר בדיוק כמו בשאלה הקודמת.
(A (xA , 0
(B (xA , – 0.5xA  + 4

הקושי המרכזי בשאלה זו הוא מציאת ערך ה x של הנקודה C.
המטרה שלנו תהיה להגדיר את xc בעזרת xa.
אם הנקודה C היא:
xc, yc
אז מכוון ש C נמצאת על הישר y = 2x + 3
ניתן לכתוב
yc = 2xc + 3

כמו כן ערך ה y בנקודה C שווה לערך ה y בנקודה B.
ולכן ניתן לבנות את המשוואה:
0.5xA  + 4 = 2x+ 3 –
2xc = – 0.5xA  + 1
xc = – 0.25xA  + 0.5

הנקודה C היא
(C ( – 0.25xA  + 0.5,  0.5xA  + 4

הנקודה D
לנקודה D אותו ערך x  כמו הנקודה C.
לכן הנקודה D היא:
(D ( – 0.25xA  + 0.5,  0

הגדרנו את ארבעת הנקודות באמצעות משתנה אחד

(A (xA , 0
(B (xA , – 0.5xA  + 4
(C ( – 0.25xA  + 0.5,  – 0.5xA  + 4
(D ( – 0.25xA  + 0.5,  0

עכשיו נוכל לחשב את אורכי הצלעות
AD = xA  – (- 0.25xA  + 0.5) = 1.25xA – 0.5

AB = -0.5xA  + 4 – 0 = – 0.5xA  + 4

הפונקציה המתארת את שטח המלבן היא:
(f(x) = ( – 0.5xA  + 4) * (1.25xA – 0.5

הפונקציה המתארת את היקף המלבן היא:
(g(x) = 2( – 0.5xA  + 4) + 2(1.25xA – 0.5

 

1.לשתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה x יש את אותו ערך y

הדבר נובע מכך שישר המקביל לציר ה x שומר על ערך y קבוע לכל אורכו.
משוואות ישרים המקבילים לציר ה x נראות לדוגמה כך:
y = 2
y = -5

לנקודות A,B,C יש את אותו ערך y שהוא y = 2.
לנקודות A,B,C יש את אותו ערך y שהוא y = 2.

ובאופן דומה:
לשתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לציר ה y יש את אותו ערך x.
משוואות ישר מסוג זה נראות כך:
x = 4
x = -3

כמו כן
עלינו לדעת לחשב את המרחקים בין שתי נקודות הנמצאות על ישר מקביל לצירים.
אם בשרטוט שלמעלה:
(A (-3, 1
(B (-3, -2

אז המרחק בין שתי הנקודות הללו הוא:
3 = (2-) – 1
אופן חישוב המרחק בין שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים נלמד בהרחבה בדף מרחק בין שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים.

2.ניתן להגדיר את שני הערכים של נקודה הנמצאת על פונקציה באמצעות משתנה אחד

למשל:
אם נקודה נמצאת על הישר y = 2x – 1.
אז אנחנו יכולים להגיד שערך ה x שלה הוא t (כאשר t הוא משתנה היכול להיות מספר כלשהו).

כאשר נציב
x = t
במשוואת הישר נמצא את ערך ה y של הנקודה.
y = 2x – 1
y = 2t – 1

מצאנו כי כל נקודה על הישר y = 2x – 1 מקיימת.
(t, 2t -1)

2.מלבן הנוצר על ידי שני הצירים

תרגיל 1
מנקודה ברביע הראשון על הישר y = – x + 4 מורידים אנכים לצירים ויוצרים מלבן יחד עם נקודות על ציר ה x וציר ה y.
בנו פונקציה המתארת את שטח המלבן.
(שימו לב לסימן המינוס לפני ה x, שלא תשכחו אותו במהלך פתרון התרגיל).

פתרון
הקדמה
שטח המלבן הוא מכפלת הצלעות שלו:
S = AB * BC.
לכן המטרה שלנו תהיה לבטא את אורכי הצלעות בעזרת משתנה אחד.

אם נצליח לבטא את הנקודות A,B,C בעזרת משתנה אחד אז גם נבטא את אורכי צלעות המלבן בעזרת משתנה אחד.
לכן המטרה שלנו תהיה לבטי את ערכי שלושת הנקודות בעזרת משתנה אחד.

שלב א: הגדרת שלושת הנקודות בעזרת משתנה אחד
נגדיר:
xA  ערך ה x בנקודה A.
לכן הנקודה A היא:
(A (xA , 0

הנקודה B:

  1. לנקודה B יש את אותו ערך x כמו הנקודה A. (כי הישר AB מאונך לציר ה x).
  2. לכן ערך ה x בנקודה B הוא xA.
  3. הנקודה B נמצאת על הישר y = -x + 4 לכן נמצא את ערך ה y בנקודה B על ידי הצבה xA במשוואת הישר.
    y = – xA  + 4.
  4.   (B (xA , – xA  + 4

הנקודה C
לנקודה C יש את אותו ערך y כמו לנקודה B, כי BC הוא ישר המקביל לציר ה x.
לכן הנקודה C היא:
(C (0, – xA  + 4

שלב ב: בניית פונקציה המתארת את שטח המלבן
מצאנו כי הנקודות הם:
(A (xA , 0
(B (xA , – xA  + 4
(C (0, – xA  + 4

לכן האורך של AB הוא:
xA  + 4 –
והאורך של BC הוא:
xA
(הערה: אל המרחקים הללו ניתן להגיע דרך הנוסחה למרחק בין שתי נקודות או מרחק בין שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים).

הפונקציה המתארת את שטח המלבן היא:
f(x) = BC * AB
(f(x) = xA  * (- xA  + 4
f(x) = – xA² + 4

פתרון מלא לתרגיל דומה בוידאו:

תרגיל 2
מנקודה ברביע הרביעי על הפונקציה f(x) = x² – 4 מורידים אנכים לצירים ויוצרים מלבן יחד עם נקודות על ציר ה x וציר ה y.
בנו פונקציה המתארת את שטח המלבן.

פתרון
שלב א: הגדרת הנקודות A,B,C באמצעות משתנה אחד
נגדיר
הנקודה A
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0

הנקודה B
לנקודה B יש אותו ערך x כמו הנקודה A והוא xA.
נציב את ערך ה x במשוואת הפונקציה ונמצא את ערך ה y בנקודה B.
f(x) = x² – 4
y = xA² – 4
(B (xA, xA² – 4

הנקודה C
לנקודה C יש את אותו ערך y כמו לנקודה B לכן:
(C (0xA² – 4

שלב ב: יצירת פונקציה לחישוב שטח המלבן
הנקודות הן:
(A (xA , 0
(B (xA, xA² – 4
(C (0xA² – 4

לכן האורך של AB:
xA² – 4
האורך של BC:
xA

שטח המלבן הוא:
S = BC * AB
(S = xA * (xA² – 4
S = xA³ – 4xA

תרגיל 3
מנקודה ברביע הראשון על הפונקציה

מורידים אנכים לצירים ויוצרים מלבן יחד עם נקודות על ציר ה x וציר ה y.
בנו פונקציה המתארת את היקף המלבן.

פתרון
הקדמה
היקף המלבן הוא:
P = 2AB + 2BC
אנו נגדיר את כל אחת מהנקודות A,B,C בעזרת משתנה אחד וכך נוכל לבנות פונקציה המתארת את היקף המלבן בעזרת משתנה אחד.

שלב א: הגדרת שלושת הנקודות באמצעות משתנה אחד
נגדיר
הנקודה A
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0

הנקודה B
לנקודה B יש אותו ערך x כמו הנקודה A והוא xA.
נציב את ערך ה x במשוואת הפונקציה ונמצא את ערך ה y בנקודה B.

לכן הנקודה B היא:

הנקודה C
לנקודה C יש את אותו ערך y כמו הנקודה B לכן:

הנקודות וערכיהן על מערכת צירים
הנקודות וערכיהן על מערכת צירים

שלב ב: בניית פונקציה המחשבת את היקף המלבן
אלו הנקודות שמצאנו:
(A (xA , 0

האורך של BC הוא:
xa
האורך של AB הוא:

לכן הפונקציה המתארת את היקף המלבן היא:

3.מלבן הנוצר ציר אחד בלבד

הסבר

מה ההבדל בין מלבן הנוצר על ידי ציר אחד בלבד למלבן הנוצר על ידי שני הצירים?
(בשרטוטים שלמטה דוגמאות).

תשובה
נסתכל על השרטוט מימין.
כאשר המלבן נוצר על ידי שני צירים האורך של הצלע BC הוא הוא ערך ה x בנקודה A.
כלומר אם
(A(xA , 0
אז:
BC = xA

נסתכל על השרטוט משמאל.
לעומת זאת כאשר יש לנו שתי פונקציות עלינו להתחשב בערך ה x בנקודה C על מנת לקבוע את האורך של BC.
אם נתייחס כדוגמה לשרטוט שלמעלה.
ונניח כי ערך ה x בנקודה c הוא 3-.
אז:
BC = xA + 3

כיצד נמצא את ערך ה x בנקודה C?
נסביר זאת כאן בקצרה ובתרגילים יהיו דוגמאות מפורטות יותר.

אנו נדע מראש את ערך ה y בנקודה C, כי ערך זה שווה לערך ה y בנקודה B.
נניח כי ערך ה y הוא 2.
אנו גם נדע מראש את הפונקציה עליה נמצאת הנקודה C.
נניח כי זו הפונקציה y = 2x + 6

אז על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה C נציב y = 2 במשוואת הפונקציה ונמצא את x.
2x + 6 = 2
2x = -4
x = -2
מצאנו כי הנקודה C היא:
(C(-2, 2

שימו לב למכשול הבא:
נניח כי
(A (xA , 0
(C (xC , 0

אז אנו צריכים לשים לב להאם xA , xC הם חיוביים או שלילים על מנת לחשב את BC.

 

 

תרגיל 1
על הפונקציה f(x) = x² – 4 נמצאת הנקודה B ברביע הרביעי.
הנקודה C נמצאת יחד עם B על אותו ישר המקביל לציר ה x.
מהנקודות B,C מורידים אנכים אל ציר ה x כך שנוצר מלבן.
כתבו פונקציה המביעה את שטח המלבן.

הקדמה
נשים לב שבשאלה זו האורך של הצלע BC היא לא המרחק של B מציר ה y כפי שהיה בשאלות קודמות.
אלא עלינו לחשב את ערך ה x בנקודה C על מנת לחשב את BC.

שלב א: הגדרת הנקודות A,B,C באמצעות משתנה אחד
נגדיר
הנקודה A
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0

הנקודה B
לנקודה B יש אותו ערך x כמו הנקודה A והוא xA.
נציב את ערך ה x במשוואת הפונקציה ונמצא את ערך ה y בנקודה B.
yB = xA² – 4
(B(xA ,  xA² – 4

הנקודה C
לנקודה C אותו ערך y כמו הנקודה B (כי הנקודות B,C נמצאות על ישר מקביל לציר ה x).
yC = xA² – 4
על מנת למצוא את ערך ה x בנקודה C נציב את yC במשוואת הפונקציה:
f(x) = x² – 4
xA² – 4 = xC² – 4
xA²  = xC²
xc = xA  או xc = – xA

אם xc = xאז הנקודה C הייתה בעלת אותם ערכים כמו הנקודה B, לכן תשובה זו נפסלת.
כמו כן אנו רואים שהנקודה C נמצאת ברביע השלישי ולכן ערך ה x של שלילי.
לכן הפתרון הוא:
xc = – xA

והנקודה C היא:
(C (- x, xA² – 4

שלב ב: בניית פונקציה המחשבת את שטח המלבן
(A (xA , 0
(B(xA ,  xA² – 4
(C (- x, xA² – 4

AB = xA² – 4
BC = x– (- x) = 2xA

הפונקציה המחשבת את שטח המלבן היא:
(f(x) = 2x* (xA² – 4
f (x) = 2xA³ – 8xA

תרגיל 2
בין שתי נקודות על הפונקציות
f(x) = -x + 3
g(x) = 2x + 6
וציר ה x מעבירים ישרים כך שנוצר מלבן.
בנו פונקציה המתארת את שטח המלבן.

פתרון
 שלב א: הגדרת הנקודות A,B,C בעזרת משתנה אחד
נגדיר
xA ערך ה x בנקודה A.
(A (xA , 0

(B (xa , – xa + 3

ערך ה y בנקודה C הוא xa  + 3-
נציב את ערך זה במשוואה y = 2x + 6 על מנת למצוא את ערך ה x בנקודה c.
2xc + 6 = -xa  + 3
2xc = -xa – 3
xc = -0.5xa  – 1.5

לכן הנקודה C היא:
(C (-0.5xa  – 1.5,  -xa  +3

שלב ב: בניית הפונקציה המתארת את שטח המלבן
(A (xA , 0
(B (xa , – xa + 3
(C (-0.5xa  – 1.5,  -xa  +3

AB = – xa  +3
(CD = xa  – (-0.5xa – 1.5
(הסיבה שאנו מבצעים כאן פעולת חיסור ולא חיבור היא שערך ה x בנקודה C הוא שלילי ואנו רוצים להפוך אותו לחיובי.
אם הנקודה C הייתה ברביע הראשון או ברביע הרביעי היינו מבצעים כאן פעולת חיבור).
CD = xa + 0.5xa +1.5
CD = 1.5xa + 1.5

הפונקציה המתארת את שטח המלבן היא:
f (x) = AB * CD
(f(x) = (- xa  +3) * (1.5xa + 1.5

עוד באתר

דפים בנושא בעיות קיצון.
בעיות לפי נושא:

  1. בעיות קיצון עם מספרים.
  2. בעיות קיצון גיאומטריות.
  3. בעיות קיצון חישוב מרחקים ושטח משולש.

בעיות לפי מספר יחידות:

  1. בעיות קיצון 3 יחידות.
  2. בעיות קיצון 4 יחידות.
  3. בעיות קיצון 5 יחידות.

דפים נוספים:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.